25. Теорема Чевы.

Три чевианы треугольника  проходят через одну точку или параллельны тогда и только тогда, когда

Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые параллельны или пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

26. Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях^[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

где , и обозначают отношения направленных отрезков.

27. Биссектриса  угла треугольника —это луч с началом в вершине угла треугольника, делящий угол на два равных угла

Теорема о биссектрисе: 

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Дк-во:

Дано: , — биссектриса угла .  Требуется доказать: .

Доказательство:

Проведем до пересечения с продолжением стороны . Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: . Сравнивая эту пропорцию с той, которую нужно доказать, замечаем, что они отличаются только отрезками и . Рассмотрим эти отрезки. Они входят в , в котором (как соответственные при и секущей ) и . Но ( — биссектриса), отсюда . Следовательно, . Заменим в полученной пропорции на : . Теорема доказана

Доказана.

27(2). . Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Обобщенная теорема Фалеса:

 Если параллельные прямые, пересекающиеся двумя данными прямыми, пересекаются с первой прямой в точках А, В, С, а со второй прямой соответственно в точках А₁, В₁, С₁, то 

Дк-во:

Проведем через точку А прямую АС1, параллельную прямой ВD(С1- точка пересечения этой прямой с прямой СD). Тогда треугольник ОАВ подобен треугольнику АСС1 по первому признаку подобия треугольников (угол О= углу САС1, угол ОАВ=углу С). Следовательно, ОА/АС=ОВ/АС1. Так как АС1=ВD, то ОА/ОВ=АС/ВD. Теорема доказана.

28. Отрезок АВ является средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АС и ВС, если:

Теорема:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

Дк-во:

Пусть прямой угол в треугольнике-С, катеты АС и ВС. Проведём из вершины прямого угла высоту СМ. Проекции катетов МА и МВ. Рассмотрим треугольники АВС И АМС. Они подобны по двум углам : оба прямые и угол А общий. Запишем отношение сторон АВ/АС= ВС/МС= АС/МА Имеем АС в квадрате= АМ*АВ. ( х - есть среднее пропорциональное между а и в если выполняется а/х= х/в х^2=а*в.) Аналогично для треугольников АВС и ВМС ВС^2=АВ*ВМ.

Теорема:

Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы.

Дк-во:

Рассмотрим треугольники АСМ и ВСМ. Они оба подобны треугольнику АВС, а значит подобны между собой Запишем отношения сторон ВМ/СМ=СМ/АМ СМ^2=АМ*ВМ.

29. Синусом острого прямого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinA= BC/AB

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosA= AC/AB

Тангенсом острого прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

tgA=BC/AC

Основное тригонометрическое тождество:

Дк-во:

Пусть треугольник АВС прямоугольный (АВ-гипотенуза). sinA=ВС/АВ (1) cosA=AC/AB (2). Теперь докажем справедливость основного тригонометрического тождества:. Из формул (1) и (2) получаем: sin^2A+cos^2A=ВС^2/AB^2+AC^2/AB^2=BC^2+AC^2/AB^2. По теореме Пифагора BC^2+AC^2=AB^2,.

30.

31. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Дк-во:

Пусть р-касательная к окружности с центром О. А- точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р- касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна радиусу.

32. . Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Дк-во:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.

33. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дк-во:

Пусть /_ АВС- вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС. Докажем, что /_ АВС= ½ дуги АС. Решение. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому /_ АОС=дугеАС. Так как угол АОС- внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы ОВА и ВАО при основании р/б треугольника равны, то /_АОС= /_ОВА+/_ВАО=2/_ОВА. Отсюда следует, что 2/_ОВА=дугеАС или /_АВС=/_ОВА=1/2дугиАС. Теорема доказана.

34. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Следствия из теоремы о вписанном угле:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность(диаметр)- прямой.

35. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема о произведении отрезков двух хорд:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дк-во:

Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ*ВЕ=СЕ*DE. Рассмотрим треугольники АDE и СВЕ. В этих треугольниках углы ЕАD и ЕСВ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу ВD, а углы АЕD и СЕВ равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников, треугольник ADE~ треугольнику СВЕ. Отсюда следует, что АЕ/СЕ=DE/BE, или АЕ*ВЕ=СЕ*DE. Теорема доказана.