I Введение

В теории электрических цепей электромагнитное устройство с происходящими в нем и в окружающем его пространстве физическими процессами заменяют некоторым расчетным эквивалентом- электрической цепью. Дадим определение электрической цепи:

Электрическая цепь- это совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и элементов, по которым может протекать электрический ток. изображение электрической цепи с помощью условных знаков называют электрической схемой.

Физические процессы, которые были ранее упомянуты, не могут происходить сами по себе. Превращение электрической энергии из одного вида в другой происходит в активных и реактивных элементах цепи, таких как резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Наука о физических процессах и технических методах использования энергии электромагнитного поля в практических целях называется электротехника. Рассмотрим основные параметры электрических цепей:

СОПРОТИВЛЕНИЕ

Сопротивление-параметр электрической цепи, оценивающий потери электрической энергии в данной цепи при протекании в ней тока. Носителем данного параметра является резистор (рис.1.1).

R = - для цепи постоянного тока

R = -для цепи переменного тока

Единицы измерений: [P]= Вт; [I]= A;[R]= Oм

Рис.1.1:Изображение резистора на схеме электрической цепи.

Элемент цепи, параметром которого является только сопротивление, принято считать идеальным резистором.

ИНДУКТИВНОСТЬ

Индуктивность- параметр электрической цепи, количественно оценивающий магнитное поле, связанное с данной цепью, при протекании в ней тока. Носитель параметра- катушка индуктивности (рис.1.2).

L=- для цепи постоянного тока

L=-для цепи переменного тока

= 𝚽 * k;- поток сцепления.

𝚽=;-поток магнитного поля

Если проводник скручен спиралью с n-витками, то

= 𝛟 * n

Единицы измерений: []= [𝚽]= Вб; [L]= Гн;

При изменении магнитного поля возникает ЭДС индукции, численно равная скорости потока сцепления.

e(t)=-

ЭДС- величина, численно равная работе по переносу единичного положительного заряда сторонними силами внутри источника.

ЭДС численно равна отношению работы по переносу бесконечно малого заряда сторонними силами к величине заряда.

Рис.1.2 Изображение катушки индуктивности на схеме электрический цепи.

При оценке напряжения речь идет о кулоновских силах:

e= u=

e=- ЭДС самоиндукции

Учитывая то, что кулоновская сила действует обратно сторонним, получим:

u(t)=- e(t)

u=i =

W =====

W=

При последовательно соединении нескольких индуктивностей, величина общей индуктивности будет равна сумме величин данных индуктивностей.

ЁМКОСТЬ

Ёмкость- параметр электрической цепи, количественно оценивающий электрическое поле данной цепи. Носителем параметра является конденсатор (рис. 1.3).

Рис.1.3 Изображение конденсатора на схеме электрической цепи.

С= =,где С-ёмкость, Q-заряд одной пластины

i ==

u=

e=-u=-

Единицы измерений: [q]= Кл; [u]= [e]= В; [С]= Ф;

W ===

W=

При параллельном соединении емкостей общая ёмкость равна сумме включенных емкостей.

II АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основными задачами теории электрических цепей являются зада­чи анализа и синтеза.

Осуществить анализ электрической цепи - это значит, для извест­ной цепи при известных воздействиях найти любые отклики.

Синтез электрической цепи заключается в нахождении электрической цепи, у которой при заданных воздействиях будут заданные отклики.

В общем случае задачи анализа имеют более простое решение, нежели задачи синтеза для аналогичных цепей. Следует иметь также в виду, что в отличие от анализа задачи синтеза обычно имеют множество решений, из которых, чаще всего, требуется выбрать оптималь­ное.

Настоящее пособие посвящено вопросам анализа линейных электри­ческих цепей постоянного тока. Воздействиями в подобного рода цепях являются источники постоянного напряжения (ЭДС) и источники постоянного тока. Реальные источники постоянного напряжения или тока на принципиальных схемах моделируются (заменяются) с помощью идеальных генераторов ЭДС или тока и резисторов.

Идеальным генератором постоянной ЭДС называется такой идеализи­рованный источник электромагнитной энергии, напряжение на зажимах которого постоянно во времени, не зависит от нагрузки и численно равно ЭДС этого источника. На принципиальных схемах идеальный ге­нератор постоянной ЭДС изображается в виде окружности со стрелкой внутри нее (рис. 1). Причем стрелка указывает направление действия сторонних сил внутри генератора на положительные заряды.

Рис.1.

В соответствии с этим положительный вывод генератора будет нахо­диться со стороны острия стрелки.

Идеальный генератор постоянного тока - это такой идеализирован­ный источник электромагнитной энергии, ток которого постоянен во времени и не зависит от нагрузки.

На рис. 2 показаны возможные изображения идеального генератора постоянного тока на схемах,

Рис. 2.

При этом стрелки указывают направление тока данного генератора.

Кроме источников (генераторов) пень постоянного тока содержит пассивные элементы: резисторы, катушки индуктивности и конденса­торы, Однако идеальная индуктивность в цепи постоянного тока об­ладает нулевым сопротивлением, т.е. равносильна короткому замыка­нию. Идеальная емкость в цепи постоянного тока равносильна обрыву цепи. Таким образом, идеальные индуктивности и емкости не оказывают влияния на работу электрической цепи постоянного тока, поэ­тому их чаще всего в схеме цепи постоянного тока не показывают.

Откликами электрической цепи являются токи в различных ветвях и напряжения между различными токами цепи. Однако, обычно считает­ся, что для осуществления анализа электрической цепи, достаточно найти токи во всех ветвях, т.к. по известным токам напряжения меж­ду любыми точками находятся довольно просто.

ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ СОДЕРЖАЩЕЙ ЭДС

Этот закон устанавливает соотношение между током цепи, состоя­щей из последовательно соединённых идеального генератора ЭДС и резистора, напряжением этой цепи и параметрами цепи EиR. Закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС, имеет следующий вид:

(1)

Причем чередование индексов у напряжения (ab или ba). Соответствует направлению тока. Перед ЭДС ставится знак "плюс", если нап­равление ЭДС совпадает с током, и знак "минус" в противном случае.

При нахождении тока по закону Ома его направление выбирают про­извольно. Для выбранного направления записывается конкретный ва­риант формулы (I) и вычисляется значение тока. Получение положи­тельного результата тока означает, что его истинное направление совпадает с выбранным. Отрицательный результат указывает, что истинное направление тока противоположно выбранному. Найдем, например, ток в цепи рис. 3 приU_ab=10B, E=20B, R=5 OM

Рис. 3.

Выберем произвольно направление тока I (к примеру, слева направо) и применим закон Ома:

Знак "минус" означает, что истинное направление тока Iпротивоположно показанному на рис. 3. Значение же этого тока равно 6А.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА

фундаментом теории электрических цепей являются законы Кирх­гофа. По существу все остальные законы и методы теории цепей яв­ляются следствием этих законов.

Первый закон Кирхгофанепосредственно вытекает из принципа непрерывности электрического тока. Он утверждает:

Алгебраическая сумма токов, сходящихся к узлу, равна нулю.

Будем условно считать положительными те токи, которые входят в узел и отрицательными те, которые выходят из узла (можно и нао­борот).

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма напряжений в любом замкну­том контуре равна алгебраической сумме ЭДС этого контура.

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ КИХГОФА

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, содержат неиз­вестные - токи в ветвях. Однако не для всех ветвей токи неизвест­ны, т.к. ток ветви, содержащей идеальный генератор тока, равен (по определению идеального генератора тока) току - этого генератора. Таким образом, если в цепи nветвей иtгенераторов тока, то имеетсяn-tнеизвестных токов, и относительно этих токов по законам Кирхгофа необходимо составить систему(n-t)взаимонезависимых уравнений.

При этом рекомендуется следующий порядок действий:

1.Произвольно выбрать направления токов во всех(n-t)вет­вях, не содержащих генераторы токов.

2.Дляk-1узла (гдеk- общее число узлов в цепи) составить уравнения по первому закону Кирхгофа.

3.Выбрать независимые контуры (их число обязательно должно быть n-t-k+1) и произвольно установить в них направления обхода. Необходимо иметь в виду, что независимые контуры не должны содержать идеальные генераторы тока.

4.Для каждого независимого контура составить уравнение по второму закону Кирхгофа.

5.Найти неизвестные токи в ветвях, решив систему(n-t) уравнений, составленных по пунктам 2 и 4.

6.Получение отрицательных результатов для каких-либо токов означает, что их направления противоположны выбранным.

Замечание к пункту 3Замкнутый контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну новую ветвь по сравнению с ранее рассмотренными контурами.

Пример.Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для

цепи рис. 4.

В цепи 8 ветвей (n=8), 4 узла(k=4)и 2 идеаль­ных генератора тока(t=2). Произвольно выберем направле­ния токов шести(n-t=6)ветвях, не содержащих генераторов тока.

Рис.4.

По первому закону Кирхгофа необходимо составить три уравнения (k-1=3). Выберем для этого второй, третий и четвертый узлы. Уравнения эти имеют вид:

Остальные уравнения (их число n-k-t+1=3) необходимо составить по второму закону Кирхгофа. Выберем независимые контуры (см. рис.4) а составляем для каждого из них уравнение по второму закону Кирх­гофа.

Таким образом, система уравнений для данной цепи, составленная по законам Кирхгофа имеет вид:

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (НАПРЯЖЕНИЙ).

Метод узловых потенциалов, как и рассматриваемый ниже метод контурных токов, позволяет уменьшить число уравнений в системе по сравнению с непосредственным использованием законов Кирхгофа. При использовании метода узловых потенциалов потенциал одного из узлов принимается равным нулю, а относительно потенциалов осталь­ных k-1, узлов составляется система уравнений следующего вида:

где g_ii- сумма проводимостей ветвей, подходящих кi-му узлу,

g_ij- сумма проводимостей всех ветвей, соединявшихi-ый иj-ый узлы,

- алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости всех ветвей, подходящих кi-му узлу,

- алгебраическая сумма токов идеальных генераторов токов, подходящих кj -му узлу.

Причем слагаемые в двух последних суммах берутся со знаком "плюс", если соответствующий генератор направлен к данному узлу со знаком "минус" - в противном случае.

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

При использовании метода узловых потенциалов рекомендуется следующий порядок действий.

1.Потенциал одного из узлов принять равным нулю.

2.Относительно потенциалов остальныхk-1узлов составить систему уравнений по методу узловых потенциалов (см. систему (2)).

3.Найти потенциалk-1узла, решив полученную систему.

4.Токи в ветвях найти по полученным потенциалам, используя закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС.

Для примера составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для цепи рис. 4.

На практике рационально принимать равным нулю потенциал того узла, куда сходится наибольшее число ветвей, т.к. при этом упро­щается система. Поэтому примем ₁=0

Относительно потенциалов остальных узлов ₂, _3, ₄ система имеет вид:

Решив эту систему и найдя потенциалы ₂, _3, ₄ , далее легко найти токи во всех ветвях, используя закон Ома. Например:

и т.д.

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

При использовании метода контурных токов предполагается, что в каждом независимом контуре данной цепи протекает свой ток на­зываемый контурным. Токи же в ветвях определяются как алгебра­ические суммы соответствующих контурных токов.

Общее число контурных токов равно n-k+1,гдеn-число ветвей электрической цепи,k- число узлов. Однако зна­чения контурных токов тех контуров, которые содержат идеальные генераторы тока, оказываются равными токами соответствующих ге­нераторов. Поэтому число неизвестных контурных токов равноm=n-k-t+1,

где t- число идеальных генераторов тока в электрической цепи.

Относительно mнеизвестных контурных токов составляется система уравнений следующего вида:

где - неизвестные контурные токи,

- известные контурные токи,

- сумма сопротивленийi-ого независимого контура,

- сумма сопротивлений ветвей общих дляi-ого иj-oго не­зависимых контуров, взятая со знаком "плюс", если направления контурных токовив этих ветвях совпадают, и со знаком "ми­нус" - в противном случае,

- алгебраическая сумма ЭДСi-ого контура, где слагаемые берутся со знаком "плюс", если соответствующая ЭДС направлена по току, и со знаком "минус", если ЭДС направлена против тока.

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Расчет электрических цепей методом контурных токов можно осу­ществить в следующем порядке:

1.Выбрать(n-k+1)не зависимых контуров так, чтобы каждый ко­нтур содержал не более одного идеального генератора тока и каждый генератор тока входил только в один независимый контур.

2.Дляm(гдеm=n-k-t+1) выбранных контуров, не содержащих гене­раторов тока, произвольно выбрать направления контурных токов. Для остальныхtконтуров величина и направление контурных токов совпадают с токами соответствующих генераторов тока.

3.Составить систему уравнений по методу контурных токов.

4.Найти неизвестные контурные токи, решив полученную систему.

5.Токи в ветвях найти как алгебраические суммы соответствую­щих контурных токов.

Для примера составим систему уравнений по методу контурных токов для цепи рис. 4. Выбранные независимые контуры и их контурные токи показаны на рис. 5.

Рис. 5.

Система по методу контурных токов для данной цепи имеет вид:

Учитывая, что ,получим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Решив полученную систему, найдем контурные токиI₁₁, I₂₂, I₃₃. После этого можно найти токи во всех ветвях. Например:

и т.д.

МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В ряде случаев анализ сложной цепи существенно упрощается при замене участков этой цепи более простыми, им эквивалентными, т.е. не вызывающими изменения напряжений и токов в остальной части цепи. Целесообразное преобразование электрической цепи обычно направлено на уменьшение числа ее ветвей или узлов, а следовательно, и числа уравнений, определяющих ее электрическое состояние.

Метод преобразования состоит из последовательности таких прео­бразований, когда исходная цепь заменяется другой, эта другая третьей и т.д. И так до тех пор, пока не получим цепь, число урав­нений электрического состояния которой для нас приемлемо. Осущест­вив анализ этой последней цепи, переходят к анализу предыдущей. Так двигаясь в обратном порядке к исходной цепи, по пути можно найти любые токи или напряжения.

В процессе реализации метода преобразования часто используется замена группы сопротивлений одним эквивалентным. Возможность та­кой замены очевидна в случае последовательного, параллельного и смешанного соединения сопротивлений. В других случаях, иногда бывает полезным предварительно осуществить замену "звезды" сопротивлений на "треугольник" сопротивлений или обратную замену.

Рис.6. Рис.7.

Для того, чтобы "треугольник" сопротивлений (рис. 7) был эквива­лентен "звезде" сопротивлений (рис. б) требуется выполнение сле­дующих условий

₍₄₎

При переходе от "треугольника" к "звезде" параметры "звезды" опре­деляются следующим образом:

(5)

При использовании метода преобразований часто бывает полезна замена реального источника с генератором ЭДС (рис. 8) на реальный источник с генератором тока 3 (рис. 9)

Рис. 8 Рис.9

Как это следует из теорем об эквивалентном генераторе, эти две це­пи эквивалентны при соблюдении следующего условия:

(6)

МЕТОД АКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА

Метод активного двухполюсника (он также называется методом эквивалентного генератора или методом холостого хода и короткого замыкания) обычно целесообразно применять, для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи.

В основе метода лежат теоремы об эквивалентном генераторе. По существу - это две теоремы с очень близким содержанием,

Теорема Тевенена:Любой линейный активный двухполюсник можно представить в виде эквивалентного генератора (рис. 10), ЭДС ко­торого равна напряжению холостого хода на зажимах двухполюсника, а внутреннее сопротивление - сопротивлению между зажимами двухпо­люсника, когда все генераторы внутри него выключены.

Рис. 10 Рис.11

Теорема Нортона:Любой линейный активный двухполюсник можно представить в виде эквивалентного генератора (рис. 11), состояще­го из параллельно соединенных идеального генератора тока, ток ко­торого равен току короткого замыкания двухполюсника, и внутри сопротивления, величина которого определяется так же, как в теореме Тевенена.

Метод активного двухполюсника реализуется следующим образом. Пусть требуется определить ток в сопротивлениисложной электрической цепи. Удалим это сопротивление из цепи. Оставшаяся часть цепи, очевидно, будет являться активный линейным двухполюс­ником с зажимами a и b,который в соответствии с теоремами об экви­валентном генераторе можно представить эквивалентными схемами (рис. 10) или (рис. 11) с параметрами

При подключении сопротивления к эквивалентным генераторам в нем будет, протекать тот же ток, что и в исходной цепи. Этот ток может быть найден как

или

Для примера найдем ток через сопротивление в цепи (Рис. 12) методом активного двухполюсника

Рис. 12

Для этого удалим из, цепи и найдем в полученной цепи (рис. 13) напряжение.

Рис. 13

Для этого примем и найдем токии:

Тогда и

Для нахождения отключим (замкнем накоротко) генераторы ЭДСи(рис. 14) и найдем сопротивление между точкамиaиb.

Наконец находим ток

Рис. 14

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИАГРАММЫ

Потенциальная диаграмма - это график распределения потенци­ала вдоль какого-либо участка электрической цепи или вдоль зам­кнутого контура.

По оси абсцисс откладываются сопротивления вдоль участка цепи или контура, начиная с какой-либо точки, по оси ординат - потенциалы. Потенциальная диаграмма представляет собой ломаную, вершины которой соответствуют определенным точкам участка цепи или контура. Участкам контура, состоящим из сопротивлений, соответствует наклонные звенья ломаной, причем наклон звена -определяется током соответствующего участка. Участкам, состоящим из идеальных генераторов ЭДС, соответствуют вертикальные звенья, причем высо­та звена равна соответствующей ЭДС.

Пример построения потенциальной диаграммы приведен ниже.

БАЛАНС МОЩНОСТИ

Для любой электрической цепи алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощ­ностей, потребляемых приемниками (сопротивлениями). В первом слу­чае речь идет об алгебраической сумме, т.к. генераторы могут ра­ботать в режиме, при котором они потребляют электрическую энер­гию. В этом случае их мощность считается отрицательной,

Уравнение баланса мощностей имеет вид:

Слагаемые суммы положительны, если токсовпадает по направлению с, и отрицательны – в противном случае.

Слагаемые суммы отрицательны, ели напряжениена генераторе тока совпадает по направлению с током генератора, и положительны – в противном случае.

Все слагаемые суммы положительны.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №1

Дано:

R₁=10Oм,

R₃=8 Oм,

R₄=40 Oм, R₅=30 Oм,

R₆=60 Oм, E₃=56 B,

E₅=10 B,

E₆=200 B,

=1 A,

1. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи (рис. 15) и найдем ток.

Произвольно выбираем направления токов в ветвях и составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для первого и второго узлов

Выбираем три независимых контура и произвольно устанавливаем для них направления обходов:

Подставив значения параметров цепи, получим следующую систему:

Найдем главный определитель системы:

Определитель получается из определителязаменой пятого столбца столбцом свободных членов (см. приложение).

Таким образом

2. Найдем токи в ветвях цепи (рис.15) методом контурных токов. Выбор независимых контуров и выбранные направления контурных токов показаны на рис. 16:

Рис. 16

Система уравнений по методу контурных токов для цепи

рис. 16 имеет вид:

Подставляя значения параметров цепи и учитывая, что получим следующую систему:

Находим главный определитель системы:

Находим определители :

Контурные токи находим по правилу Крамера:

Знак “минус” у тока означает, что его настоящее направления противоположно выбранному. После изменения его направления значение этого тока. Токи в ветвях находим как алгебраические суммы соответствующих контурных токов:

3.Осуществим анализ данной цепи методом узловых потенциалов. Примем(рис. 15). Относительно потенциаловисоставим систему уравнений по методу узловых потенциалов

Решаем полученную систему

Токи в ветвях находим, используя закон Ома:

Знаки “минус” у токов показывают, что их истинные направления противоположны показанным на рис.15. Истинные направления всех токов приведены на рис. 16

4. Найдем токи в ветвях цепи рис. 15 методом преобразования. Для этого ветвиизаменим параллельными соединениями сопротивлений и идеальных генераторов тока (рис.17). Причем

Рис. 17

Параллельные соединения иизаменим соответственно сопротивлениямии. Параллельное соединение генераторовизаменим одним идеальным генератором тока(рис. 1)

Рис. 18

Параллельные участки 1-2, 2-3, 3-1 заменим последовательно соединенными генераторами ЭДС и сопротивлениями (рис. 19.).

Рис. 19.

Найдем ток I в цепи рис.19 по второму закону Кирхгофа:

Примем . Тогда

;;;

;

5. Найдем ток методом активного двухполюсника. Для этого удалим из цепи сопротивление. Оставшийся при этом линейный активный двухполюсник показан на рис. 20.

Осуществим преобразование цепи рис. 20, аналогичные выполненным в пункте 4.

Рис. 20.

Рис. 23.

Рис. 21.

Рис. 22.

Найдем ток в цепи рис.23

Примем . Тогда

Для нахождения в цепи рис. 23 отключим все генераторы (рис.24)

Тогда

Рис.24.

Результаты анализа цепи различными методами приведены в таблице 1.

Таблица 1

	A	A	A	A	A
Законы Кирхгофа					10
Метод узловых потенциалов	6	3	2	5	10
Метод контурных токов	6	3	2	5	10
Метод преобразований	6	3	2	5	10
Метод активного двухполюсника		3

6. Составим уравнения баланса мощностей для цепи рис. 16

7. Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура (см. рис. 16)

Пусть . Тогда

Приложение

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Выше было показано, что в математическом плане анализ линейных электрических цепей постоянного тока часто сводится к реше­нию систем линейных алгебраических уравнений. Причем при следо­вании указанным выше рекомендациям системы уравнений для реаль­ных цепей получаются совместными и определенными (т.е. имеющи­ми единственное решение). При этом число уравнений совпадает с числом неизвестных. Поэтому ниже рассматриваются только такие системы.

Основными методами решения такого рода систем являются метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) и метод Крамера.

МЕТОД ГАУССА

Сущность метода Гаусса заключается в последовательном прео­бразовании исходной системы с целью получения системы треуголь­ного вида.

Пусть дана произвольная система nлинейных уравнений сn неизвестными.

(1)

Пусть также . Если это не так, то этого можно добиться либо переменой местами уравнений, либо изменением нумерации не­известных.

Исключим неизвестное из всех уравнений системы (1), кро­ме первого. Для этого, умножив обе части первого уравнения на, вычтем их из соответствующих частей второго уравнения, затем, умножив обе части первого на, вычтем их из соответствующих частей третьего уравнения и т.д.

Далее аналогичным образом исключим неизвестное из всех уравнений, начиная с третьего. Затем исключим неизвестноеиз всех уравнений, начиная с четвертого и т.д.

Если исходная система (1) совместна и определенна, то в ре­зультате таких преобразований получим систему (2) треугольного вида

(2)

Решение системы (2) найти довольно просто. Действительно, из последнего уравнения системы имеем

Подставив найденное значение в предпоследнее уравнение, найдем :

и т.д.

При реализации метода Гаусса на практике удобно, приводить к треугольному виду не саму систему, а ее расширенную матрицу, выполняя соответствующие преобразования над строками этой мат­рицы. Для примера решим методом Гаусса следующую систему:

(3)

Запишем расширенную матрицу систему и преобразуем ее к треу­гольному виду:

Последней матрице соответствует следующая система уравнений:

Из последнего уравнения имеем:

Из четвёртого уравнения

Из третьего уравнения

Из второго уравнения

Из первого уравнения

Таким образом, решение исходной системы:

МЕТОД КРАМЕРА

В основе этого метода лежит следующая теорема.

Теорема:Если определительсистемы (1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

Определитель системы (1) - это определительn-ого поряд­ка, составленный из коэффициентов при неизвестных

Определители получаются из определителяпутем заменыi-ого столбца столбцом свободных членов системы (1).

Например, определитель имеет вид:

Таким образом, решение системы nлинейных алгебраических ура­внений с n неизвестными методом Крамера сводится к вычислению (n-1) определителей n-ото порядка.

При вычислении определителей высоких порядков (выше треть­его) обычно используются следующие свойства определителей:

Свойство 1Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

(4)

или(5)

Формула (4) называется формулой разложения определителя поi-ому столбцу, формула (5) - поj-ой строке. Алгебраическое дополнение элемента равно

где - минор элемента, т.е. определитель, полученный из определителяпри вычеркивании в немj-ой строки иi-ого

столбца.

Т.к. минор - определитель, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного определителя, при разложении определи­теля n-ого порядка по столбцу или строке требуется вычислитьn определителей(n-1)порядка.

Свойство 2Величина определителя не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответст­вующие элементы другой, строки (соответственно, столбца), умно­женные на одно и то же число.

Например,

(6)

Свойство 2 при надлежащем выборе множителя позволяет сделать нулевым любой элемент определителя. Так, для того чтобы сделать нулевым второй элементi-ого столбца определителя в равенстве (6), достаточновзять равным

Действуя подобным образом, можно добиться, чтобы все элементы какой-либо строки (или столбца), кроме одного, станут равным нулю. Тогда по свойству (1) получим

где - единственный отличный от нуля элемент строки или столбца,- его минор.

Таким образом, вычисление определителя n-ого порядка можно свести к вычислению определителя(n-1)-ого порядка. В свою очередь определитель(n-1)-ого порядка сводится к определителю(n-2)-ого порядка и т.д.

Для примера решим систему (3) методом Крамера.

Определитель этой системы равен

В определителе четвёртую строку прибавим к первой, третьей и пятой, ко второй строке прибавим четвёртую строку, умноженную на 2.

При этом получим

Осуществим разложение данного определителя по четвёртому столбцу

В последнем определителе третий столбец, умноженный на (-2), прибавим к четвёртому

При вычислении определителя третьего порядка можно пользоваться правилом Саррюса (правилом треугольников), которое условно можно записать следующим образом:

Окончательно для определителя получаем

Определитель получается заменой в определителепервого столбца столбцом свободных членов системы (3):

Аналогично составляются и вычисляются остальные определители

Находим, наконец, решение системы:

;;;;

3. Цепи Трехфазного тока.