M_zadania_1_2

26. Теорема о производной частного двух дифференцируемых функций

Если функции и дифференцируемы в точке , то функция дифференцируема в точке и , где

По условию и дифференцируемы в точке существуют и конечны и .

. , где

27. Теорема о производной сложной функции

Если функция дифференцируема в точке и функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

По условию дифференцируема в точке существует конечный ; дифференцируема в точке существует конечный .

, где из (По определению непрерывности функции)

28. Теорема о производной обратной функции

Если строго монотонная в функция дифференцируема в точке , то обратная функция дифференцируема в точке и

По условию дифференцируема в точке существует конечный

, где (По определению непрерывности функции)

29. Свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка

Дифференциал функции не зависит от того, является ли независимой переменной или функцией другой независимой переменной

1. Пусть , где - независимая переменная. (По опр.)

2. Пусть , где . По правилу дифференцирования сложной функции: ;

30. Теорема Ферма

Если функция дифференцируема в точке и точка - точка локального экстремума функции, то

По условию функция дифференцируема в точке существует конечный . Пусть - точка локального максимума для

1. Пусть . (По теореме о предельном переходе в неравенстве)

2. Пусть . (По теореме о предельном переходе в неравенстве)

, так как по условию дифференцируема в точке

31. Теорема Ролля

Если функция непрерывна на , дифференцируема в и , то существует по крайней мере одна точка , в которой

По условию непрерывна на (По второй теореме Вейерштрасса) функция достигает на этом отрезке свои минимальное и максимальное значения. ; . Возьмём случаи: и .

1. для

2. :

1. своё максимальное значение функция достигает в точке - точка локального экстремума. По условию функция дифференцируема в точке (По теореме Ферма)

2. своё минимальное значение функция достигает в точке - точка локального экстремума. По условию функция дифференцируема в точке (По теореме Ферма)

3. своё минимальное и максимальное значения функция достигает внутри отрезка - точки локального экстремума. По условию функция дифференцируема в точке и (По теореме Ферма)

32. Теорема Лагранжа

Если функция непрерывна на и дифференцируема в , то существует хотя бы одна точка такая, что

Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию

. непрерывна на , дифференцируема в , , (По теореме Ролля) существует хотя бы одна точка такая, что . ; ;

33. Теорема Коши

Если функции и непрерывны на , дифференцируемы в и для , то существует хотя бы одна точка такая, что

Пусть так как если бы , то функция удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля существует точка , , что противоречит условию теоремы: по условию .

Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию

. непрерывна на , дифференцируема в , , (По теореме Ролля) существует хотя бы одна точка такая, что . ;

34. Теорема Лопиталя - Бернулли для предела отношения двух бесконечно малых функций

Если функции и удовлетворяют условиям:

1. Бесконечно малые при (бесконечно большие при )

2. Дифференцируемы в , кроме, быть может, самой точки

3. для , кроме, быть может, самой точки

4. Существует

то существует

Пусть по условию , . Доопределим функцию до непрерывности в : . Пусть и , тогда и непрерывны на , дифференцируемы в и в по условию (По теореме Коши) , где , ,

; если , то ; по условию существует

35. Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности

При : , ,

1. 

растёт быстрее при

2. растёт медленнее любой положительной степени

3. растёт медленнее на функции

36-37. Формула Тейлора

Пусть функция раз дифференцируема в

- разложение многочлена по степеням

, то есть

- многочлен Тейлора

- формула Тейлора

36. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Если функция имеет в непрерывное производное до

-го порядка, то для существует точка такая, что

Обозначим ,

запишем в следующем виде:

Рассмотрим вспомогательную функцию, где , - фиксированные. Вместо подставляем :

После сокращений остаётся выражение:

дифференцируема в ; ; (По теореме Ролля)

существует точка ;

Таким образом

37. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

По теореме о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа , или , где

Уменьшая получим, что функция непрерывна на

(По первой теореме Вейерштрасса) ограничена на этом отрезке, то есть , где - число, не зависящее от , но зависящее от . Тогда . Исследуем при :

38. Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа

, где ,

39. Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа

;

;

;

;

;

;

,

где ,

40. Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа

;

;

;

;

;

;

где ,

41. Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа

;

;

;

;

;

;

;

, где ,

42. Формула Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа

;

;

;

;

,

где ,

43. Необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции

Для того, чтобы дифференцируемая в функция не убывала, необходимо и достаточно, чтобы для

Необходимость: По условию функция не убывает в

при ; при ; по условию дифференцируема в существует конечный для

Достаточность: Пусть по условию для . Возьмём

такие, что . По условию дифференцируема в

непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при не убывает в

44. Необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции

Для того, чтобы дифференцируемая в функция не возрастала, необходимо и достаточно, чтобы для

Необходимость: По условию функция не возрастает в

при ; при ; по условию дифференцируема в существует конечный для

Достаточность: Пусть по условию для . Возьмём

такие, что . По условию дифференцируема в

непрерывна на , дифференцируема в (По теореме Лагранжа) , где ; ; по условию, так как при не возрастает в

45. Достаточное условие возрастания дифференцируемой функции

Если функция дифференцируема в и для , то функция возрастает в этом интервале