3353

сываются атомные веса 12 и 16. Соответственно 12 г углерода могут соединиться с 16 г кислорода, образуя 28 г окиси углерода, а если количество кислорода будет вдвое большим, образуется 44 г двуокиси углерода (углекислого газа).

Химические соединения всегда содержат составляющие их вещества в простых пропорциях, если за весовые единицы для элементов выбраны их атомные веса. Этот факт убедительно свидетельствовал в пользу гипотезы об атомистическом строении материи. Согласно этой гипотезе, каждое химическое соединение состоит из мириадов крошечных молекул, тождественных друг другу. В свою очередь каждая молекула состоит из сравнительно небольшого числа атомов, и истинные веса этих атомов пропорциональны атомным химическим весам.

Следовательно, число атомов в 12 г углерода соответствует числу атомов в 16 г кислорода. Более того, таково же и число молекул углекислого газа в 44 г этого вещества. Число атомов в грамм-атоме элемента или число молекул в грамм-молекуле химического соединения лежит в основе физических и химических расчетов; оно носит название числа Авогадро и приближенно равно 6, 02-1028.

Если принять атомную гипотезу, становится понятным действительный смысл вывода, сделанного Дюлонгом и Пти:

количество тепла, поглощаемое твердым веществом, зависит в первую очередь от числа атомов и в очень малой степени определяется «сортом» этих атомов.

Иными словами, количество тепла (в расчете на один атом), необходимое для повышения температуры простого твердого тела, составляет в основном одну и ту же величину для большинства элементов. Около 6 калорий тепла повысят на один градус температуру грамм-атома почти любого элемента, находящегося в твердом состоянии. Особые случаи, когда необходимое количество тепла существенно меньше 6 калорий, мы встречаем среди элементов с низким атомным весом, имеющих высокую точку плавления (например, бор и углерод).

31

Казалось бы, на основании наблюдения Дюлонга и Пти весьма заманчиво сделать вывод о том, что количество тепла (в расчете на атом), требуемое для нагревания вещества на один градус, одинаково для всех видов вещества при любых условиях. Однако на деле это далеко не так. Для нагревания грамм-атома элемента, находящегося в твердом состоянии, на один градус необходимо 6 калорий, тогда как, если элемент находится в газообразном состоянии, для той же цели достаточно всего лишь 3 калории. Этот факт говорит о том, что теплоемкость зависит не столько от «сорта» атомов, сколько от их агрегатного состояния.

Первая половина XIX века характеризуется все более четким осознанием того факта, что поглощаемое веществом тепло в точности эквивалентно энергии движения атомов в веществе. Примерно в середине столетия Джеймс Джоуль точно установил количество энергии, эквивалентное одной калории; эту величину часто называют механическим эквивалентом теплоты. Естественно было ожидать поэтому, что для объяснения закона Дюлонга и Пти и различия в теплоемкостях твердых тел и газов будет найдено какое-либо чисто механическое объяснение.

Однако такое объяснение пришло лишь с развитием статистической механики, обязанной своим появлением в первую очередь Джеймсу Максвеллу, Людвигу Больцману и Уилларду Гиббсу. Эти ученые нашли способ описать наблюдаемое поведение вещества, применяя статистические вероятностные понятия к ансамблям из очень большого числа частиц; важно, что при этом каждая из частиц в отдельности подчиняется хорошо известным законам механики. Максвелл, Больцман и особенно Гиббс развили методы, позволяющие описать поведение таких ансамблей в среднем, несмотря на случайное хаотическое поведение составляющих эти ансамбли индивидуальных частиц (в действительности именно благодаря такому хаотическому поведению!) [12].

32

3.2. Независимые атомы

Прежде чем изучить, как «работают» методы статистической механики применительно к твердому телу, полезно обратиться к более простому случаю – к газу. Газ описывается следующей упрощенной моделью. Каждый атом считается независимой точечной массой, то есть частицей, имеющей массу, но не обладающей геометрическими размерами и не «чувствующей» ни притяжения, ни отталкивания со стороны других атомов; воздействие атомов друг на друга проявляется лишь в редкие моменты их соударений.

Разумеется, такая модель чрезвычайно упрощает реальную ситуацию. В других моделях атомы выступают, например, как сложные структуры, состоящие из ядра и вращающихся вокруг него электронов; иногда следует учитывать также взаимное притяжение или отталкивание атомов. Однако эти усложнения представляются все менее и менее важными по мере того, как мы переходим ко все более разреженному газу. Иными словами, можно ожидать, что поведение нашей модели будет описывать реальное поведение газа более точно в том случае, если газу предоставлена возможность расширяться и занимать большой объем пространства.

Но и в такой модели все же следует учитывать соударения между атомами, но делать это надо как бы «исподтишка»

– ведь газ-то идеальный! Дело в том, что именно эти соударения приводят к обмену энергией между точечными массами, которые моделируют атомы. Два сталкивающихся атома при сближении могут иметь различные скорости и, следовательно, различные кинетические энергии (энергии движения). Во время соударения один из атомов может передать часть своей кинетической энергии другому, так что после соударения оба атома приобретут другие значения скоростей и энергий.

Если все атомы обмениваются друг с другом энергиями так, как описано выше, то с помощью методов статистической механики можно вычислить средние значения характеристик

33

каждого атома. Тогда свойства газа в целом можно получить простым умножением этих характеристик на число содержащихся в газе атомов. Определенные таким образом свойства модели независимых атомов позволяют сформулировать закон поведения газа, известный под названием уравнения идеального газа. Это уравнение объединяет эмпирические законы, открытые ранее Робертом Бойлем, Жаком Шарлем и Жозефом Гей-Люссаком в экспериментах на реальных газах. Объединенный закон связывает давление газа р, занимаемый им объем V и абсолютную температуру Т грамм-атома газа следующим простым соотношением:

Коэффициент пропорциональности R в этом выражении называется универсальной, газовой постоянной; он равен 1,985

калории на градус и одинаков для газов любого элемента. Однако гораздо важнее другой вывод из приведенного

модельного расчета, имеющий прямое отношение к величине теплоемкости. Именно полная кинетическая энергия атомов в модели идеального газа точечных масс составляет 3/2 RT в расчете на грамм-атом. Следовательно, чтобы повысить температуру газа на один градусj требуется количество тепла, равное 3/2 R – это и есть по определению теплоемкость газа. Подставляя приведенное выше значение R, получаем для теплоемкости значение около 3 калорий; именно эта величина была установлена экспериментально, и она составляет в точности половину значения теплоемкости, найденного Дюлонгом и Пти для твердых тел [12].

3.3. Атомы и осцилляторы

Таким образом, возникает задача, как построить разумную механическую модель для твердого тела, которое состоит из тех же атомов, что и газ, но обладает вдвое

34

большей теплоемкостью. Ясно, что в твердом теле движение точечных масс (атомов) уже нельзя считать независимым. Атомы расположены на близком расстоянии и влияют друг на друга столь сильно, что практически лишены возможности перемещаться. Динамика атомов в твердом теле определяется только к их колебаниям около фиксированных положений равновесия.

Именно колебательный характер движения атомов твердого тела дает нам ключ к построению разумной модели. Рассмотрим маятник. который качается взад и вперед, всякий раз проходя фиксированное положение равновесия, совпадающее с наинизшим положением его центра тяжести. Массивное тело, укрепленное на пружине, можно заставить колебаться около положения равновесия, толкнув и затем отпустив его. Физики часто идеализируют эти и многие другие случаи колебаний, вводя представление об очень полезном, но несуществующем объекте – гармоническом осцилляторе.

Гармонический осциллятор можно моделировать точечной массой, находящейся на конце невесомой пружины. Противоположный конец пружины консольно закреплен (рис.

3.1)

Рис. 3.1. Пружинный маятник – простейшая модель гармонического осциллятора [12]

35

При смещении точечной массы из положения равновесия упругая сила пружины стремится вернуть ее. Эта сила тем больше, чем дальше от положения равновесия смещена точечная масса; сила исчезает в самом положении равновесия и меняет знак при смещении в противоположную сторону от него. Модель гармонического осциллятора особенно проста потому, что в ней принимается прямо пропорциональная зависимость между возвращающей силой и смещением точечной массы из ее положения равновесия; в случае ангармонического осциллятора эта связь сложнее.

Заставить осциллятор колебаться можно лишь в том случае, если сообщить ему энергию; очевидно, эта энергия тем больше, чем дальше отклоняется осциллятор от положения равновесия. Однако очевидно также, что эта энергия не является целиком кинетической (по крайней мере не во все моменты времени). Это отличает осциллятор от случая свободно движущихся точечных масс в модели газа. Когда осциллятор проходит свое положение равновесия, его энергия является полностью кинетической. Но в те моменты, когда осциллятор достигает точки, наиболее удаленной от положения равновесия, скорость его равна нулю, то есть в это мгновение он покоится, а кинетическая энергия всякого покоящегося тела равна нулю.

3.4. Потенциальная и кинетическая энергия

Имея в виду лишь кинетическую энергию, можно было бы заключить, что вся энергия осциллятора меняется от нулевого значения (когда осциллятор находится в крайних точках своего колебания) до некоторого максимального значения, которое достигается в момент прохождения положения равновесия. Но если вам приходилось когда-либо слышать о законе сохранения энергии, подобный вывод должен был бы насторожить вас. На самом деле нетрудно понять, каким образом осциллятор все время сохраняет неизменной полную энергию; для этого достаточно вспомнить

36

часто используемое определение энергии как возможности совершать работу.

Когда осциллятор проходит положение равновесия, он может совершить работу, толкая какой-либо предмет. Однако, даже находясь в крайних точках своего колебания (то есть точках, наиболее удаленных от положения равновесия), осциллятор все еще может совершать работу. Так, если осциллятор представляет собой маятник, то в крайних точках его центр тяжести занимает более высокое положение, чем в средней точке; следовательно, падая, маятник может совершить работу, толкая по пути какой-либо предмет. Пусть осциллятор – точечная масса на пружине, которая максимально сжата или растянута в крайних точках колебания. Возвращаясь к нормальной длине, пружина может совершить работу, перемещая какое-либо тело. Если вы возбуждаете колебания, смещая осциллятор к его крайнему положению, вы совершаете над ним работу (затрачивая энергию), а затем даете ему возможность эту энергию «возвратить» (совершить работу).

Запас работы, которую может совершить осциллятор за счет отклонения от положения равновесия, носит название потенциальной энергии осциллятора, тогда как запас работы, которую он мог бы выполнить за счет своего движения, называется кинетической энергией. Наглядно можно представить себе, что, двигаясь к положению равновесия, осциллятор как бы производит работу над самим собой, увеличивая тем самым скорость своего движения; при этом потенциальная энергия целиком переходит в кинетическую. После прохождения положения равновесия осциллятор как бы «оттягивает» себя все дальше от него, запасая энергию в форме потенциальной энергии.

Таким образом, полная энергия осциллятора сохраняется неизменной, но при колебаниях она преобразуется из одной формы в другую (рис. 3.2).

37

Оказывается, что в среднем за один цикл колебания средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, а сумма их равна полной энергии осциллятора.

Рис. 3.2. Потенциальная (о) и кинетическая (б) энергия осциллятора [12]

Теперь уже почти напрашивается следующая простая модель твердого тела. Твердое тело можно представить в виде системы независимых гармонических осцилляторов. Они обмениваются друг с другом энергией за счет столкновениях независимых свободно движущихся точечных масс. Сильные взаимодействия между каждым атомом и его окружением удерживают этот атом в определенном месте твердого тела (положении равновесия); в нашей модели (грузы на пружинах) эти взаимодействия представлены возвращающей силой пружины (пропорциональной отклонению), действующей на прикрепленный к ней груз (рис. 3.3).

38

воды выше температуры ее замерзания, вы можете принять эти температуры за 100 градусов и нуль соответственно, установив таким образом стоградусную шкалу темпера тур.

Но единственный физический факт, использованный при этом, состоит в том, что тепло будет «перетекать» от кипящей воды к замерзающей – это как раз и означает, что кипящая вода имеет более «высокую» температуру. В частности, при равенстве температур двух тел тепло не может переходить от одного из них к другому.

Рассмотрим модель твердого тела в виде набора гармонических осцилляторов. Окружим такое тело газом, у которого число атомов равно числу атомов твердого тела. Если температура газа выше, чем у твердого тела, то атомы газа будут отдавать тепло атомам твердого тела путем соударений (в каждом соударении атом газа будет терять кинетическую энергию). Твердое тело поглотит эту тепловую энергию, что проявится в виде в возрастания амплитуды колебаний его гармонических осцилляторов. Половина энергии при этом пойдет на увеличение средней потенциальной энергии осцилляторов, а в процессе соударения изменяется лишь кинетическая энергия. Газ будет остывать вдвое быстрее, чем твердое тело нагреваться. Следовательно, для увеличения температуры твердого тела требуется вдвое большее количество тепла, чем для газа, а именно 3R на каждый грамматом (против 3/2/ R у газа).

Ввиду того что тепловое поведение газа, состоящего из независимых, одинаковых и не объединенных в молекулы атомов, обладает относительной простотой, такие газы (например, гелий) используются в качестве рабочего вещества стандартных термометров. Другие типы термометров (где в качестве рабочего вещества используются жидкости или твердые вещества) калибруются путем сравнения с газовым термометром. Собственно, температура определяется иногда как физическая величина, пропорциональная средней кинетической энергии одноатомного газа.

40