Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ДЗ ОЭМ Рам (1).docx
Скачиваний:
5
Добавлен:
09.02.2015
Размер:
76.62 Кб
Скачать

Построение функции спроса

Метод наименьших квадратов

  • Линейная аппроксимация

Линейная модель представлена в виде:

, где - погрешность. Суть метода состоит в том, чтобы минимизировать сумму квадратов погрешностей для данной модели:

Составим таблицу исходных данных – пар чисел (p, D(p)) также в порядке возрастания значений параметра p.

Таблица 2

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

i

pi

Ni

pi * Ni

D(pi)

D(pi) *Ni

Pi2 * Ni

D(pi) * pi * Ni

D*(pi)

Ni * [D(pi) – D*(pi)]

Ni * [D(pi)-D*(pi)]2

1

8000

4

32000

50

200

256000000

1600000

52,75

-11,00

30,26

2

9000

5

45000

46

230

405000000

2070000

45,93

0,35

0,02

3

10000

8

80000

41

328

800000000

3280000

39,11

15,14

28,64

4

11000

4

44000

33

132

484000000

1452000

32,29

2,85

2,04

5

11500

2

23000

29

58

264500000

667000

28,88

0,25

0,03

6

12000

6

72000

27

162

864000000

1944000

25,47

9,21

14,13

7

12500

4

50000

21

84

625000000

1050000

22,05

-4,22

4,45

8

13000

6

78000

17

102

1014000000

1326000

18,64

-9,86

16,22

9

13500

1

13500

11

11

182250000

148500

15,23

-4,23

17,92

10

14000

2

28000

10

20

392000000

280000

11,82

-3,65

6,64

11

14500

2

29000

8

16

420500000

232000

8,41

-0,82

0,34

12

15000

6

90000

6

36

1350000000

540000

5,00

5,99

5,98

-

50

584500

-

1379

7057250000

14589500

-

0,00

126,68

11690

-

27,58

141145000

291790

-

-

-

Средние значения

k – число групп, k = 12; 50

Оценка параметров а*, b* произведена по формуле с учетом посчитанных значений:

После подстановки:

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D*(p) = - 0,0068*p +107,32

Рассчитаны восстановленные значения спроса при наших значениях цены: D*(p)

Произведена проверка правильности решения по следующему критерию:

= 0 – все расчеты верны.

Также рассчитана остаточная сумма квадратов:

SS1= = 126,88

Расчет оптимальной цены для линейной зависимости

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p0. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p - p0.) D*(p) = (p. p0.)(a*p + b*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную, а также учтем, что a* = -0,0068,b* = 107,32

2a*pопт.а*р0 +b* = 0,

Сравним (табл.4) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (pопт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (pопт.1). Таблица 4

p0

pопт.1

pопт.2

4000

10000

9891

6400

11000

11091

8500

12000

12141

11000

12500

13391

12000

14000

13891

Вывод: оптимальные цены незначительно отличаются как в большую, так и в меньшую сторону от тех, которые мы нашли в начале.

  • Степенная аппроксимация

Оценка параметров степенной аппроксимации проводится аналогичным образом с той лишь разницей, что для нее мы используем величину, называемую логарифмом спроса.

Рассмотрим следующую модель:

- не является линейной по параметрам. Логарифмируем ее:

. Произведем замену переменных:

; . Получили следующее выражение:

– модель, линейная по параметрам.

Результаты расчетов показаны в Таблице 3, где использованы указанные выше параметры (pi ; fi ; Di). На их основе посчитаны средние значения, как средневзвешенные:

Таблица 3.

i

Ni

ti

yi

Ni * ti

Ni * yi

Ni * ti2

Ni * ti * yi

D**(pi)

(D**(pi)-D(pi))2*Ni

1

4

8,99

3,91

35,95

15,65

323,08

140,63

4,36

-1,77

77,92

3117,09

2

5

9,1

3,83

45,52

19,14

414,5

174,3

3,95

-0,63

52,16

189,77

3

8

9,21

3,71

73,68

29,71

678,64

273,63

3,60

0,95

36,43

167,16

4

4

9,31

3,5

37,22

13,99

346,38

130,15

3,27

0,90

26,33

178,06

5

2

9,35

3,37

18,7

6,73

174,85

62,97

3,12

0,50

22,63

81,21

6

6

9,39

3,3

56,36

19,78

529,33

185,74

2,97

1,93

19,57

330,91

7

4

9,43

3,04

37,73

12,18

355,96

114,88

2,84

0,84

17,03

62,98

8

6

9,47

2,83

56,84

17,0

538,39

161,03

2,70

0,79

14,90

26,42

9

1

9,51

2,4

9,51

2,4

90,45

22,81

2,57

-0,17

13,10

4,43

10

2

9,55

2,30

19,09

4,61

182,28

43,96

2,45

-0,29

11,58

4,97

11

2

9,58

2,08

19,16

4,16

183,63

39,85

2,33

-0,50

10,27

10,32

12

6

9,62

1,8

57,7

10,75

554,78

103,38

2,21

-2,53

9,15

59,59

50

467,46

156,1

4372,27

1453,33

0,00

4232,92

9,35

3,12

87,45

29,07

k – число групп, k = 12; 50.

Средние значения:

.12

Оценка параметров а*, b* произведена по формуле с учетом посчитанных значений:

После подстановки:

Восстановленная зависимость:

Рассчитаны восстановленные значения спроса при наших значениях цены с помощью операции потенцирования значения:..

Произведена проверка правильности решения по следующему критерию:

= 0 – все расчеты верны.

Также рассчитана остаточная сумма квадратов:

= 4232,9

Расчет оптимальной цены для восстановленной степенной зависимости

Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену pопт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачув случае степенной зависимости:

(pp0.)с*pα*.

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(pp0.)pα* = f(p)→ .

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

.

Продифференцируем f(p), используя правило дифференцирования произведения функций:

α* + (pp0)(α*)pα* -1 =0.

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

pα*p + p0.α* = 0.

Получим оптимальное значение розничной цены:

Таблица 4

p0

pопт.1

pопт.3

4000

10000

5666,7

6400

11000

9066,7

8500

12000

12042

11000

12500

15583

12000

14000

17000

Общий вывод:На основании того, что SS1<SS2 можно сделать вывод, что предпочтительней работать с линейной моделью для дальнейшей оценки, т.к. она более точно приближает исследуемую функцию спроса.

Библиография

1. Орлова Л.А. Методическая разработка «Функция спроса и метод наименьших квадратов», электронная версия, М.: Лаборатория экономико-математических методов в контроллинге, 2007 (электронный вариант). – 21 с.

2. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник. - М.: Издательство «Экзамен», 2004. - 656 с.

3. Орлов А.И. «Эконометрика» http://www.orlovs.pp.ru

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]