Модуль 3: Регулярные языки и конечные автоматы

Лекция 17. Алфавит, слово, язык. Операции над языками, регулярные языки.

ОЛ-1 7.1, 7.4.

Лекция 18. Понятие конечного автомата (КА). Анализ и синтез КА. Теорема Клини о совпадении класса языков, допускаемых КА и класса регулярных языков.

ОЛ-1 7.5.

Лекция 19. Детерминизация и минимизация КА. Регулярность дополнения регулярного языка и пересечения двух регулярных языков. Проблемы пустоты и эквивалентности.

ОЛ-1 7.6, 7.7.

Лекция 20. Лемма о разрастании для регулярных языков.

ОЛ-1 7.8.

МОДУЛЬ 4: Элементы комбинаторики

Лекция 21. Основные комбинации. Формулы включения и исключения.

ОЛ-2 часть 2, §3; ОЛ-4 12.3, 11.1, 11.2; ОЛ-5 1.1, 1.2; ДЛ-9 2.14, 2.15.

Лекция 22. Ладейные полиномы. Подстановки с запрещенными позициями. Сюръекции и разбиения.

ОЛ-4 12.3, 12.4.

Лекция 23. Линейные рекуррентные соотношения.

ОЛ-4 11.1–11.2; ОЛ-5 2.1–2.4, ДЛ-9 2.7–2.9, 2.11.

Лекция 24–25. Теория перечисления Пойя. Производящие функции.

ОЛ-4 19.1, 19.2, 13.1, 13.2, 13.5; ОЛ-5 3.1–3.4; ДЛ-10, с. 61–107.

Практические занятия

МОДУЛЬ 1: Множества, отношения, алгебры

Занятие 1. Доказательство теоретико-множественных тождеств.

ОЛ-1 Д.1.2, задачи 1.1–1.6.

Занятие 2. Операции над соответствиями. Исследование свойств бинарных отношений.

ОЛ-1 задачи 1.7–1.20.

Занятие 3. Отношения эквивалентности и порядка.

ОЛ-1 задачи 1.21–1.31.

Занятие 4. Группоиды, полугруппы, группы

ОЛ-1 задачи 2.1–2.8.

Занятия 5-6. Кольца, тела, поля. Полукольца.

ОЛ- 1 задачи 2.10–2.19; 3.1–3.4.

МОДУЛЬ 2: Элементы теории графов

Занятие 7.Основные понятия теории графов. Некоторые комбинаторные задачи на графах .

ОЛ-1 задачи 5.1–5.19.

Занятие 8. Поиск в глубину и поиск в ширину.

ОЛ-1 задачи 5.25–5.31.

Занятие 9.Распознавание изоморфизма графов. Группа автоморфизмов графа и ее вычисление.

ОЛ-1 задачи 5.6, 5.8; ОЛ-5 3.1.

Занятие 10. Задача о путях во взвешенном ориентированном графе и ее решение с помощью алгоритма Флойда — Уоршелла — Клини. Задача о достижимости и поиске кратчайших расстояний между двумя узлами графа.

ОЛ-1 задачи 5.32–5.34.

Модуль 3: Регулярные языки и конечные автоматы

Занятие 11. Анализ и синтез конечных автоматов.

ОЛ-1 задачи 7.9–7.21.

Занятие 12. Детерминизация и минимизация конечных автоматов.

ОЛ-1 задачи 7.29–7.33; задача 7.34.

Занятие 13. Лемма о разрастании для регулярных языков.

ОЛ-1 задача 7.35.

МОДУЛЬ 4: Элементы комбинаторики

Занятие 14.Элементы комбинаторики: формулы включения и исключения.

ОЛ-5 1.3.

Занятие 15. Рекуррентные соотношения.

ОЛ-4 задачи к разд. 11.2; ОЛ-5 2.4.

Занятие 16. Производящие функции. Элементы теории Пойя.

ОЛ-4 задачи к разд. 13.3, 19.1 и 19.2; ОЛ-5 3.5.

Материалы для подготовки

МОДУЛЬ 1: Множества, отношения, алгебры

Вопросы для подготовки к рубежному контролю

1. Множества, подмножества. Способы определения множеств. Равенство множеств. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение). Методы доказательства теоретико-множественных тождеств.

2. Неупорядоченная пара, упорядоченная пара, кортеж. Декартово произведение множеств.

3. Отображения: область определения, область значений. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Частичное отображение.

4. Соответствия. График и граф соответствия, область определения, область значения. Сечение соответствия. Сечение соответствия по множеству. Функциональность соответствия по компоненте. Бинарные и n-арные отношения. Связь между отношениями, соответствиями и отображениями.

5. Композиция соответствий, обратное соответствие и их свойства (с доказательством).

6. Специальные свойства бинарных отношений на множестве (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).

7. Классификация бинарных отношений на множестве: эквивалентность, толерантность, порядок, предпорядок, строгий порядок.

8. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество.

9. Отношения предпорядка и порядка. Наибольший, максимальные, наименьший и минимальные элементы. Точная нижняя и верхняя грани множества.

10. Точная верхняя грань последовательности. Индуктивное упорядоченное множество. Теорема о неподвижной точке (с доказательством). Пример вычисления неподвижной точки.

11. Операции на множестве. Понятие алгебраической структуры. Свойства операций (ассоциативность, коммутативность, идемпотентность). Нуль и нейтральный элемент (единица) относительно операции. Примеры. Универсальная алгебра, носитель, сигнатура. Примеры. Однотипные алгебры.

12. Группоиды, полугруппы, моноиды. Единственность нейтрального элемента. Обратный элемент. Группа. Единственность обратного элемента в группе.

13. Циклическая полугруппа (группа). Образующий элемент. Примеры конечных и бесконечных циклических полугрупп и групп. Порядок конечной группы. Порядок элемента. Теорема о равенстве порядка конечной циклической группы порядку группы.

14. Кольца. Аддитивная группа и мультипликативный моноид кольца. Коммутативное кольцо. Кольца вычетов. Теорема о тождествах кольца (аннулирующем свойстве нуля, свойстве обратного по сложению при умножении, дистрибутивности вычитания относительно умножения).

15. Тела и поля. Примеры полей. Область целостности. Теорема о конечной области целостности (с доказательством). Поля вычетов. Решение систем линейных уравнений в поле вычетов.

16. Подполугруппа, подмоноид, подгруппа. Примеры. Циклические подгруппы. Подкольца и подполя.

17. Смежные классы подгруппы по элементу. Теорема Лагранжа. Изоморфизм групп. Примеры.

18. Полукольцо. Идемпотентное полукольцо. Естественный порядок идемпотентного полукольца.

19. Замкнутое полукольцо. Итерация элемента. Примеры вычисления итерации в различных замкнутых полукольцах.

20. Непрерывность операции сложения в замкнутом полукольце. Теорема о наименьшем решении линейного уравнения в замкнутом полукольце.

21. Квадратные матрицы порядка nнад идемпотентным полукольцом. Теорема о полукольце квадратных матриц. Замкнутость полукольца квадратных матриц над замкнутым полукольцо. Решение систем линейных уравнений в замкнутых полукольцах.