Шпора - ангем

1.Определение геометрического равенства векторов:

Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину

2.Сумма векторов и умножение вектора на число:

Сумма векторов – вектор, полученный по правилу треугольника, параллелограмма или многоугольника. Вектор, умноженный на число (скаляр) а – вектор, длина которого отличается в а раз относительно изначального вектора, а направление зависит от знака скаляра.

3.Дать определения коллинеарных и компланарных векторов:

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых, либо на одной прямой. Компланарные векторы – векторы, лежащие в одной плоскости.

4.Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:

̅̅̅̅̅̅

∑̅

Вобратном случае система линейно независимая.

5.Сформулировать геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

2 вектора линейно зависимы, только если они коллинеарные. 3 вектора линейно зависимы, только если они компланарные.

6.Дать определение базиса и координат вектора:

Базис – любые 2 неколлинеарных ненулевых вектора в V2, любые 3 некомпланарных ненулевых вектора в V3.

Координаты вектора – коэффициенты из единственно возможной линейной комбинации образующих базис векторов, равной данному вектору.

7.Сформулировать теорему о разложении вектора по базису:

Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, причем единственным образом (т.к. любые 4 вектора линейно зависимы).

8.Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление (ось):

Скалярная проекция вектора на ось – произведение длины этого вектора на косинус угла между вектором и направлением.

9.Скалярное произведение векторов – число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

10.Сформулировать свойство линейности скалярного произведения:

Скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности относительно сложения

векторов: .(̅ ̅) ̅/ (̅ )̅ (̅ ̅) ̅ ̅ ̅ .

В скалярном произведении скалярный множитель можно вынести за границы произведения: ( ̅ ̅) (̅ ̅) (̅ ̅); ̅ ̅

11.Записать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе:

12.Записать формулу для косинуса угла между векторами, заданными в ортонормированном базисе.

13. Дать определение правой и левой тройки векторов:

Правая тройка векторов – комбинация трех некомпланарных векторов, причем

кратчайший поворот от первого ко второму вектору (если смотреть с конца третьего) происходит против часовой стрелки. В противном случае, тройка является левой.

14.Векторное произведение векторов двух векторов – третий вектор, ортогональный первоначальным, причем их тройка является правой.

15.Сформулировать свойство коммутативности (симметричности) скалярного произведения и свойство антикоммутативности (антисимметричности) векторного произведения.

16.Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов:

Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности относительно сложения

векторов: [(̅ ̅) ̅] ,̅ -̅ [̅ ̅] ̅ ̅ ̅ .

В векторном произведении скалярный множитель можно вынести за границы произведения: [ ̅ ̅] [̅ ̅] [̅ ̅]; ̅ ̅

17.Записать формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе:

18.Смешанное произведение векторов – векторное произведение двух векторов, умноженное скалярно на третий вектор. Результат – число.

19.Сформулировать свойство перестановки (кососимметричности) смешанного произведения.

20.Сформулировать свойство линейности смешанного произведения:

Аналогично векторному и скалярному, можно выносить число и разбивать внутреннюю сумму.

21.Записать формулу для вычисления смешанного произведения в правом ортонормированном базисе.

22.Записать общее уравнение плоскости и уравнение “в отрезках”. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.

. Параметры обозначают координаты точек пересечения плоскости с

соответствующими осями координат.

23. Записать уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки

24.Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Плоскости параллельны, если их нормальные векторы параллельны:

Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны:

(̅̅̅ ̅̅̅)

25. Записать формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

26.Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.

,где l,m,n – координаты направляющего вектора прямой.

{

27. Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.

28.Записать условие принадлежности двух прямых одной плоскости:

Две прямые принадлежат одной плоскости, если они параллельны, либо пересекаются

29.Записать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве:

30. Записать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми:

1.Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов.

Три вектора линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны (геометрический критерий).

Пусть ̅ ̅ ̅– линейно зависимы, то

̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅

̅̅

2.Доказать теорему о разложении вектора по базису.

Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, причем единственным образом.

Доказывается аналогично с помощью проекций

4.Вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе: разложить пару векторов по базису i-j-k, затем умножить как многочлены.

5.Вывести формулу для вычисления векторного произведения векторов, заданных в правом ортонормированном базисе: схоже с предыдущим, причем векторное произведение вектора на самого себя – 0,

ix j = k, j x i = -k,

jx k = i, k x j = -i,

kx i = j, i x k = -j

Получаемые комбинации множителей являются определителями двухмерной матрицы. 6. Доказать свойство линейности смешанного произведения:

7.Вывести формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.

)