ЭКЗАМЕН

Дифференциальные уравнения 2го порядка.

В общем случае дифуравнение 2го порядка имеет вид:

Если уравнение разрешено относительно второй производной, то оно имеет следующий вид: .

Задача Коши для уравнения 2го порядка. Теорема Коши о существовании и единственности рашения задачи Коши.

Задача Коши: Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Теорема Коши: Если непрерывна вместе с частными производными в некоторой окрестности точки , то уравнение имеет единственное решение в некотором промежутке , которое удовлетворяет начальным условиям , т.е. задача Коши имеет единственное решение.

Определение: Всякое решение задачи Коши называется частным решением дифуравнения.

Определение: Совокупность всех частных решений называется общим решением дифуравнения. Общее решение дифуравнения 2го порядка зависит от двух произвольных постоянных.

Уравнение не содержит в явном виде , т.е. уравнение имеет вид . Сделаем замену: , тогда . В результате замены получим уравнение первого порядка относительно неизвестной функции .

Если найти общее решение полученного уравнения, то оно запишется в виде .

Так как , то получаем дифуравнение первого порядка относительно неизвестной функции .

Если решить последнее уравнение, то общее решение запишется в виде . Это будет общим решением данного уравнения.

Уравнение не содержит в явном виде , т.е. уравнение имеет вид:

В этом случае делается замена , . В результате замены получим уравнение первого порядка относительно неизвестной функции : . Если найдем общее решение полученного уравнения, то оно запишется в виде . Учитывая, что , получим дифуравнение первого порядка относительно искомой функции : . Если решим полученное уравнение, то его общее решение запишется в виде: . Это решение и будет искомым решением данного дифуравнения.

Определение: Линейно независимая система решений уравнения называется фундаментальной системой решений.

Теорема: Для того, чтобы система решений уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы отношение

Доказательство:

1)Необходимость. Дано: система фундаментальна. Доказать:

Доказательство проведем от противного. Предположим, что , тогда

. В последнем тождестве коэффициент при равен . Поэтому система функций линейно зависима, а поэтому не является фундаментальной. Это противоречит условию, что и доказывает необходимость.

2) Достаточность. Дано: . Требуется доказать: система решений является фундаментальной.

Доказательство. Предположим, что система не является фундаментальной, т.е. она является линейно зависимой. Это означает, что существуют числа , одновременно не равные нулю такие, что

.Пусть для определенности ,

тогда , что противоречит условию.

Достаточность доказана, а вместе с этим доказана и теорема.

Проверять фундаментальность системы решений уравнения можно с помощью определителя Вронского.

Определитель Вронского и его свойства.

Определителем Вронского или кратко вронскианом системы двух частных решений уравнения

называется функциональный определитель

Теорема: Если не образуют фундаментальную систему решений уравнения (3),то .

Доказательство. По условию теоремы не образуют фундаментальную систему, поэтому , где С – число. Отсюда .

.

Теорема: Если , то не образуют фундаментальную систему решений.

Доказательство.

из теоремы 4 и 5 следует :

Теорема: Вронскиан двух частных решений тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда система решений - не является фундаментальной.

Основная теорема о структуре общего решения Л.О.Д.У.

Теорема: Общее решение Л.О.Д.У. может быть записано в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений y₁(х) и у₂(х), т.е. у=с₁*у₁(х)+с₂*у₂(х)

Доказательство. Пусть для Л.О.Д.У. у’’+Р(х)*у’+Q(х)*у=0 известна фундаментальная система решений у₁(х) и у₂(х). Данное уравнение можно записать в виде L(у)=0, где L(у)=у’’+Р(х)*у’+Q(х)*у -линейный оператор. Вначале покажем, что у(х) =с₁*у₁(х)+с₂*у₂(х) является решением данного уравнения. Имеем L(у)=L(с₁*у₁(х)+с₂*у₂(х))=c₁*L(y₁)+c₂*L(y₂)0, т.к. L(y₁)0 и L(y₂)0 в силу того, что y₁(х) и у₂(х) являются решением данного Л.О.Д.У. Остается доказать, что у(х) =с₁*у₁(х)+с₂*у₂(х) является общим решением данного уравнения, т.е. надо доказать, что из решения

у(х) =с₁*у₁(х)+с₂*у₂(х) можно получить любое решение задачи Коши. Рассмотрим задачу Коши с начальными условиями уl_х=хо=у₀, у’l_х=хо=у₀’

Положим х=х_0, тогда получим:

Мы получили систему линейных уравнений относительно неизвестных с₁ и с₂. Определитель этой системы

= w(x₀)≠0, т.к. система решений у₁(х) и у₂(х) является фундаментальной.

Следовательно, данная система линейных уравнений имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера ₌, ₌

Итак, у(х)= *у₁(х)+ *у₂(х) является решением поставленной задачи Коши. Теорема доказана.

Нахождение второго частного решения Л.О.Д.У. по известному первому решению.

Имеем:

==, (5)

где W(x)-вронскиан системы решений у₁(х), у₂(х).

По формуле Остроградского-Лиувилля

W(x)=W(x₀),

где W(x₀) играет роль производной постоянной. Положим W(x₀)=1, это скажется на виде подбираемого решения.

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

= или = , = (6)

Отметим, что ≠const, поэтому y₁(х) и у₂(х) образуют фундаментальную систему решений.

Пример 2: Найти общее решение уравнения

Решение. Одно частное решение найдем методом подбора. Легко проверить, что одним из решений является функция Второе частное решение найдем, используя формулу (6)

Общее решение данного уравнения будет иметь вид: y=c₁x + .

Отметим, что коэффициент - содержится в с₂.

Формула Остроградского-Лиувилля.

Пусть два частных решения Л.О.Д.У. (3), в котором функция Р(х) предполагается непрерывной в некотором промежутке, тогда

Умножая первое тождество на y₂ , второе на y₁ и складывая, получим тождество:

Учитывая, что , а y’₁y’₂+ y₁y’’₂ – y’₂y’₁ – y₂y’’₁ = , получим :

.

Это означает, что определитель Вронского является решением дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными z’(x)+P(x)Z(x)=0 или

Разделяя переменные и интегрируя, получим :

где х₀ произвольное значение в рассматриваемом промежутке.

Потенцируя последнее равенство, получим:

|z(x)|=|z(x₀)|

Так как х₀ принимает произвольное значение, то z(x₀) играет роль произвольной постоянной. Но W(x) является одним из решений уравнения (4), поэтому

|W(x)|=|W(x₀)|

Так как Р(х) непрерывная функция, то не обращается в нуль, как показательная функция непрерывного аргумента.

Поэтому формулы Остроградского-Лиувилля вытекает следующее свойство определителя Вронского: определитель Вронского двух решений линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка либо тождественно равен нулю (если W(x)=0),либо не обращается в нуль ни при одном значении х (если W(x₀)0).

Метод подбора частного решения Л.Н.Д.У. 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

где а-const,b-const, Pn(x) и Qm(x)-многочлены соответственно степеней n и m.

Общее решение такого уравнения записывается в виде y=ȳ(x)+y*(x), где ȳ(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения.

Теорема о наложении частных решений.

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида:

Если y*₁(x) есть частное решение уравнения

, (7)

а y*₂(x) есть частное решение уравнения

, (8)

то y*(x)= y*₁(x)+ y*₂(x) есть частное решение данного уравнения.

Доказательство. Данное уравнение запишем в виде L(y)= f₁(x)+ f₂(x); где

– линейный дифференциальный оператор. Так как по условию y*₁(x) есть частное решение уравнения (7), а y*₂(x) есть частное решение уравнения (8), то L(y*₁)f₁(x) , L(y*₂)f₂(x). Отсюда следует тождество

L(y*₁+ y*₂)= L(y*₁)+ L(y*₂) f₁(x)+ f₂(x). Теорема доказана.

Основная теорема о структуре общего решения Л.Н.Д.У.

Теорема: Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения данного неоднородного решения, т.е. y(x) = + y*(x) , где - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y) = 0, а y*(x) – частное решение данного уравнения L(y) = f(x).

Доказательство.

Во-первых, докажем, что y(x) = + y*(x) есть решение уравнения L(y) = f(x).

В самом деле, L(+y*) = L() + L(y*) = F(x), т. к L() = 0 в силу того, что есть решение линейного однородного уравнения L(y) = 0 , а L(y*) = F(x) в силу того, что y* есть решение неоднородного уравнения L(y) = f(x).

Во-вторых, докажем, что y(x) = + y*(x) есть общее решение уравнения L(y) = f(x). Для этого надо доказать, что решение y(x) = + y*(x) содержит любое решение задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши с начальным условием = y₀, = y₀’

Учитывая, что y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x), где y₁(x) и y₂(x) образуют фундаментальную систему решений, будем иметь:

y(x) = C₁(x) + C₂y₂(x) + y* (x)

y’(x) = C₁y₁’(x) + C₂y₂’(x) + y*’(x)

Полагая x = x₀, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных C₁ и C₂

y(x₀) = C₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) + y* (x₀)

y(x₀) = C₁y₁’(x₀) + C₂y₂’(x₀) + y*’(x₀)

или

C₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) = y₀ – y* (x₀)

C₁y₁’(x₀) + C₂y₂’(x₀) = y₀’ – y*’(x₀)

Определитель системы = = W(x₀)

т.к. y₁(x) и y₂(x) образуют фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0.

Поэтому систему уравнений можно решить по формулам Крамера:

С₁₀ = ; С₂₀ =; и функция y(x) = С₁₀y₁(x) + С₂₀y₂(x) + y* (x) будет являться решением задачи Коши.

Теорема доказана.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

По теореме об основной структуре общего решения Л.Н.Д.У. общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = (x) + y*(x), где (x) - есть общее решение соответствующего однородного уравнения y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0, а y*(x) есть частное решение данного неоднородного уравнения y” + P(x)y’ + Q(x)y = f(x).

Будем предполагать, что (x) известно, т.е. (x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x), где y₁(x) и y₂(x) образуют фундаментальную систему решений Л.О.Д.У., а C₁ и C₂ – произвольные постоянные.

Частное решение линейного неоднородного уравнения будем искать в виде

y* (x) = C₁(x)y₁(x) + C₂(x)y₂(x), где C₁(x) и C₁(x) - неизвестные функции.

Функция y* (x) должна быть решением уравнения y” + P(x)y’ + Q(x)y = f(x).

Это значит, что при подстановке y* (x), y*’(x), y*”(x) в последнее уравнение, уравнение должно обратиться в тождество.

Для нахождения и получаем систему линейных уравнений

Определитель этой системы т. к и образуют фундаментальную систему решений Л.О.Д.У

Неизвестные иможно найти по формулам Крамера.

;;где , =1,2 получается из заменой -того столбца свободными членами.

;

Следовательно,