3377

Найдите закон распределения случайной величины Z X Y

иее математическое ожидание.

2.Случайные величины X и Y независимы и каждая имеет показательный закон распределения с плотностью распре-

деления f (x) e x при x 0 и f (x) 0 при x 0 . Найдите плотность вероятности суммы этих величин.

3. Найдите математическое ожидание и среднее квадрати-

но распределены на отрезке [0, 2]. Найдите функцию плотности вероятности случайной величины Z X Y .

5. Пусть X1 и X 2 - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром . Найти распределение случайной величины Y X1 X2 .

6. Случайные величины X и Y независимы и каждая равномерно распределена на (0, 1). Найдите плотность вероятности случайной величины Z

81

7. Каждая из случайных величин X и Y равномерно распределена в интервале (0,1) . Полагая величины X и Y независимыми, найдите функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию для каждой из величин U min(X ,Y) и

Vmax(X ,Y ) .

8.Закон распределения двумерной случайной величины задан табл. 4.

Таблица 4

Найдите: а) безусловные законы распределения величин X и Y ; б) закон распределения X при условии, что Y 1 .

9. Равновозможны все положения случайной точки (X,Y) в треугольнике с вершинами A(0,0), B(2,0) и C(2,1) . Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y . Найти линию регрессии Y на X .

10.В примере №8 найдите корреляции между X и Y .

11.По известной функции плотности вероятности f (x)

14. Двумерная СВ распределена равномерно в области D . D – треугольник с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1).

Определить: 1) двумерную плотность вероятности f (x, y) ;

2)одномерные плотности f1 (x), f2 (x);

3)зависимы или нет СВ (X,Y) ;

4)центр рассеивания: точку M (mX ,mY );

5)дисперсии DX , Dy ;

6)коэффициент корреляции rXY .

15. Задана табл. 6 распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) .Определить:

а) безусловные законы распределения СВ (X,Y) ; 83

б) функцию распределения F (x, y) системы СВ (X,Y) ;

в) условный закон распределения СВ Y при X xi и

16. Дана плотность вероятности f (x, y) СВ (X,Y)

Определить:

1)параметр С;

2)одномерные плотности f1 (x), f2 (x);

3)зависимы или нет СВ (X,Y) ;

4)центр рассеивания: точку M (mX ,mY );

5)дисперсии DX , Dy ;

6)коэффициент корреляции rXY .

Ответы

при остальных y1 и y2 .

ЗАНЯТИЕ № 11-12. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Если X - дискретная СВ, имеющая закон распределения (хk, рk) k=1, 2,..., который можно записать в виде табл. 7, и Y=

85

(Х), где -неслучайная функция, то Y также является дискретной CВ, причем ее возможные значения уk= (хk).

Если (х) – монотонная функция, то все значения yk различны и P(Y=yk)=P(X=xk), то есть СВ Y имеет следующий закон распределения

Если при этом (х) – немонотонная функция, то среди

ее значений у1, у2, у3,…,уk,… могут быть одинаковые. В этом случае столбцы с равными значениями (хi) объединяются в один столбец, а соответствующие вероятности складываются, т. е.

Если Х – непрерывная СВ с ФР F(x) и плотностью вероятности f(x) и Y= (х), причем (х) – монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция, а х= -1(у) – обратная функция, то

F(y)=P(Y<y)=P( (х)<y)=P(X< -1(х))=F[ -1(х)].

Дифференцируя последнее равенство по у, получаем

86

Если у=φ(х) - монотонно убывающая функция, то аналогично получаются следующие соотношения:

F(y)=1-F[φ-1(y)], f(y)= -f[φ-1(y)] dyd [φ-1(y)].

y

y= (x)

Выражения для плотности вероятности СB Y и для монотонно возрастающей и для монотонно убывающей функции φ(х) можно объединить:

плотностью распределения g(y) . По определению функция распределения F ( y) случайной величины равна

87

Числовые характеристики находятся по формулам:

(xk )P( X xk ), если X дискретная СВ;

k

my

Пример 1. Найти закон распределения СB. Y=(Х-т)/σ, если СВ X подчиняется нормальному закону N(m,σ).

Решение. В нашем случае Y=(1/σ)Х-т/σ, т.е. а=1/σ, b=-

т/σ. Вспоминая формулу для плотности распределения нормального закона N(m,σ) и учитывая формулу (3), получаем

Пример 2. Логарифмически нормальное распределение.

88

Пример 4. Распределение Стьюдента с n степенями свобо-

Решение. Решение задачи располагаем в виде двух столбцов; слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа – конкретные функции, соответствующие данному примеру: