14. Теория энергии формоизменения (Хубера-Мизеса).

Потенциальная энергия деформации может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: потенциальной энергии изменения объема и потенциальной энергии формоизменения. Последняя величина может служить критерием перехода в пластическое состояние.

Для сложного напряженного состояния потенциальная энергия формоизменения выражается (если отнести энергию к единице объема):

Для одноосного напряженного состояния

Т.к. оба напряженных состояния равноопасны, то обе величины можно приравнять и в результате:

15. Теория Мора

Допустим, что мы располагаем возможностью испытывать образцы в условиях сложного напряженного состояния, задавая всевозможные напряженные состояния с пропорциональным изменением компонента напряженного состояния. Доведя напряженное состояние до предельного, можно построить большой круг Мора (на напряжениях). Поступая таким образом, в случае других напряженных состояний, можно построить семейство больших кругов Мора для различных предельных состояний. Огибающая этих кругов – предельная огибающая, является объективной характеристикой материала ( как, например, диаграмма растяжения) и она позволяет для конкретного напряженного состояния вычислить коэффициент запаса.

Однако в действительности у нас имеется возможность произвести испытания только на растяжение и сжатие и построить два соответствующих круга Мора. Предельная огибающая аппроксимируется прямой, касающейся двух окружностей, указанных круговых диаграмм.Исходя из такого представления предельной огибающей, найдем выражение для .

Пусть компоненты некоторого напряженного состояния, которое необходимо оценить, заданы и известны главные напряжения . В предельном состоянии главные напряжения будут равныКруг Мора, построенный на этих напряжениях, будет касаться предельной огибающей в точке А.

Подставляя выражения для отрезков в пропорцию (*),

Вспоминая, что , приходим к выводу что . Обозначив , имеем

_{формулу для эквивалентных напряжений}

16.Изгиб с кручением. Расчетные формулы по различным теориям.

Одним из наиболее частых нагружений в машиностроительной практике является совместное воздействие изгиба и кручения. В таких условиях например работают валы редукторов.

Приводя силы, действующие на вал к оси вала, имеем следующую расчетную схему.На участке АВ вал будет работать на изгиб с кручением. Очевидно, что наиболее опасным будет сечение В.

Наибольшие нормальные напряжения, возникающие в этом сечении .Наибольшие касательные напряжения

В наиболее опасной точке будет возникать плоское напряженное состояние

В качестве примера мы рассматривали круглое напряженное состояние, но такой же характер напряженного состояния будет при любом поперечном сечении и последующие результаты применимы для произвольных сечений.

Найдем главные напряжения

;

Подставляя найденные главные напряжения в выражения для по различным теориям

1. Теория наибольших касательных напряжений

2. Теория энергии формоизменения

3. Теория Мора

18.Рассчет осесимметричных оболочек по безмоментной теории. Уравнение Лапласа.

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) есть величина малая по сравнению с остальными размерами.Поверхность, равноудаленная от ограничивающих поверхностей называется срединной поверхностью оболочки.Осесимметричные оболочки, т.е. оболочки вращения, срединная поверх-ность которых образуется вращением кривой относительно оси симметрии.К осесимметричным оболочкам относятся наиболее распространенные в практике цилиндрические, конические, сферические оболочки.Ведя расчет оболочек, мы будем исходить из так называемой безмоментной теории. Т.е. считать, что нормальные напряжения распределяются по толщине оболочки равномерно.Условия существования безмоментного напряженного состояния:1) Поверхность оболочки должна быть плавной, так чтобы радиускривизны не претерпевал резких изменений и не обращался в нуль.

2) Нагрузка, действующая на оболочку, должна также меняться плавно. Не должно быть сосредоточенных сил.

3) Условия закрепления краев оболочки должны быть таковы, чтобы на краях не возникали изгибающие моменты и поперечные силы.

Безмоментное напряженное состояние чрезвычайно выгодно,

т.к. приводит к рациональному распределению напряжений и экономии материала.

Уравнение Лапласа.

Рассмотрим осесимметричную оболочку

-радиус кривизны меридиана.

-радиус кривизны параллели.

Положение точки на срединной поверхности можно задавать как пересечение двух координатных линий: параллели и меридиан.Нагрузку будем считать осесимметричной, т.е. постоянной вдоль параллели, и нормальной к срединной поверхности.

Такой нагрузкой является гидростатическая нагрузка или давление газа.

Выделим в окрестности произвольной точки А малый элемент и исследуем его равновесие.

В силу осевой симметрии все элементы, находящиеся на одной параллели не испытывают сдвига и в их сечениях возникают только нормальные напряжения: - меридиональное,- окружное напряжение.-интенсивность нагрузки (нагрузка на единицу площади).

Т.к. углы малые, то

Спроектируем все силы, действующие на элемент на направление нормали n: