M_zadania_1_2

Теоремы

1. Теорема о единственности сходящейся последовательности

Если предел числовой последовательности существует и конечен, то он единственен

Предположим, что существуют и конечны и . Пусть , тогда интервалы и , где, например, должны одновременно содержать все члены числовой последовательности, кроме конечного их числа, что невозможно, так как эти интервалы не имеют общих точек. Предположение неверное

2. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Любая сходящаяся последовательность ограничена

По условию сходится существует конечный для для для . . Тогда для ограничена

3. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел

Если существует и конечен , то функция - локально ограниченная

По условию существует и конечен для для . Пусть для . для для - локально ограниченная.

4. Теорема о сохранении функцией знака своего предела

Если существует и конечен и , то такая, что для

По условию существует и конечен для для .

1. Пусть по условию . Возьмём , тогда ; для

2. Пусть по условию . Возьмём , тогда ; для

5. Теорема о предельном переходе в неравенстве

Если существуют и конечны и и для выполняется неравенство , то

По условию для для (По теореме о сохранении знака своего предела)

6. Теорема о пределе промежуточной функции

Если существуют и конечны и и такая, что для выполняется неравенство , то

По условию существуют и конечны для для ; для для . Рассмотрим . Тогда для выполняется неравенство

для для

7. Теорема о пределе произведения функций

Если существуют и конечны и , то

По условию существуют и конечны (По теореме о связи функций, её предела и бесконечно малой) , где

- бесконечно малая при функция; , где - бесконечно малая при функция.

8. Теорема о пределе сложной функции

Если существует и конечен , причём в и существует и конечен , то существует и конечен

По условию существуют и конечны для для ; для для для . Для для

9. Доказательство первого замечательного предела

- чётная пределы слева и справа совпадают.

Рассмотрим предел функции справа: .

10. Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой

Если существует и конечен , то , где - бесконечно малая при функция и наоборот, если , где - бесконечно малая при функция, то

Необходимость: По условию существует и конечен для для для

, где

Достаточность: По условию , где для для , где для

11. Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную

Если - бесконечно малая при функция, - ограниченная функция, то - бесконечно малая при функция

По условию - бесконечно малая при функция для для - ограниченная функция , где - , для для

- бесконечно малая при функция

12. Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой

Если - бесконечно малая при функция, , то - бесконечно большая при функция. Если - бесконечно большая при функция, то - бесконечно малая при функция

1. По условию - бесконечно малая при функция для для ; . для - бесконечно большая при функция

2. По условию - бесконечно большая при функция для

для . Рассмотрим : для - бесконечно малая при функция

13. Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела

Если бесконечно малые функции при и при , не равные нулю в , то при

По условию при ; при

.

при

14. Теорема о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых

(Бесконечно малые функции при ) ⇔ и

Необходимость: По условию при

; . По условию при ; .

Достаточность: По условию ; ; при . По условию ; ; при .

15. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков

Если - бесконечно малые при функции, то при , где

Рассмотрим

при

16. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций

Если функции и непрерывны в точке , то функции , где в последнем , непрерывны в точке

По условию непрерывна в точке . По условию непрерывна в точке .

1. 

непрерывна в точке

2. 

непрерывна в точке

3. непрерывна при в точке

17. Теорема о непрерывности сложной функции

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то сложная функция непрерывна в точке

По условию непрерывна в точке . По условию непрерывна в точке . непрерывна в точке

18. Теорема о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки

Если функция непрерывна в точке и , то , в которой

По условию непрерывна в точке конечный .

1. Пусть для для

, где пусть, например,

для .

2. Пусть конечный . Заменим , тогда для для

, где пусть, например, . Вернёмся к прежней записи: для .

19. Теорема о непрерывности элементарных функций. Доказательство непрерывности функции

Основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Функция непрерывна в

По определению , где , - точка . .

непрерывна в

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Первая теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке

2. Вторая теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на , то она достигает хотя бы в одной точке этого отрезка свои максимальное и минимальное значения

3. Первая теорема Больцано - Коши: Если функция непрерывна на и , то существует хотя бы одна точка , в которой

4. Вторая теорема Больцано - Коши: Если функция непрерывна на и , то существует точка такая, что или

5. Теорема о непрерывности обратной функции: Если функция непрерывна и строго монотонна на , то существует обратная функция строго монотонная на

21. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва

Точка , в которой нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции , а сама функция называется разрывной в этой точке.

1. Точка называется точкой разрыва I рода, если не существует, но существуют и конечны

2. Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует, но или , или

3. Точка , в которой хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует (в частности равен ∞), называется точкой разрыва II рода

4. Точка , в которой хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен ∞, называется точкой разрыва II рода с бесконечным скачком

22. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты

Прямая есть правая (левая) наклонная асимптота графика функции тогда и только тогда, когда существуют и конечны и

Необходимость: По условию - правая наклонная асимптота

при

, где

. Из первого предела:

Достаточность: По условию существует и конечен

- правая наклонная асимптота

23. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела конечную производную, то есть существует конечный

Необходимость: По условию функция дифференцируема в точке

, где (По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой)

Достаточность: По условию существует конечный (По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой) , где дифференцируема в точке

24. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке

По условию функция дифференцируема в точке

непрерывна в точке

25. Теорема о производной произведения двух дифференцируемых функций

Если функции и дифференцируемы в точке , то функция дифференцируема в точке и

По условию и дифференцируемы в точке существуют и конечны и .

.