M_zadania_1_2

Пусть по условию для . Возьмём такие, что . По условию дифференцируема в непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при возрастает в

46. Достаточное условие убывания дифференцируемой функции

Если функция дифференцируема в и для , то функция убывает в этом интервале

Пусть по условию для . Возьмём такие, что . По условию дифференцируема в непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при убывает в

47. Первое достаточное условие экстремума (по первой производной)

Если функция непрерывна в и дифференцируема в , кроме, быть может, самой точки , - критическая точка функции, и для , для ( меняет знак с + на - при переходе через точку ) ( для , для ( меняет знак с - на + при переходе через точку )), то - точка локального максимума (минимума)

1. Пусть по условию при и при

2. По условию - критическая точка функции или . Возьмём такие, что

3. По условию непрерывна в и дифференцируема в кроме, быть может, самой точки непрерывна на и , дифференцируема в и (По теореме Лагранжа)

, , где , .

Рассмотрим : по условию ,

для ; рассмотрим : по условию , для для - точка локального максимума. Аналогично для точки локального минимума

48. Второе достаточное условие экстремума (по второй производной)

Если в стационарной точке функция дважды дифференцируема и (), то - точка локального минимума (максимума)

Пусть по условию функция возрастает в , - стационарная точка по условию при , при (По первому достаточному условию экстремума) - точка локального минимума. Аналогично для точки локального максимума

49. Достаточное условие выпуклости функций

Если функция дважды дифференцируема в и

для , то график функции имеет выпуклость, направленную вверх (вниз) в

По условию дифференцируема в существует касательная к кривой в точках . Пусть по условию для . Возьмём . Докажем, что график функции лежит под касательной, проведённой к кривой в точке . Уравнение касательной: , . Вычитаем из : .

Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа

, где

. Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа , где

.

1. Рассмотрим : . ; ; по условию для

2. Рассмотрим : . ; ; по условию для

Таким образом для график функции находится под касательной, проведённой в точке график функции имеет выпуклость, направленную вверх в точке , а так как

график функции имеет выпуклость, направленную вверх в .

Аналогично для

50. Необходимое условие точки перегиба

Если функция дважды дифференцируема в , кроме, быть может, самой точки и - точка перегиба графика функции, то или .

1. Пусть по условию дважды дифференцируема в точке . Предположим, что или (По достаточному условию выпуклости функции) график функции имеет определённое направление выпуклости в , что противоречит условию теоремы, так как по условию - точка перегиба

2. По условию не является дважды дифференцируема в точке

51. Достаточное условие точки перегиба

Если функция непрерывна в точке и дважды дифференцируема в , кроме, быть может, самой точки и или и существует касательная к графику функции в точке и меняет знак при переходе через точку , то - точка перегиба

1. По условию меняет знак. Пусть, например, для ; для кривая выпукла вверх в и кривая выпукла вниз в - точка перегиба.

2. Аналогично при для ; для

Определения

1. Число a называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного существует номер такой, что для всех номеров выполняется неравенство .

2. Пример предела по Коши:

Пример предела по Гейне:

3. Окрестностью точки называют любой интервал, содержащий эту точку.

-окрестностью точки (при положительном ) называют интервал

4. Окрестностью точки называют интервал вида , где - произвольное действительное сколь угодно большое число.

Окрестностью точки называют интервал вида , где - произвольное действительное сколь угодно большое число.

Окрестностью точки называют объединение двух бесконечных интервалов вида , где - произвольное действительное сколь угодно большое число.

5. Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он называется сходящейся.

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Числовая последовательность называется возрастающей, если

.

Числовая последовательность называется убывающей, если

.

Числовая последовательность называется невозрастающей, если

.

Числовая последовательность называется неубывающей, если

.

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность называется фундаментальной, если для любого существует номер такой, что при любых выполняется неравенство .

6. Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если .

7. Две бесконечно малые при функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если , где - , , .

Две бесконечно малые при функции и называются несравнимыми, если при не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения .

Две бесконечно малые при функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, если .

8. Если и бесконечно малые при функции и ,

где - , , , то функция называется бесконечно малой функцией порядка относительно , а число - порядком малости.

9. Если и бесконечно большие при функции и ,

где - , , , то функция называется бесконечно большой функцией порядка относительно , а число - порядком роста.

10. Приращением функции называют .

11. Функция называется непрерывной в точке , если: определена в точке и в , существует .

12. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и непрерывна в точке справа и в точке слева.

13. Точка называется точкой разрыва функции , если данная функция не является непрерывной в точке

Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел существует, но функция не определена в этой точке или

.

Точка называется точкой разрыва I рода, если - точка разрыва функции , и существуют конечные пределы .

Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности равен ∞).

14. Пусть функция определена при , и пусть при , где - бесконечно малая функция при . Тогда прямая называется правой (левой) наклонной асимптотой графика функции .

15. Пусть функция определена в окрестности точки , и пусть таково, что принадлежит указанной окрестности. Если существует предел , то он называется производной функции в точке .

16. Пусть функция определена в правосторонней (левосторонней) окрестности точки , то в точке можно рассмотреть предел , который в случае его существования называется правосторонней (левосторонней) производной функции в точке . Левая и правая производные называются односторонними.

17. Пусть функция определена в окрестности точки . Эта функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение может быть представлено в виде , где - некоторое число не зависящее от .

18. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда приращение этой функции может быть записано в виде . Дифференциалом функции в точке называется .

19. Производная n-го порядка определяется по индукции. Пусть , и пусть в окрестности этой точки определена производная (n-1)-го порядка . Тогда производная n-го порядка в точке по определению есть .

20. Дифференциал n-го порядка определяется по индукции. Пусть дифференциал (n-1)-го порядка уже определён, то дифференциал n-го порядка по определению есть .

21. Функция , определённая на промежутке , называется возрастающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .

Функция , определённая на промежутке , называется невозрастающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .

Функция , определённая на промежутке , называется убывающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .

Функция , определённая на промежутке , называется неубывающей на этом промежутке, если для любых точек и этого промежутка из неравенства следует неравенство .