лекции / Лекция 1 по ИТ для очников Типы СС_2022

	Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения
	Лекция № 1	Блок 1: «Арифметические операции в различных позиционных системах счисления над числами, представленными в алгебраической форме»
		Тема 1.1: «Типы систем счисления»
	Курс – 34 акад.часа	Выпуск 1	Изменение 0	Экземпляр № 1	Лист 6/6

Литература:

1. Акулов О.А. Информатика. Базовый курс. Учебник для вузов / О.А. Акулов, Н.В. Медведев. – 8-е изд., испр. и доп. – М.: Омега-Л, 2013. – 574 с. – (Высшее техническое образование) – ISBN: 978-5-370-02604-1.

2. Савельев А.Я. Арифметические и логические основы работы цифровых автоматов. Учебник / А.Я. Савельев. – М.: Высш. Школа, 1980.– 255 с., ил.

3. Сенкевич А.В. Архитектура ЭВМ и вычислительные системы. Учебник / А.В. Сенкевич. – М.: Академия, 2014. – 240 с. – ISBN: 978-5-7695-6462-8.

Цель курса:

Целью данного курса является изучение арифметических основ работы компьютера и создание базы для изучения студентами последующих дисциплин: «Организация и архитектура ЭВМ и систем», «Теория автоматов».

Введение

В вопросах организации обработки информации с помощью ЭВМ важное место занимает кодирование информации.

Поскольку при кодировании сигнала используются различные системы счисления, в рамках данного курса, рассматриваются те из них, которые применимы в современной вычислительной технике, правила перевода из одной системы счисления в другую, арифметические правила сложения, вычитания, умножения и деления в различных позиционных системах счисления, а также особенности представления чисел в виде машинных кодов, проблемы и методы аппаратной реализации арифметических операций (машинная арифметика).

Вообще, материал данного курса можно разделить на два отдельных блока:

1. арифметические операции в различных позиционных системах счисления над числами, представленными в алгебраической форме;

2. аппаратная реализация арифметических операций над числами, представленными в машинных кодах.

Блок 1. Арифметические операции в различных позиционных системах счисления над числами, представленными в алгебраической форме (ПСС).

1. Типы систем счисления

Система счисления (СС) – это совокупность приемов и правил, по которым, числа записываются и читаются.

Различают два основных типа систем счисления:

1. непозиционные системы счисления;

2. позиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления (НСС) – это система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные символы – цифры, численное значение которых (вес цифры) всегда одинаково и не зависит от их позиции в записи числа.

Ярким примером непозиционных систем счисления можно считать римскую систему счисления. В римской системе счисления для записи чисел используются следующие 7 букв латинского алфавита:

Буква латинского алфавита	Число
I	один
V	пять
X	десять
L	пятьдесят
C	сто
D	пятьсот
M	тысяча

Порядок написания чисел в римской СС такой: сначала записываются число для тысяч, затем число для полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятёрок и единиц, при этом для записи чисел используются правила:

1. каждая меньшая цифра, поставленная слева от большей, вычитается из неё:

2. каждая меньшая цифра, поставленная справа от большей, прибавляется к ней.

3. в записи числа не может быть более трёх одинаковых знаков.

Например, запись в римской СС десятичного числа 4672, записанного арабскими цифрами, выполняется следующим образом:

672 = 600 + 70 + 2

600 записываем, как – DC;

70 записываем, как – LXX;

2 записываем, как – II.

Объединяем записи и получаем, что десятичное число 4672 в римской СС выглядит следующим образом: MMMMDCLXXII.

Из данного примера видно, что веса цифр в римской системе счисления никак не зависят от их позиции в записи числа: M – всегда означает просто тысячу, X – всегда просто 10 и т.д.

В римской СС для того, чтобы выделить число в тексте сверху или снизу или и там и там ставили черту, например:

______________ ______________

MMMDCLXXII, MMMDCLXXII, MMMDCLXXII

Позиционная система счисления (ПСС) – это система счисления, в которой вес каждой цифры изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Например, в десятичном числе 737,7 первая семёрка означает 7 сотен, вторая семёрка означает 7 единиц, а третья семёрка – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 737,7 означает сокращенную запись выражения:

737,7₁₀ = 7*10²+3*10¹+7*10⁰+7*10^-1 = 700+30+7+0,7 = 737,7₁₀

Любая ПСС характеризуется своим основанием и алфавитом.

Основание ПСС – количество различных цифр используемых для изображения чисел в данной СС.

В том случае, если одновременно используется несколько позиционных систем счисления, принято обозначать основание ПСС в виде подстрочного индекса справа от числа, например 100₁₀ или 100₈ или 100₂ и т.д., для того чтобы иметь возможность различать числа различных ПСС. Когда же используется только десятичная СС, то подстрочный индекс для обозначения основания СС не пишется, в этом случае число считается десятичным по умолчанию.

Алфавит ПСС – совокупность всех символов, которые используются для отображения цифр в данной системе счисления. Как правило, это арабские цифры от 0 до 9, и, если этого недостаточно, тогда ещё к ним добавляются буквы латинского алфавита.

За основание ПСС можно принять любое натуральное число, начиная с числа 2 и далее по возрастающей.

Запись чисел в каждой из ПСС с основанием q означает сокращенную запись выражения:

a_n-1*q^n-1 + a_n-2*q^n-2+…+ a₁*q¹ + a₀*q⁰ + a_-1*q^-1 + … + a_-m*q^-m ,

где a_i – цифры из алфавита системы счисления;

n и m – число целых и дробных разрядов соответственно.

Во всех современных ЭВМ используются именно позиционные системы счисления, в которых число представляется в виде последовательности цифр, позиции каждой из которых присвоен определённый вес.

Например, величину А 4-разрядного десятичного целого числа а₃а₂а₁а₀ можно получить следующим образом:

А = а₃*10³ + а₂*10² + а₁*10¹ + а₀*10⁰.

Из этой записи видно, что, что вес каждой цифры а_i равен 10ⁱ.

Например, величина числа 7653₁₀ может быть представлена в следующем виде:

7653₁₀ = 7*1000 + 6*100 + 5*10 + 3*1.

Для того, чтобы отображать дробные десятичные числа или смешанные десятичные числа, т.е. оперировать как положительными, так и отрицательными степенями числа 10, в десятичной системе счисления используют десятичную точку, которая разделяет целую и дробную части числа. Для двоичной ПСС такую точку, следует называть двоичной точкой, для восьмеричной ПСС восьмеричной точкой и т.д.

Таким образом, абстрактное десятичное число а₁а₀.а_-1а_-2 имеет значение:

А₁₀ = а₁*10¹ + а₀*10⁰+а_-1*10^-1 +а_-2*10^-2

Если же речь идет о двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной ПСС, то тогда:

А₂ = а₁*2¹ + а₀*2⁰+а_-1*2^-1 +а_-2*2^-2

А₈ = а₁*8¹ + а₀*8⁰+а_-1*8^-1 +а_-2*8^-2

А₁₆ = а₁*16¹ + а₀*16⁰+а_-1*16^-1 +а_-2*16^-2

Итак, в любой ПСС позиция каждой цифры a_i имеет вес qⁱ,

где q – основание позиционной системы счисления, общая форма форма записи чисел в таких системах выглядит следующим образом:

а_n-1 а_{n-2 …} а₁а₀.а_-1а_-2…а_-m

где n – число цифр целой части числа, m – число цифр дробной части числа.

Значение числа представляет собой сумму произведений отдельных цифр алфавита ПСС на основание ПСС в соответствующей степени:

А_q = ∑ a_i * qⁱ

–m ≤ i ≤ n–1

В случае отсутствия точки в числе предполагается по умолчанию, что она находится справа от правой крайней цифры, т.е. число является целым.

Любое число в ПСС, если не учитывать возможных нулей в крайних позициях (разрядах) целой и дробной части числа, представляется единственным образом, т.е. число 28.34 равно числу 00028.34000.

Крайняя слева значащая цифра (2) в таком числе называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа значащая цифра (4) – цифрой младшего разряда. Нули, стоящие в крайних позициях записи смешанного числа, не являются значимыми.

Для наглядности обозначения системы счисления, в которой записано данное число, используется подстрочный индекс в записи числа.

Например:

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1.1₂= 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2¹ + 1*2^-1 = 11.5₁₀

Разряды 2 1 0 -1 -2

Число 2 7 6.5 2₈= 2*8² + 7*8¹ + 6*8⁰ + 5*8^-1 + 2*8^-2 = 190.66₁₀

А₁₀ = 135₁₀ = 1*10² + 3*10¹ + 5*10⁰ = 135₁₀

А₈ = 135₈ = 1*8² + 3*8¹ + 5*8⁰ = 93₁₀

А₁₆ = 135₁₆ = 1*16² + 3*16¹ + 5*16⁰ = 309₁₀