
Геометрия. Дополнительные вопросы.
Многоуго́льник — это геометрическая фигура, представляющая собой замкнутую ломаную линию.
Многоугольник называется выпуклым,если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседие вершины.
Сумма внутренних углов n-угольника равна (n − 2)*180. (п. 39-40)
Параллелограмм - четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Свойства параллелограмма:
-Противоположные стороны параллелограмма равны. -Противоположные углы параллелограмма равны . -Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма: -Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
-Противоположные углы попарно равны.
-Диагонали делятся в точке их пересечения пополам.
3.
Теорема Фалеса |
Если
на одной из двух прямых отложить
последовательно равные отрезки и
через их концы провести параллельные
прямые, пересекающие вторую прямую,
то они отсекут на второй прямой равные
между собой отрезки. Справедливо и более общее утверждение, называемое обобщенной теоремой Фалеса: отрезки, высекаемые параллельными прямыми на одной прямой, пропорциональны отрезкам на другой прямой. |
4.Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — этогеометрическаяфигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на однойпрямой
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.
Теорема:
Средняя линия
треугольника, соединяющая середины
двух данных сторон, параллельна третьей
стороне и равна ее половине.
Дано: DE — средняя линия треугольника
ABC.
Доказательство. Проведем через точку
D прямую, параллельную стороне АВ. По
теореме Фалеса она пересекает отрезок
АС в его середине, т. е. содержит среднюю
линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна
стороне АВ (рис. 53).
Проведем теперь среднюю линию DF. Она
параллельна стороне АС. Четырехугольник
AEDF — параллелограмм. По свойству
параллелограмма ED = — AF, а так как AF = FB
по теореме Фалеса, то ED = АВ. Теорема
доказана.(п62)
5. Трапеция- это четырехугольник у которого две стороны параллельны, а другие нет.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Трапеция, имеющая прямыеуглы при боковой стороне, называетсяпрямоугольной.
Св-ва р/б трапеции:
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описатьокружность.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
6. Трапеция- это четырехугольник у которого две стороны параллельны, а другие нет.
Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры.
Средняя
линия трапеции параллельна основаниям
трапеции и равна их полусумме.
Пример.
7. Теорема Вариньона:
Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма
8. Прямоугольник- параллелограмм у которого все углы прямые.
Особое св-во:
Диогонали прямоугольника равны.
Признак:
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот парралелограмм- прямоугольник.
9. Ромб – это параллелограмм у которого все стороны равны.
Cв-во:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, и делят его углы пополам.
Квадрат – это прямоугольник у которого все стороны равны.
10. Св-ва площадей мн-ков:
-Равные мн-ки имеют равные площади
-Если мн-ник составлен из нескольких мн-ков, то его полщадь будет равна сумме площадей этих мн-ков.
-Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Теорема о площади прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
11. Св-ва площадей мн-ков:
-Равные мн-ки имеют равные площади
-Если мн-ник составлен из нескольких мн-ков, то его полщадь будет равна сумме площадей этих мн-ков.
-Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Теорема о площади параллелограмма:
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Теорема о площади треугольника:
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Следствие 1:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Следствие 2:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Теорема о площади трапеции:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
12. Следствие 1:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Следствие 2:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
13. Теорема:
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Теорема:
Если высоты двух треугольников равны , то их площади относятся как основания.
Теорема.
Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как высоты.
14. . Св-ва площадей мн-ков:
-Равные мн-ки имеют равные площади
-Если мн-ник составлен из нескольких мн-ков, то его полщадь будет равна сумме площадей этих мн-ков.
-Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Теорема:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Геометрия. Основные вопросы.
15. Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Д-во:
Обратная теорема Пифагора:
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
16.
Дк-во:
Доказательство
Пусть ABC – данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD , как показано на рисунке.
Площадь
параллелограмма равна сумме площадей
треугольников ABC и CDA . Так
как эти треугольники равны, то площадь
параллелограмма равна удвоенной площади
треугольника ABC .
Высота
параллелограмма, соответствующая
стороне CB , равна высоте треугольника,
проведенной к стороне CB . Отсюда
следует утверждение теоремы, и Теорема
доказана.
17. Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.
Отношением
отрезков AB и CD называется отношение их
длин, то есть
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Первый признак подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. |
То есть ∆ABC ~ ∆A1B1C1 <=> ∠A=∠A1, ∠B=∠B1.
Дк-во:
18. . Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.
Отношением
отрезков AB и CD называется отношение их
длин, то есть
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Второй признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Дк-во:
Доказательство
Пусть
у треугольников ABC и и
Докажем,
что
Переведем треугольник A1 B 1 C 1гомотетией f с
любым центром и коэффициентом k в
треугольник A 2 B 2 C 2.
Δ A 2 B 2 C 2 = Δ ABC .
Действительно,
Треугольники
и ABC равны
по первому признаку равенства треугольников
(теорема 4.1). По теореме 12.6 существует
движение g , переводящее Δ A2 B 2 C 2 в
Δ ABC . Выполнив сначала гомотетию f ,
а затем движение g , получим
подобие g ○ f ,
которое переводит Δ A 1 B 1 C 1 в
Δ ABC . Следовательно,
Теорема доказана.
19. . Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.
Отношением
отрезков AB и CD называется отношение их
длин, то есть
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Третий признак подобия треугольников:
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Дк-во:
20. Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Теорема об отношении площадей подобных треугольников:
Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Дк-во:
Пусть треугольники ABC и А1В1С1 подобны, причем коэффициент подобия равен k O, обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A=A1, то
S/S1 = AB*AC/A1B1*A1C1
(по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А1В1 = k, AC/A1C1 = k
поэтому
S/S1 = k2
Теорема доказана.
21. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольника
-Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
-Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называетсяцентром тяжести треугольника.
-Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника
Замечательные точки треугольника |
Замечательные точки треугольника – это неформальное название для точек пересечения его медиан, высот , центров вписанной иописанной окружностей, а также ряда других точек. |
22. Биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части
Теорема о биссектрисе угла:
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Обратная теорема:
Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Следствие:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Д-во:
1)Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры MK и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK=ML. Рассмотрим прямоугольные треугольники АМК и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу(АМ-общая гипотенуза, угол1=углу2 по условию). Следовательно MK=ML
2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ- биссектриса угла ВАС. Проведем перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники равны АМК и АМL равны по гипотенузе и катету(АМ- общая гипотенуза, MK=ML по усовию). Следовательно, угол 1 = углу 2. Это и означает, то что луч АМ является биссектрисой угла ВАС. Теорема доказана.
Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.
23. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Теорема:
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка
Обратная:
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Дк-во:
Пусть прямая m- серединный перпендикуляр к отрезку АВБ точка О- середина этого отрезка.
1)Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О- середина отрезка АВ. Пусть М и О- различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам(ОА=ОВ, ОМ- общий катет), поэтому АМ=ВМ.
2) Рассмотри произвольную точку Р, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка Р лежит на прямой m. Если Р- точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и поэтому лежит на прямой m. Если же точка Р не лежит на прямой АВ, то треугольник АРВ равнобедренный, так как АР=ВР. Отрезок РО- медиана этого треугольника, а значит и высота. Следовательно: РО параллельно АВ, поэтому прямые ОР и m совпадают, т.е. Р- точка прямой m. Теорема доказана.
Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.
24. Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону
Теорема:
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Дк-во:
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке. Проведем через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Полчим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А2С и АВ=СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С =СВ2. Аналогично С2А=АВ2 и С2В=ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1перпендикулярноА2В2, АА1перпендикулярноВ2С2 и ВВ1перпендикулярноА2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.