Лекция 20. Уравнения холоэллипсометрии для одного и двух оптически изотропных поглощающих слоёв на поглощающей подложке.

Возможность параллельного определения в режиме in situ трёх эллипсо-метрических параметров объекта (r_p, r_s и ) следует из законов взаимодей-ствия поляризованного света с оптическими элементами прибора. В общем случае измерений интенсивности основных и опорных пучков имеем 8 неза-висимых отсчётов для текущих измерений in situ и 8 отсчётов для предвари-тельных измерений при неизменяемых расстановке и размещении элементов в обоих измерительных каналах прибора, то есть имеем 16 величин, опреде-ляемых экспериментально. Регистрируемые пучки в свою очередь несут па-раллельно информацию, описываемую 18 параметрами, причём фазы (_p и _s) комплексных амплитудных коэффициентов отражения r_p^ и r_s^ для основного и опорного объектов и фазы (_p и _s) комплексных амплитудных поляризаци-онных аппаратных функций прибора A_p^ и A_s^ для линейно поляризованных p- и s-компонент потока света в основном и опорном измерительных каналах проявляются в плане теории не в отдельности, сами по себе, а через соответ-ственные разности , _о и _А этих фаз. Понятные требования конструктив-ного сходства элементов измерительных каналов снижают число внутренних параметров потоков света в приборе уже до семи. . . Параллельно измеряют выходные электрические сигналы V_и1, V_и2, V_и3, V_и4 от информационных и V_о1, V_о2, V_о3, V_о4 от опорных пучков света и на их основе вычисляют относительные параметры выходных сигналов в виде:

p = [V_и1(и2) /V_о1(о2)]^1/2 (20.1-1)

s = [V_и1(o1) /V_и2(о2)]^1/2 (20.1-2)

q = │(V_и3 – V_и4)│/(V_и3 + V_и4) (20.1-3)

u = │(V_o3 – V_o4)│/(V_o3 + V_o4) (20.1-4)

Для рассматриваемого здесь случая основные уравнения холоэллипсо-

метрии, имеющие в целом принципиальное методологическое значение,

получаем на основе общего электродинамического подхода к взаимодейст-вию поляризованных волн с оптическими элементами прибора, а также по-нятных соображений о конструктивной и функциональной идентичности со-ответственных оптических и электроизмерительных элементов прибора в его измерительных каналах и о взаимном расположении светоделительных плос-костей в светоделителях. Эти уравнения холоэллипсометрии для изотропной поглощающей плёнки на изотропной подложке представляют собой, во-пер-вых, соотношения для модулей r_p и r_s комплексных амплитудных коэффици-ентов r_p^ и r_s^ линейно поляризованных p- и s-компонент потока света на объекте:

r_p = r_op [(V_и1/V_о1)^1/2]/[(V_и1/V_о1)^1/2 ]_Э (20.2) . r_s = r_os [(V_и2/V_о2)^1/2]/[(V_и2/V_о2)^1/2 ]_Э (20.3) (здесь индекс «э» внизу отвечает замене основного объекта на пути основ-ного потока света эталонным объектом, идентичным опорному, для учёта ап-паратных функций прибора, а параметры r_op и r_os есть модули комплексных амплитудных коэффициентов отражения r_op^ и r_os^ для линейно поляризован-ных p- и s-компонент опорного потока света на опорном объекте); во-вторых, автоматически включаемые соотношения для известных в эллипсометрии модулей _и и _о относительных комплексных амплитудных коэффициентов отражения _и^ и _о^ для основного (и) и соответственно опорного (о) объектов: _и(о) = V_и(о)1/V_и(0)2 (20.4). в-третьих, соотношения для фазовых эллипсометрических параметров  и _о основного и соответственно опорного (о) объектов в виде:

sin  = (1/2)(_и + _и^–1)[(V_и3 – V_и4)/(V_и3 + V_и4 )] (20.5-1). . sin _о = (1/2)(_о + _о^–1)[(V_о3 – V_о4)/(V_о3 + V_о4 )] (20.5-2) . Последние соотношения (20.5-1) и (20.5-2) имеют место при надлежащей настройке поляризационных компенсаторов, размещаемых по схеме ПОКА (PSCA) на входе анализитора эллипсометра выполнением вспомогательных опытов до проведения основных измерений. Разности фаз _АИ и _АО для линейно поляризованных p- и s-компонент основного информационного (и) и вспомогательного опорного (о) потоков излучения при их взаимодействии с оптическими элементами прибора на всём пути от источника света до фотоприёмников подбирают специально. Для этого основной контролируемый объект заменяют эталонным объектом, который идентичен опорному, и устанавливают компенсаторы так, чтобы они давали сдвиги по фазе для ортогонально поляризованных пучков света, равными (). Отклонения сдвигов фаз от значения () для опорного объ-екта при измерениях in situ служат согласно соотношению (20.5-2) мерой фазовой стабильности работы прибора в режиме in situ. Отметим, что при отсутствии опорного объекта для эллипсометрических параметров в опорном пучке выполняются соотношения: r_op = r_os = 1 и _о = 0. . . Основные уравнения холоэллипсометрии (20.2)–(20.5) для рассмотренного варианта следуют из общего электродинамического подхода и дают основу для осуществления метода параллельного и быстрого определения массива эллипсометрических параметров объекта в режиме in situ независимо от априорных допущений о конкретных значениях его параметров. Они задают и логику схемотехнической организации микропроцессоров для получения при контроле или измерениях in situ относительных выходных сигналов (20.1) вместо использования в алгоритме расчётов параметров непосредст-венно измеряемых выходных сигналов V_и1, V_и2, V_и3, V_и4 от информационных и V_о1, V_о2, V_о3, V_о4 от опорных пучков света. Такая схемотехническая орга-низация обработки измерений диктуется требованием иметь достаточную устойчивость алгоритма счёта к экспериментальным погрешностям и флук-туациям сигналов при контроле процессов на объекте в масштабе реального времени. Относительные параметры (20.1) позволяют исключить неопреде-лённости, обязанные отсутствию при измерениях in situ информации о пада-ющей на вход прибора интенсивности потока света и аппаратных функциях самого прибора, включая динамическую (вольт-ваттную) чувствительность приёмно-усилительных частей прибора, исключить влияние на результаты нестабильностей в интенсивности потока света на входе прибора, обязанные флуктуациям (а) плотности полей в источнике света и (б) свойств окружаю-щих объект сред, например, из-за дрейфа температуры, давления, влажности атмосферы, рассеянного высокочастотного или ультрафиолетового излуче-ния и «плавания» режимов фотоприёмников и усилителей электрических сигналов. Разностные сигналы (V_и3 – V_и4) и (V_о3 – V_о4) позволяют подавить «когерентные» шумы, обязанные полям излучения в основном и опорном потоках света. Микропроцессор обеспечивает включение в него блока посто-янной памяти для записи, хранения и последующего использования парамет-ров аппаратных функций холоэллипсометра и других параметров, получае-мых на основе предварительных вспомогательных опытов. . . Пусть модули комплексного амплитудного коэффициента отражения r_pд и r_sд и коэффициента пропускания t_др и t_дs светоделителя для потоков света с линейными р- и s-поляризациями в опорном и информационном каналах соответственно одинаковы. Тогда сигнал V_и1 для информационного пучка света с линейной р-поляризацией:

V_и1 = Dr²_pдr²_pA²_pI_о (20.6). (D – вольт-ваттная чувствительность фотоприёмников, A_p – амплитуда ком-плексной аппаратной функции прибора A^*_p для компоненты потока света с линейной р-поляризацией, I_о – интенсивность на входе прибора); сигнал V₀₁ для опорного потока света р-поляризации:

V_о1 = Dr²_pдr²_оpA²_pI_о (20.7). сигнал V_и2 для основного пучка s-поляризации: V_и2 = Dr²_sдr²_sA²_sI_о (20.8).

(A_s – амплитуда комплексной аппаратной функции прибора A^*_s для потока. света с линейной s-поляризацией); сигнал V_о2 для опорного пучка s-поляри-зации: V_о2 = Dr²_sдr²_оsA²_sI_о (20.9). . Затем находим отношение (V_и1/V_о1), используя (20.6) и (20.7) и отношение (V_и2/V_о2), используя (20.8) и (20.9); искомые модули r_p и r_s коэффициентов отражения слоистой структурой компонент падающего на неё потока света с линейными р- и s-поляризациями согласно (20.2) и (20.3) при известных на основе предварительных опытов коэффициентов отражения r_oр и r_os для пуч-ков в опорном канале измерений, внесённых в банк данных. Далее сигналы V_и3 и V_и4 от основных и сигналы V_о3 и V_о4 от опорных пучков с линейными поляризациями, повёрнутыми на 45º влево (+) и вправо (–) относительно поляризации предшествующей системы (взят случай линейных поляриза-ционных призм, используемых как анализаторы состояния поляризации света и повёрнутых своими азимутами относительно друг друга на угол 45º): .

. V_и3 = DI_o[t²_sдr²_sA²_s +t²_pдr²_pA²_p+2t_pдt_sдr_sr_pA_pA_scos(+_A+_t)] (20.10) . , А и _t – фазовые эллипсометрические параметры для слоистой структуры, аппаратной функции прибора и пропускаемого светоделителем 4 света);

и V_и4 = DI_o[t²_sдr²_sA²_s +t²_pдr²_pA²_p – 2t_pдt_sдr_sr_pA_pA_scos(+_A+_t )] (20.11)

V_о3 = DI_o[t²_sдr²_оsA²_s+t²_pдr²_орA²_p + 2t_pдt_sдr_оsr_оpA_pA_scos(+_A+_t)] (20.12)

V_о4 = DI_o[t²_sдr²_оsA²_s+t²_pдr²_орA²_p – 2t_pдt_sдr_оsr_оpA_pA_scos(+_A+_t)] (20.13)

Тогда: q = (V_и3 – V_и4)/(V_и3 + V_и4) = [2a_и/(1 + a²_и²)]cos( + _o) (20.14)

u = (V_o3 – V_o4)/(V_o3 + V_o4) = [2a_о/(1 + a²_о²)]cos _o (20.15)

v = (V_и3 + V_и4)/(V_o3 + V_o4) = [(1 + a²_и²)/(1 + a²_о²)](r_s/a) (20.16)

где относительные коэффициенты отражения основного _и = (r_p/r_s) = (V_и1/V_и2) и опорного _о = (V_о1/V_о2) объектов даны формулами (20.4); параметр а поляризационной аппаратной функции прибора задан как:

а = (A_pt_pд/A_st_sд) (20.17)

и фазовый параметр _o: _o = _A + _t (20.18)

Определяя эллипсометрический параметр  объекта, выполняем расчёт-ные операции: 1) r_p и r_s с помощью (20.4) дают параметр _и = (r_p/r_s); 2) зная параметр _о, хранящийся в банке данных, и найденные r_s и _и, находим с по-мощью (20.17) параметр а; 3) имея параметры а и _о находим значение cos_o по параметру u в (20.16) и далее параметр _o; 4) при найденных _и и а по па-раметру q в (20.15) – значение cos( + _o) и далее параметр ( + _o); 5) по па-раметрам _o и ( + _o) находим эллипсометрический параметр  слоистой структуры. Если параметр К = (I_oo/I_oи)  1, в формулах (20.1), (20.14)–(20.16) параметр V_и,о4 заменяем на КV_и,о4, в формулах (20.2) и (20.3) параметр V_о1,2 –

на (V_о1,2/К), в формуле (20.10) V_и3 – на (V_и3/K), в формуле (20.12) V_и3 – на

(V_и3/K²) и в формуле (20.13) параметр V_и4 – на (V_и4/K).

Эффективность метода холоэллипсометрии в эксперименте или техноло-гическом контроле в режимах in situ определена (а) числом эллипсометриче-ских параметров, которое измеряется независимо и параллельно с должным быстродействием, и (б) выработкой при этом управляющих команд. Само же осваиваемое методом холоэллипсометрии число параметров, получаемых in situ, задано числом тех оптических параметров, что нужны для теоретиче-ского описания слоистой структуры на основе электродинамики. Реализация метода холоэллипсометрии в реальном времени изучаемой слоистой структу-ры коррелирует в итоге с отлаженностью её теоретического описания.

Расчёт амплитудных комплексных коэффициентов отражения r^*_p и r^*_s слоистой структурой линейно поляризованных p- и s-компонент падающего на неё света решается матричным методом, в котором четырёхкомпонентная матрица S связывает компоненты электрического поля световой волны на входе и выходе тонкого слоя, заключённого между двумя плоскостями, по-перечными бегу волны света. Применение метода связана с общими свойствами электромагнитного поля: граничные условия для электрических и магнитных векторов электромагнитного поля на границе раздела различных сред, в частности, непрерывность тангенциальных составляющих этих полей.

Пусть E⁺(z) и E^(z) – комплексные амплитуды плоских волн, бегущих в прямом (+) и обратном (–) направлении оси z, нормальной плоскости слоистой структуры (рисунок 20–1) из N слоёв между внешней средой (0) и подложкой (N +1). Комплексный показатель преломления n^*_j = n_j + ik_j с действительной n_j и мнимой k_j частями и толщиной d_j для j-слоя; внешняя среда – n^*_о = n_о + ik_j; подложка – n^*_N+1 = n_N+1 + ik_N+1. Плоская монохроматическая волна во внешней среде 0, падающая под углом ₀ на границу раздела среды с планарной системой, порождает отражённую во внешнюю среду 0 волну и входящую в подложку (N +1) волну. В каждом j-слое возбуждается электро-магнитное поле волны как результат сложения полей двух плоских волн: одной волны, бегущей вперёд (+) к подложке, и другой, бегущей обратно назад (–) к внешней среде. Полное электрическое поле Е(z) задано двух-компонентной матрицей в виде вектор-столбца. Его компоненты – плоские волны E⁺(z) и E^(z), бегущие в прямом (+) и обратном (–) направлениях оси z поперёк плоскости слоя (рис. 20–1):

E⁺(z)

Е(z) = E^(z) (20.19)

_o 0

1

2

_j j

N

Z _{N +1} N +1

Рис. 20–1. Плоская световая волна на многослойной структуре.

Вектора Е(z) и Е(z) в точках, удалённых от начала (z = 0) размещения слоёв на расстояния z и z, связаны матричным соотношением с помощью передаточной матрицы S: Е(z) = SЕ(z) (20.20). или системой уравнений: E⁺(z) = S₁₁E⁺(z) + S₁₂E^(z) (20.21-1). . E^(z) = S₂₁E^(z) + S₂₂E⁺(z) (20.21-2)

что равноценно: E⁺(z) S₁₁ S₁₂ E⁺(z)

Е(z) = E^(z) = S₂₁ S_{22 ·} E^(z) (20.22)

Четырёхкомпонентная передаточная матрица S описывает часть слоистой структуры между плоскостями, параллельными слоям и отстоящими от их начала на расстояния z и z. Если z и z лежат по разные стороны границы слоёв j и (j–1), то для (20.20) имеем:

Е(z_j–0) = I_(j–1)j Е(z_j +0) (20.23)

где четырёхкомпонентная – (2х2) – матрица I_(j–1)j описывает границу разде-ла слоёв j и (j – 1). Если же z и z лежат внутри j-слоя на его границах при расстоянии в толщину слоя d_j, то для соотношения (20.20) имеем: Е(z_j +0) = L_j Е(z_j + d_j – 0) (20.24)

где четырёхкомпонентная матрица L_j характеризует j-слой толщины d_j. . . Все эти локальные поля – присутствующие внутри слоёв планарной сис-темы и на их границах контакта с другими слоями или средами – определяют результирующую волну. Если координаты z и z лежат во внешней среде (0) и в подложке (N +1) и непосредственно примыкают соответственно к грани-цам раздела внешней среды и первого слоя (01) и последнего N слоя и подложки (N, N +1), то поле Е(z₁ – 0) на границе сред (01) и поле Е(z_(N+1)+0) на границе контакта с подложкой (N, N+1) описывается матричным соотношением: Е(z₁ – 0) = SЕ(z_(N+1) + 0) (20.25)

Матрица S в соотношении (20.25) описывает общие свойства отражения и пропускания света слоистой структурой. Она задана произведением всех последовательно включаемых матриц – матриц I_(j–1)j границ раздела слоёв j и (j–1) и матриц L_j j-слоя толщины d_j, описывающих этапы взаимодействия плоских световых волн с элементами слоистой структуры на пути от входа в неё до выхода из неё:

S = I₀₁ L₁ I₁₂ L₂ ···I_(j–1)j L_j ··· L_N I_N(N+1) (20.26)

Соотношение (20.26) показывает, что для определения матрицы S слоис-той структуры рассчитывают матрицы I_(j–1)j всех границ раздела слоёв и матрицы L_j всех слоёв. Матрица I_(j–1)j границы раздела слоёв j и (j–1) определена френелевскими коэффициентами отражения r^*_(j–1)j и пропускания t^*_(j–1)j, заданными углами падения _j:

1 r^*_(j–1)j

I_(j–1)j = ∙(1/t^*_(j–1)j) (20.27)

r^*_(j–1)j 1

Матрица L_j для j-го слоя с комплексным показателем преломления n^*_j = n_j + ik_j и толщиной d_j описывает фазовый сдвиг для волн E⁺(z) и E^(z), бегущих в разных направлениях в слое:

exp(+iф_j) 1

L_j = 1 exp(–iф_j) (20.28)

где фазовый сдвиг ф_j: ф_j = kd_jn^*_jcos_j (20.29) k – волновое число: k =  (20.30) _j – угол между направлениями бега волн и нормали к границе раздела сред. . . В эллипсометрии матрица S слоистой структуры берётся отдельно для линейно поляризованных p- и s-компонент потока света на слоистой струк-туре. Применяя метод S-матрицы к структуре из двух слоёв (1 и 2), находя-щихся на подложке (3) во внешней среде (0): S = I₀₁ L₁ I₁₂ L₂ I₂₃ (20.31) приняв во внимание соотношения (20.27) и (20.28) и проведя матричные перемножения, получаем матричные компоненты S₁₁ и S₂₁:

. S₁₁ = А^*[(1 + r^*₀₁r^*₁₂exp(–i2ф₁) + (r^*₁₂ + r^*₀₁exp(–i2ф₁)r^*₂₃exp(–i2ф₂)] (20.32). . S₂₁ = А^*[(r^*₀₁+ r^*₁₂exp(–i2ф₁) + (r^*₀₁r^*₁₂ + exp(–i2ф₁)r^*₂₃exp(–i2ф₂)] (20.33). . А^* = [exp(i(ф₁+ ф₂))]/(t^*₀₁t^*₁₂t^*₂₃) (20.34).

и амплитудные комплексные коэффициенты отражения r^*_p,s линейно поляризованных p- и s- компонент потока света: r^*_p,s = (S₂₁/S₁₁) _p,s (20.35) . Итак, их комплексные величины для двуслойной структуры зависят в итоге при известных комплексных показателях преломления n^*₀ и n^*₃ внешней среды и подложки от шести оптических параметров: действительных n₁ и n_,2, мнимых k₁ и k₂ частей комплексных показателей преломления n^*₁ и n^*₂ слоёв 1 и 2 и их толщин d₁ и d₂. Результат важен для холоэллипсометрии как задающий требования к обеспечению функциональной, схемотехнической и конструктивной организации холоэллипсометра. В данном случае требуется измерять в режиме in situ параллельно и с достаточным быстродействием, по крайней мере, не менее шести экспериментально определяемых эллипсометрических параметров, описывающих состояние двуслойной структуры.

0 _o

1 ₁ z = 0

2 Z ₂ z = d

Рис. 20–2. Оптически анизотропный плёночный слой на подложке.

Холоэллипсометрия оптически анизотропного поглощающего слоя 1 на подложке 2 при контакте с внешней средой 0 (рисунок 20–2) строится в рамках электродинамики сплошных сред, опирающейся на систему уравнений Максвелла-Лоренца для гармонически меняющихся векторов электромагнитного поля:

rot E + (i/c)B = 0; divB = 0; (20.36-1) . . rotH – (i/c)D = (c)J; divD = Q (20.36-2).

где E и H, D и B – векторы напряжённости и индукции поля светового излучения; Q – объёмная плотность свободных электрических зарядов;

J – плотность тока проводимости: J = _pq E (20.37)

(_pq – тензор проводимости 2-го ранга с комплексными компонентами). . Материальные уравнения как связи векторов D и E, B и H, J и E заданы тензорами второго ранга для диэлектрической _pq и магнитной _pq проницаемостей, проводимости _pq:

D = ^* _pq E (20.38). . . B = _pq H (20.39).

и электрической проницаемости: _pq = _pq  i()_pq (20.40).

. Каждый тензор _pq, _pq, _pq и _pq определён в общем случае 9 комплексными, а всего 18 действительными параметрами. Но компоненты электрических D (D_x, D_y, D_z); E(E_x, E_y, E_z) и магнитных B (B_x, B_y, B_z); H(H_x, H_y, H_z) векторов связаны уравнениями для энергии W_E и W_M электрического и магнитного полей электромагнитной волны и условиями инвариантности относительно преобразований симметрии кристаллов. С учётом этого выби-рают систему координат (x, y, z) для кристалла немагнитной среды, в кото-рой при нулевом магнитном поле недиагональные компоненты тензора элек-трической проницаемости ^*_pq (p  q) в (20.40) обращаются в ноль. В ней для компонент D_q индукции D и E_q напряжённости E вдоль главных направ-лений в кристалле q (x, y, z) имеем связь: D_q = ^*_qqE_q (20.41). . Плоская линейно поляризованная световая волна с вектором Е, колеблю-щимся вдоль главного направления q в кристалле (q = x, y, z), распространя-ется с фазовой скоростью v_q, связанной с главным значением действительной части n_q показателя преломления n^*_q: v_q = (с/n_q) (20.42)

а главное значение комплексного показателя преломления n^*_q (q = x, y, z) для главного направления q в кристалле задано главным значением электриче-ской проницаемости ^*_qq (q = x, y, z): n^*_q = *_qq^1/2 (20.43). . Для оптически анизотропных одноосных кристаллических многослойных структур, получивших в практике высоких технологий объективно наиболее широкое распространение, число независимых параметров, описывающих оптические свойства и, следовательно, оптические параметры слоя в струк-туре, снижается до шести. Это (1) геометрическая толщина слоя d; (2) дейст-вительная n_о и (3) мнимая k_o части комплексного обыкновенного показателя преломления n^*_о:

n^*_о = n_о + ik_o (20.44) (4) действительная n_е и (5) мнимая k_e части комплексного необыкновенного показателя преломления n^*_е: n^*_е = n_е +ik_е (20.45) наконец, (6) угол  для направления колебаний вектора электрической индукции D электромагнитной волны относительно оптической оси крис-талла, причём для необыкновенной волны (е), когда угол  отличен от прямого (  2), фазовая скорость v() определяется соотношением:

. v() = с{[(sin)²  (n²_е–2n_еk_е)] +[(cos)²  (n²_o–2n_ok₀)]}^1/2 (20.46).

. Этот результат, повторяемся, также важен для холоэллипсометрии как задающий требования к обеспечению функциональной, схемотехнической и конструктивной организации соответствующего типа холоэллипсометра, при этом, видим, лишь один анизотропный слой многослойной структуры требует уже не менее шести независимо определяемых в опыте параметров. . . Расчёт амплитудных комплексных коэффициентов отражения r^*_p и r^*_s поляризованного потока волн слоистыми анизотропными структурами являет собой самостоятельную научную проблематику. Решение возникающих в этой области научных исследований задач существенно опирается на раз-работанный метод (4х4)-матриц, хотя, может быть, разработанный ещё в недостаточной мере для произвольного случая кристаллических слоистых структур с более низкими типами симметрии. Но при нашем подходе к раз-витию холоэллипсометрии in situ как мониторинга высокотехнологичных процессов вполне приемлемыми оказываются разработанные методы расчёта коэффициентов отражения оптически анизотропными слоями, обладающими достаточно высокой кристаллографической симметрией и находящимися в окружении химически агрессивных сред. . . В актуальном для роста анизотропных структур случае, когда оптическая ось одноосной плёнки 1 перпендикулярна её границам со средой 0 и подлож-кой 2 (рисунок 20–2), можно применить формулу (20.35), уточняя в форму-лах (20.32)–(20.33) фазовую толщину:

_1p,s = (4d₁)n^_1p.scos_1p,s (20.47). и: r^_p,_(s) = {^_01p(s) + ^_12p(s)exp[i_(p,s)]}/{1 + ^_01p(s) ^_12p(s)exp[i_(p,s)]} (20.48).

где коэффициенты Френеля для компонент отражаемого потока световых волн с линейными p- и s-поляризациями на границах раздела плёнки 1 с внешними для неё средами 0 и 2 определены как: ^_01p = (n^_1оn^_1е cos_о  n^_оn^_1е cos_1е)/(n^_1о n^_1еcos_о + n^_оn^_1еcos_1е) (20.49-1). ^_12p = ( n^_1оn^_1е cos₂ + n^₂n^_1еcos_2е)/(n^_1оn^_1еcos₂ + n^₂n^_1е cos_2е) (20.49-2). ^_01s = (n^_о cos_о  n^_1о cos_1о)/(n^_о cos_о + n^_1о cos_1о) (20.49-3). ^_12s= ( n^₂ соs₂ + n^_1е cos_1е)/(n^₂ сos₂ + n^_1е cos_1е) (20.49-4).

где n^_1о и n^_1е  обыкновенный (о) и необыкновенный (е) показатели прелом-ления плёнки, n^₀ и n^₂  показатели преломления среды 0 и подложки 2.