20. Расчет толстостенных цилиндров. Общее решение задач Ламе.

Рассмотрим цилиндр, на соотношение внешнего и внутреннегорадиуса которого не наложено никаких ограничений. Нагрузку, действующую на цилиндр (внешнюю или внутреннюю) будем считать осесимметричной и постоянной вдоль оси z.

Введем цилиндрические координаты z, r, . В силу осевой симметрии цилиндра и нагрузки напряжения не зависят от полярного угла. По этой же причине выделенный элемент не испытывает сдвига и по его граням касательные напряжения отсутствуют. Таким образом, грани элемента будут главными площадками.- радиальные напряжения;- окружные напряжения;- осевые напряжения.Поставим себе задачей установить закон распределения этих напряжений. Рассмотрим статическую сторону задачи.

Приложим к элементу, размер которого в направлении оси z будем считать единичным, силы, действующие на него и составим уравнение равновесия (сумму проекций на радиус):

Мы получили дифференциальное уравнение равновесияЭто и есть формулы Ляме для напряжений в толстостенном цилиндре.

20. Нагружение цилиндра внутренним давлением.

Запишем граничные условия.

1) при

2) при

Подставим это в выражение для из формулы (10)

Решая полученную систему уравнений, определяем и

Подставим в (10)

Напряжения распределяются по гиперболическому закону. Характер распределения напряжений показан на рисунке. Наибольшие окружные напряжения возникают в точках внутреннего контура.Обратимся к осевым напряжениям

Оказывается осевое напряжение постоянно по сечению цилиндра.

Здесь возможны два различных случая:а) Цилиндр имеет днище. В этом случае растягивающая цилиндр сила равна давлению на дно и осевые напряжения равныГлавные напряжения в ней равны:

Если принять гипотезу наибольших касательных напряжений, то эквивалентное напряжение равноб) Цилиндр открыт (например, ствол орудия)

; Т.к. эквивалентное напряжение отне зависит, то оно выражается той же самой формулой (12).

21. Нагружение цилиндра внешним давлением.

При

Используя эти граничные условия, находим формулы для напряжений

Закон распределения напряжений показан на рисунке.

Наиболее опасной оказывается точка 1. Напряженное состояние в ней линейное.

Обратите внимание на то, что выражение для эквивалентного напряжения совпадает с соответствующим выражением для случая внутреннего давления.

Если внутреннее отверстие отсутствует, то имеем

22. Понятие о механике разрушения. Модель тела с трещинами.

Явление разрушения более сложно и менее изучено, чем переход в пластическое состояние. Сейчас же заметим, что при отсутствии других данных возможна оценка коэффициента запаса по разрушению с помощью теории Морагдеи- пределы прочности соответственно при растяжении и сжатии.Образование и развитие трещин содержит в себе несколько этапов:1. Зарождение трещины. Трещина зарождается в районе наличия дефектов (точка А на рис. 8.2) в кристаллической решетке в виде посторонних включений, например серы, фосфора и т.п. Такую же роль играют микротрещины и риски, полученные в результате механической обработки. Трещина зарождается, как правило, на внешней поверхности, где например при изгибе валов имеют место максимальные нормальные напряжения.Рис. 8.2. Этапы усталостного разрушения

2. Движение к центру. После возникновения трещина перемещается к центру вала по концентрическим дугам окружностей. При достижении некоторой глубины напряжение заметно снижается; движение трещины по направлению к центру прекращается.

3. Трещина распространяется в окружном направлении. Не углубляясь, трещина как бы охватывает вал.

4. Продолжение движения к центру.5. Разрушение наступает мгновенно при исчерпании запаса статической прочности.