Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3263

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

1 n

sin

;

sin2

;

n 2

1 n n

;

10)

cos

3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

n n2

lim

;

2) lim

2 2

1 2

;

1 3

n n

1 n

lim

;

lim n 3 5

8n3

;

lim n3

3 n 2 n6

3 n8

3 n2

; 6)

lim 3 n

3 n n

;

lim n

3 5

3 n3

lim

; 8)

;

n n5

lim n

3 4

;

10)

lim

4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

lim

6n 5 3n 2

lim

3n2

6n 7

n 1

;

3n2

5n 5

20n 1

lim

4n2

4n 1 1 2n

lim

2n2

2n 3

3n2 7

;

4n2

2n 3

2n2

2n 1

7n2

18n 15

n 2

2n2

21n 7

2n 1

lim

;

lim

;

7n2

11n 15

2n2

18n 9

lim

2n2

7n 1

lim

5n2

3n 1

;

2n2

3n 1

5n2

3n 3

lim

2n2

5n 7 n

10) lim

3n2

4n 1

2n 5

;

2n2

5n 3

3n2

2n 7

Группа В

1. Вычислить пределы числовых последовательностей.

lim

2 4

2 8 2

;

lim

;

1 2

2 3

n n

lim

3 n2 sin n!

lim

;

n 1

lim

2n 1 2

;

lim

2 n

2 n 1

3n 1

lim

;

lim

1 n 1 n

;

n n n

lim

1 ;

10)

lim

2. Для последовательности

найти inf xn ,

sup xn , lim xn

и lim xn .

1) x

;

2) x

n 2

1 n ;

1 n n ;

10,5

nsin

;

1 n

;

6) x

cos

;

1 2 1 n 1

n n 1

1 n 1 2

;

3 1 n ;

8) x

1 n

;

10)

3. Выполнить следующие задания.

Доказать, что последовательности xn

, определяемые формулами

b ,

, y

имеют общий предел

lim y .

x y

n 1

lim x

n 1

2) Пусть

- последовательность чисел, определяемая следующей формулой

0, 1, 2, . Доказать, что

lim x

n 1

Доказать,

что

последовательность

где

n1, 2, , сходится.

4)Доказать, что если p - натуральное число, то

x1 a ,

x0 0 ,

	1	ln n

	n
	n

lim

2 p

n p

p 1

Доказать,

что если

n 1

lim y

существует

lim

xn 1

то

yn 1

lim

xn 1

yn 1

6) Доказать, что lim

e .

n n!

lim

xn 1

7) Доказать, что если

0 , то

lim

n x

Доказать,

что

если

последовательность

сходится

0 ,

то

lim n x x x

lim x .

9) Доказать, что если

lim xn

, то

lim

10)

Пусть

числовая

последовательность

удовлетворяет

условию

. Доказать, что

lim

существует.

m n

3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Определение числовой функции

Определение 1. Пусть X и Y – произвольные множества действительных чисел. Если

на множестве X задано отображение

f , при котором каждому x

X соответствует действи-

тельное число y Y , то говорят, что на множестве

определена действительная функция

y f x

действительной переменной x . Множество X

называется областью определения, а

множество Y - множеством значений числовой функции f x .

Определим арифметические операции над функциями.

Определение 2. Пусть функции

f и g определены на множестве X R . Суммой f

называют функцию, значение которой для каждого x

X равно сумме значений функций f

g для этого значения x :

x .

Аналогично вводится понятие разности функций:

x .

Произведением функций f и g называют такую функцию fg на множестве X , что

x .

Если функция g задана на множестве

и не обращается на нем в нуль, то через

обозна-

чают такую функцию на X , что

Функцию

называют частным функций

f и

g и обозначают

. Таким образом,

Понятия суммы, разности, произведения и частного функций применяют и в том случае, когда данные функции имеют различную область определения. В этом случае их рассматривают на пересечении областей определения.

Пример 1. Пусть функция		f ставит в соответствие каждому числу x из		отрезка
4, 7 число x2	1, а функция g ставит в соответствие каждому числу x из отрезка			2, 10
число x3 . Найдем сумму этих функций.
Решение. Имеем 4, 7		2, 10	2, 7 . Функция f g ставит в соответствие каж-
дому числу x	2, 7 число x2 1	x3 .

Задать функцию - значит указать закон, по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение зависимой переменной из области значений функции.

Наиболее часто используются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Аналитический состоит в том, что с помощью формулы устанавливается алгоритм вычисления значения функции для каждого из значений аргумента x , областью определения функции в этом случае считается множество значений аргумента, при которых данная формула имеет смысл.

Пример 2. Найти область определения функции

1				1

f x	3x 6		7x	56	.
f x					.
	x2	3x		2

Решение. Это выражение имеет числовое					значение, если	3x 6 0 , 7x 56 0 и
x2 3x 2 0 . Иными словами,		для нахождения области определения надо исключить из R
корни уравнений 3x 6 0 ,	7x	56	0 и x2	3x 2	0 . Решая эти уравнения, получаем кор-
ни: -2, 8, 1, 2 и записываем область определения данной функции
x	, 2 2, 1 1, 2 2, 8 8,					.
В некоторых случаях функция задается на различных числовых множествах разными
выражениями, например
			x,	если x	0,
		f	x
			x2	1, если x 0,
или (функция Дирихле)
f	x	1, если x		рациональное число,
f	x

0, если x иррациональное число.

На практике часто удобным оказывается табличный способ задания функций, например, при экспериментальных измерениях, социологических опросах, при составлении отчетов банковской деятельности и т.д. На табличном способе задания, хранения и обработки информации основаны базы данных. В общем случае таблица имеет вид

x1	x2	x3		xn
f x1	f x2	f x3		f xn

Она позволяет находить значения функции для выбранных значений аргумента. Таким образом, таблица не задает функции, поскольку для задания функции надо знать ее значения для всех x X , а не только для некоторых. Существуют методы, позволяющие по такой таблице

подбирать выражение f x , разумеется, с определенной точностью.

При графическом способе соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика.

Определение 3. Графиком функции y	f x называется множество пар
x, y R R : x X , y f x .
Каждая пара x, y состоит из двух чисел,	а потому может быть изображена точкой M x, y

на координатной плоскости. Следовательно, график числовой функции может быть наглядно изображен множеством точек координатной плоскости. Это множество также принято назы-

вать графиком данной функции:

M x, y : x X , y f x .

Обычно графиком функции является некоторая линия. Однако, не всякое множество точек плоскости является графиком некоторой функции. Из определения функции следует, что

каждому значению x X соответствует только одно значение f x , а потому прямая, парал-

лельная оси ординат, может пересекать график функции не более чем в одной точке. Например, окружность не является графиком какой-либо функции, так как прямые, параллельные оси ординат, могут пересекать ее в двух точках; полуокружность на рис. 8, а является графи-

ком функции R2 x2 , а полуокружность на рис. 8, б – графиком функции

R2 x2 .

	y		y
		-R		R
-R	0	R x	0	x
	а)		б)
			Рис. 8

На практике строят не графики функций, а эскизы таких графиков. Для этого обычно составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют их линией. При этом предполагается, что график функции является достаточно плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции. Если эти предположения не выполняются, то построенный график будет сильно отличаться от истинного.

Пример 3. Построим график функции						1				.

						0,5 2
					x	0,5 2		0,1
Решение. Составляем таблицу значений функции для x											3, 4	с шагом 1.

	x	-3	-2	-1	0		1		2		3	4
	f x	0,10	0,16	0,42	2,86		2,86		0,42		0,16	0,10

Наносим полученные точки на плоскость и соединяем их плавной непрерывной линией. Получаем график, изображенный на рис. 9, а. Заметим, что этот график значительно отличается от истинного (рис. 9, б) в связи с большим значением шага таблицы.

4	4
3
2	2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x	-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
а)		б)
		Рис. 9
Не всякий график изображается непрерывной линией, например график функции
		1, если x	0,
	y sign x	0, если x	0,
		1, если x	0
имеет один разрыв (рис. 10), а график функции y x			- целая часть числа x - имеет беско-
нечное число разрывов (рис. 11).

y			y
1			2
			2

			1		1 2 3 x
			1
0	x	-2 -1 0
				-1
	-1				-2
					-2
		Рис. 10			Рис. 11

Встречаются функции, графики которых невозможно изобразить. Примером такой функции является функция Дирихле, определенная выше. Так как на сколь угодно малом отрезке числовой прямой имеются как рациональные, так и иррациональные точки, то график функции Дирихле не является линией. Он состоит из точек оси абсцисс с иррациональными абсциссами и точек прямой y 1 с рациональными абсциссами. Построить такой график не-

возможно.
Пусть известны графики заданных на	X	функций f и g .	Чтобы построить график
функции f g , достаточно для каждого x	X	сложить ординаты графиков этих функций.
Чтобы построить график функции f g , достаточно для каждого x			X перемножить ордина-
ты графиков функций f и g . При этом f g	обращается в нуль, если хотя бы одна из функ-
ций f , g обращается в нуль в данной точке. График функции a f			строят, деля a на ордина-
ты графика функции f . При этом в точках, где		f обращается в нуль, функция a f не опре-

делена. Обычно около этих точек график функции a f неограниченно удаляется от оси абсцисс.

	6x
Пример 4. Построим график функции y		.
	1 x2

Решение. Строим график функции x2 . Прибавляя к ординатам этого графика 1, получаем график функции 1 x2 . Выполняя деление числа 6 на ординаты последнего графика, по-

лучаем ординаты графика функции 1 x2 . Перемножая найденные ординаты и ординаты гра-

фика функции x , получаем искомый график. На рис. 12 изображено последовательное по-

строение графика функции y	6x
		.
	1 x2

6 1+x2

2
x
+
1
=	2
y	x
	=
	y

	x
=
y

-5 -4	-3	-2 -1 0			1	2 3 4	5 x
6x				-1
				-1

		-2
1+x
2			-3


			-4
			-4

Рис. 12

На практике применяются приборы, автоматически записывающие ход изменения некоторых величин с течением времени (осциллографы, термографы, сейсмографы и т.д.). Они задают графики этих величин как функции времени. Следует иметь в виду, однако, что это задание является лишь приближенным, так как получающаяся линия имеет некоторую толщину, и

потому значение

y , соответствующее данному значению t , определяется по графику лишь

приближенно.

Определение 4. Пусть числовая функция

x задана на множестве

X ,

а функция

- на множестве Y , и пусть

f x

Y . Тогда существует отображение g f

множества

R ,

задаваемое формулой

g f

. Это отображение является числовой

функцией, заданной на множестве X , и называется суперпозицией (композицией) функций или

сложной функцией.

Для математического анализа наиболее существенным является случай, когда функции

и g заданы своими выражениями f

и g

. В этом случае выражение функции g f

получается следующим образом: в выражении

каждое вхождение буквы

заменяется

выражением

x .

Пример 5. Найдем выражение для суперпозиций

g f и

f g ,

где

1 ,

x .

каждое вхождение буквы x на x3

1 , полу-

Решение. Заменяя в выражении

чаем выражение

1 для функции g f . Таким же образом получаем выражение

x 3

f g .

1 для функции

Может случиться, что множество значений выражения, задающего функцию

f , не яв-

ляется подмножеством области определения Y функции

g . Тогда выражение, полученное

подстановкой выражения для

f в выражение для g , определяет функцию g f

лишь для тех

x , при которых f

Y .

Пример 6. Найдем область определения функции g f , если g x

x2 .

x ,

Решение. Так как

имеет значение лишь при x

0 , то искомая область определения

функции g f

задается неравенством 4

0 . Из него находим, что x

2, 2 .

Определение 5. Функция, определенная на множестве Y значений функции

f , с обла-

стью значений, принадлежащей множеству

X , и ставящая в соответствие каждому элементу

его прообраз x :

y , называется обратной к

f функцией и обозначается через

1 .

Обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Если отображе-

ние f : X

является взаимно однозначным (см. п. 1.2), то обратная функция является од-

нозначной.

Обратная функция также является числовой функцией. Если известно выражение

функции

то

выражение

для

f 1

получают следующим образом. Пишут

уравнение

и решают его относительно x . При этом могут получиться несколько выражений. Из

них надо выбрать то, значения которого принадлежат множеству

X . Получают равенство

. Тогда

f 1

и будет выражением обратной функции. Обычно в этом выражении

заменяют

на x . Выражение обратной функции не всегда можно записать с помощью из-

вестных нам функций. Поэтому операция образования обратной функции может привести к расширению запаса функций.

Пример 7. Найдем обратную функцию для функции x2

4 , x

0 .

Решение.

Из уравнения y

4 находим

4 или

y 4 . Значениям

соответствуют значения

4 , где y

4 . Поэтому обратная функция задается

выражением

4 и определена на луче 4,

Если заменить y

на x , то получим

1 x

4 ,

x 4 . Графики прямой и обратной функции изображены на рис. 13.

Замечание. Если точка M x, y принадлежит графику функции f , то точка N y, x

принадлежит графику функции f 1 , и обратно, из принадлежности точки N y, x графику функции f 1 следует принадлежность точки M x, y графику функции f . Но точки M x, y

	x
=
y

	4

y=	x+

	-5 -4 -3 -2 -1-1	0	1 2 3 4 5 6 7 8	x
		0	1 2 3 4 5 6 7 8
			4
			4
	-2		2-
	-2		x
			x
			=
	-3		y
	-3		y
	-4
	-4
и N	y, x симметричны относительно прямой y x . Значит, графики функций f и f 1 сим-
метричны друг другу относительно прямой y x .
			Рис. 13
	На рис. 13 изображены графики взаимно обратных функций и показана их симметрия
относительно прямой y x .
	В заключение приведем теорему, используемую при нахождении обратных функций.
	Теорема. Пусть функция f непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке X и
f X	Y . Тогда существует заданная на Y обратная к f функция f 1 , причем эта функция
возрастает (убывает) и непрерывна на Y .

3.2.Свойства функций

1.Ограниченность.

Определение 1. Функция f , заданная на множестве X , называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует такое число M , что для всех x X выполняет-

ся неравенство

f x

M ( f

M ):

M R x X f x M f x M .

Определение 2. Функция

называется ограниченной на множестве X , если сущест-

вует такое M

0 , что

f x

M для всех x

X :

f x

M .

Пример 1. Докажем, что функция

ограничена.

Решение. Так как

то для любого x R выполняются неравенства

1 x2

1. Значит функция

ограничена на R .

При доказательстве ограниченности функций оказываются полезными следующие утверждения:

а) Если функция

ограничена на множествах X1

и X2 , то она ограничена и на объе-

динении X

X1 X 2

этих множеств.

б) Если функции

и g ограничены на множестве X , то их сумма f

и произведе-

ние

fg ограничены на X .

в) Если функция

ограничена на множестве X

сверху, то

ограничена на X сни-

зу.

г)

Если функция

положительна на

X и ограничена на X

снизу положительным

числом, то функция 1 f

ограничена на X .

Пример 2. Докажем,

что функции x3

5x2

3 и

ограничены на от-

x3 5x2

резке 0, 1 .

Решение. Функция x ограничена на

0, 1 , так как на этом отрезке выполняется нера-

венство 0

x 1. Постоянные функции

5 и

3 также ограничены на

0, 1 . За-

данную

функцию

можно

представить

как

сумму произведений ограниченных функций:

5x2

5 x

3 ,

тогда

по

утверждению

б)

функция

ограничена на

0, 1 . Так как значения функции x3

5x2

3 на

0, 1 не меньше, чем 3, и она ограничена,

то по утверждению г) функция

ограничена на

0, 1 .

5x2

Сформулируем теперь отрицания введенных понятий.

Определение 3. Функция f

- неограничена сверху на X :

;

- неограничена снизу на X :

;

- неограничена на X :

M .

Пример 3. Докажем, что функция

не является ограниченной на

0, 1 .

Решение. Возьмем произвольное M

0 и докажем,

что существует x

0, 1

, такое,

что

, т.е.

M . Это и будет означать неограниченность функции

на

0, 1

. Возь-

мем x

. Тогда

M . Неограниченность функции доказана. Заметим, что

1 (2M )

на любом интервале

, 1 , где

0 , эта функция ограничена: если 0

x , то

Пример 4. Докажем, что функция

x cos 2

x ,

, не ограничена.

Решение.

При x

n , n

N , имеем

n cos 2

n ,

и потому f

принимает

сколь угодно большие значения.

Если функция

ограничена на множестве

X , то множество ее значений на

X имеет

точную верхнюю и точную нижнюю грани. Их обозначают sup f

и inf f

. Индекс X

обычно опускают. Числа sup f

и inf f

могут как принадлежать, так и не принадлежать

множеству значений функции.

Пример 5. Для функции

sin x ,

R ,

имеем sup f

1, inf f

1 . Значе-

ния 1 и –1 принадлежат множеству значений функции.

Пример 6. Для функции

R , имеем sup f

1 , inf f

0 . Значе-

ние 0 функция принимает при x

0 . Значение 1 эта функция не принимает ни при каком x .

Но

среди значений

функции есть сколь угодно близкие к 1. Так, при

1000

имеем

f 1000

10002

. Это значение отличается от 1 меньше чем на 0,000004.

10002

1000004

			2. Монотонность
Определение 4.	Функция f		называется:
- возрастающей на X :	x1, x2	X	x1	x2	f	x1	f	x2 ;
- убывающей на X : x1, x2 X		x1	x2	f	x1	f	x2		;
- неубывающей на X :	x1, x2	X	x1	x2	f x1		f	x2	;
- невозрастающей на X : x1, x2		X x1		x2	f	x1		f	x2 .

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается (рис. 14), а ордината графика убывающей функции уменьшается (рис. 15).

			)
		x
	(
	f
=
y

y=f(x)

0 x1 x2 x	x1	0	x2	x
	Рис. 14			Рис. 15

Графики неубывающей функции (рис. 16) и невозрастающей функции (рис. 17) могут иметь «площадки».

		(x	)
		(x
y	=	f
y	=

x 0

Рис. 16

y = f ( x )

Рис. 17

Если функция возрастает (убывает, не возрастает,

не убывает) на

X ,

то говорят, что

она монотонна на X .

Пример 7. Докажем, что функция

возрастает на всей числовой прямой.

Решение. Пусть x1

x2 . Тогда

f x

x x2

x x

x2 .

Так как x

0 и

0, то f

0. Итак,

f x

f x .

Значит функция

f x

возрастает на всей числовой прямой.

Пример 8. Докажем, что функция

sin x возрастает на отрезке

;

Решение. Пусть

. Тогда

f x

sin x

2sin

cos

Так как x1

x2 ,

то

, а так как

, то

Значит,

, а потому cos

0 . С другой стороны, из x

получаем, что

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20223.72 Mб03253.pdf
#
15.11.20223.72 Mб13254.pdf
#
15.11.20223.74 Mб03256.pdf
#
15.11.20223.74 Mб453257.pdf
#
15.11.20223.75 Mб153258.pdf
#
15.11.20223.82 Mб33263.pdf
#
15.11.20223.82 Mб13264.pdf
#
15.11.20223.83 Mб13265.pdf
#
15.11.20223.83 Mб23266.pdf
#
15.11.20223.84 Mб23267.pdf
#
15.11.20223.85 Mб03268.pdf