3377

Модель 2. Пусть генеральная совокупность

N (m, 2 ) ,

неизвестных параметров.

По уровню значимости

проверить нулевую гипотезу

H0 :

m m0 :

Решение.

Для альтернативных гипотез Ha :

m

m0

кри-

тическая область G

z

t1

(n

1) .

Ha : m m0 G

z t (n 1) .

Ha : m m0 G

z

t 2 (n 1)

,

x

m0

где z

n

,

t

(n

1)

– квантиль уровня

распреде-

s0

ления Стьюдента с (n 1) степенью свободы.

Для Ha :

m

m1 ,

m1

m0

мощность

m0

m1

r

Tn 1 t

n ,

s

где Tn 1 (t) – функция распределения Стьюдента с

(n 1)

сте-

пенью свободы.

Модель

3.

Пусть

имеем

две

независимые

выборки

x1, x2 ,...xn и

y1

ym

объемом n и m из нормальных генераль-

ных совокупностей

N (m ,

2 ) и

N (m ,

2 ) . Предполо-

1

1

2

2

жим, что

1

и

2 известны. Требуется на уровне значимости

проверить гипотезу H0 : mx

my :

144

Область G {z

u }, где u

квантиль уровня

случайной

величины

N(0,1) . Имеем

u0,05

u0,95

1, 65 , т.е.

G z

1, 65

. Так как zнабл.

G

1, 75

1, 65

, то гипотезу H0

отвергаем в пользу альтерна-

Замечание. Пусть в условиях задачи Ha : a1

9 . Вычислим

мощность

критерия

r ,

вероятность

ошибки

второго рода

1 r , и ответим на вопрос, какой минимальный объем вы-

борки нужно взять, чтобы

0,05.

a0

a1

10 9

Имеем

r

F u

n

F

1, 65

25

2

F(0,85)

0,802.

1

x

1

r

0,198 , где F(x)

e t

2

2 dt .

2

0,05

r 1

0,95.

a0 a1

Решим уравнение 0,95

F

u

n

,

a0

a1

,

10

9

u

n

u0,95

1, 65

1, 65

n

1, 65

2

n 6, 6 ,

n

44 .

пускающих

однотипные изделия,

взяты выборки

объемов

n1 15 и n2

18 . По результатам

выборок найдены

x1 32

Статистика u

x1

x2

. uнабл.

32

35

3

0,1

0,117

1,5

2,1

2

2

1

2

15

18

n1

n2

3

6, 45 .

0, 465

Критическая

область G

для

альтернативной

гипотезы

Ha : m1

m2

имеет вид

G

u

u 2

.

1,96 ,

1, 96 .

u 2 u0,025

u0,975

G

u

Т.к. uнабл.

G (6, 45

1,96 , то отклоняем гипотезу H0 в поль-

мя изготовления есть нормальная случайная величина с

1

сек., необходимо:

1)

проверить на уровне значимости

0,05 гипотезу

H0 :

m

50 сек. против альтернативной гипотезы Ha : m 45 сек.

2)

вычислить мощность критерия и вероятность ошибки вто-

рого рода;

3)

проверить на уровне значимости

0,05 гипотезу H0 :

m

50 сек. против альтернативной гипотезы Ha : m 50 сек.

шина затрачивает на

поездку до

хлебоприемного

пункта

x

73 мин. Допустив, что время поездки есть нормальная

случайная величина

на уровнях

значимости

0,05

и

1

0,1 проверить гипотезу H0 : a

75 мин.; при альтерна-

тивной гипотезе Ha : a

72 мин.

1)

если известно, что

1 мин.;

2)

если выборочное среднее квадратичное отклонение s

1

мин.;

3)

для условий 1) и 2) вычислить мощность критерия.

ные случайные величины с дисперсиями

2

9 мм

2

,

2

15

1

2

мм2 . Требуется на уровне значимости

0,05 проверить ги-

потезу H0 : m1 m2 :

1) при альтернативной гипотезе Ha : m1

m2 ;

2) при альтернативной гипотезе Ha : m1

m2 .

КРИТЕРИЙ

2

S1

S2

S3

…

Sr 1

Sr

a0

a1

a2

a3

ar 2

ar 1 ar

дания X в интервал ai

1, ai в случае, когда предложенная ги-

r

потеза справедлива. Очевидно, что

pi 1. Пусть пi, i=1,...,r -

i

1

количество

элементов

выборки,

попавших в интервал

r

ai 1, ai ,

ni 1. Тогда ni/n есть относительная частота по-

i

1

r

ниях. Очевидно, что

ni / n 1.

i

1

2

n

ni

2

r

ni

np

2

r

pi

,

i 1

pi

n

i 1

npi

ческой, а критическую область задают в виде Vk

Z

Z .

Таким образом, процедура применения критерия

2 для

2.

Разобьем числовую ось на r промежутков

a0 , a1 :

a1 , a2 ,

ar 1 , ar ,

a0

, ar

, a1 a2

ar 1 .

Если гипотеза H0 справедлива, то i

му промежутку

ai 1 , ai

соответствует вероятность

pi

F(ai )

F(ai 1 ) ,

i 1

r .

3.

Пусть из выборки (17.1)

ni

значений попадает в i

ый про-

межуток ai

1 , ai