3173
.pdfБ. Система обслуживания с ожиданием или без потерь
(замкнутая система массового обслуживания)
Вероятность того, что в системе занято k обслуживающих аппаратов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда очереди нет:
Рk = |
m! |
k Р0, |
(0 k n), |
(2.15) |
k!(m k)! |
где k– число требований; n – число обслуживающих аппаратов; m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно.
Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда есть очередь:
Рk = |
m! |
k Р0, |
(n < k m). (2.16) |
nk n (m k)! n! |
Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:
n |
m! |
|
m |
m! |
|
|
|
|
|||
Р0 = ( |
k + |
|
|
|
|
k)-1. (2.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k 0 k!(m k)! |
|
k n 1 nk n (m |
k)!n! |
|
|||||||
Введем обозначения для краткой записи ( k |
|
) и ( k |
), тогда |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р0 = ( k1 |
+ k2 )-1. |
|
|
|
(2.18) |
|||||
|
|
|
k 0 |
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т.е. средняя длина очереди
|
m |
|
|
М1 = |
(k n) Рk. |
(2.19) |
|
|
k n 1 |
|
|
Коэффициент простоя обслуживаемого требования в |
|||
ожидании обслуживания |
|
|
|
К1 = |
M1 |
. |
(2.20) |
|
|||
|
m |
|
50
Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, т.е. в очереди и в обслуживании
М2 =
Коэффициент простоя служивающей системе
К2 =
m |
|
k Рk. |
(2.21) |
k 1
обслуживаемого требования в об-
M 2 |
. |
(2.22) |
|
||
m |
|
Среднее число свободных обслуживающих аппаратов
|
n 1 |
|
|
М3 = (n k) Рk. |
(2.23) |
||
|
k 0 |
|
|
Коэффициент простоя обслуживающего аппарата |
|
||
К3 = |
M 3 |
. |
(2.24) |
|
|||
|
n |
|
Пример. Два рабочих обслуживают группу из 9 станков. В среднем каждый станок останавливается один раз в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования системы массового обслуживания.
Решение. n = 2, m = 9, = 1, Т обсл = 6 мин = 0,1 ч.,
= |
1 |
= 10, |
= |
|
= 0,1. |
|||
|
|
|
|
|||||
Т обсл |
||||||||
|
|
|
|
В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:
k = 0 – все станки работают, очереди нет;
k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет; k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;
k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;
…………………………..………………………………
k = 9 – два станка обслуживаются, семь в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.
Этим состояниям системы соответствуют вероятности:
Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р9.
51
0 =
3 =
Определим значения k |
для случая, когда очереди нет |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(0 k 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
9! |
0,1 = 1; 1 = |
9! |
|
0,11 |
= 0,9; 2 = |
9! |
0,12 = 0,36. |
|||||
|
0! 9! |
|
|
1! 8! |
|
|
|
|
2! 7! |
||||
Определим значения k |
для случая, когда очередь есть |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(3 k 9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9! |
|
0,13 |
= 0,126; … 9= |
9! |
|
0,19 = 0,0000014175. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
21 6! 2! |
27 0! 2! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:
Р0 = (2,43545)-1 = 0,4106.
Среднее число станков, стоящих в очереди:
9
М1 = (k 2) Рk = 0,098.
k 3
Это означает, что в среднем из 9 станков 0,098 простаивают в очереди на обслуживание.
Коэффициент простоя станка в очереди
К1 = 0,098 = 0,011. 9
Это означает, что в среднем каждый станок 1,1 % времени простаивает в очереди.
Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)
9
М2 = k Рk = 0,907.
k 1
Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 1 станок из 9 не будет работать.
Коэффициент простоя станка в системе обслуживания
К2 = 0,907 = 0,1008. 9
Это означает, что 10,08 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 9.
52
Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)
1
М3 = (2 k) Рk = 1,1907.
k 0
Это означает, что из двух человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 18,6 % времени.
Коэффициент простоя рабочего
К3 = 1,1907 = 0,595. 2
Это означает, что в среднем каждый рабочий 59,5 % рабочего времени простаивает без работы.
Результаты расчетов представлены в таблице 5.
Для автоматизации расчёта характеристик многоканальной замкнутой системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП
PRIMA. Выбор вида модели осуществляется в закладке Параметры и завершается нажатием кнопки Выбор (рис. 35).
Рис. 35. Выбор модели СМО
53
Таблица 5
|
|
Число требо- |
Число |
|
|
|
|
|
|
|
Число тре- |
ваний, ожи- |
|
|
|
|
|
||
|
свободных |
k1 и k2 |
|
|
|
|
|||
|
бований, |
дающих об- |
Рk= k Р0 |
(k-n) Рk |
k Рk |
(n-k) Рk |
|||
|
рабочих, |
||||||||
|
k |
служивания, |
n - k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k - n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
- |
2 |
1 |
0,4106 |
- |
- |
0,8212 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
1 |
0,9 |
0,3695 |
- |
0,3695 |
0,3695 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
2 |
- |
- |
0,36 |
0,1478 |
- |
0,2956 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
1 |
- |
0,126 |
0,0517 |
0,0517 |
0,1551 |
- |
||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
- |
0,0378 |
0,0155 |
0,031 |
0,062 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
- |
0,00945 |
0,00388 |
0,01164 |
0,0194 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
- |
0,00189 |
0,000776 |
0,003104 |
0,004656 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
- |
0,0002835 |
0,0001164 |
0,000582 |
0,0008148 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6 |
- |
0,0002835 |
0,0000116 |
0,0000696 |
0,0000928 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
7 |
- |
0,0000014175 |
0,0000005 |
0,0000035 |
0,0000045 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
- |
2,43545 |
- |
0,098 |
0,907 |
1,1907 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве исходных данных многоканальной замкнутой модели СМО следует ввести интенсивность входного потока требований и интенсивность обслуживания, число каналов обслуживания и число источников требований (максимально возможное число заявок в системе (рис. 36).
Рис. 36. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму
Результаты расчёта характеристик замкнутой многоканальной системы массового обслуживания представлены на рис. 37.
55
Рис. 37. Расчёт характеристик замкнутой СМО
56
Принятие решения о выборе оптимальной системы массового обслуживания требует многократного расчёта параметров системы массового обслуживания при изменении значений исходных данных. Выбор оптимального (рационального) варианта осуществляется согласно принятому критерию эффективности. Так, величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования (заявки) имеет вид
|
|
n |
|
|
|
|
С |
С |
|
C |
t |
|
min , |
|
||||||
|
об |
оч |
|
оч |
|
где С - величина затрат, связанных с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; n – число каналов обслуживания; - интенсивность входного потока, заявок/час; Соч – издержки, связанные с пребыванием в очереди одного требования, ден.ед./час; tоч – среднее время ожидания в очереди, час; Соб – затраты на содержание обслуживающего устройства (канала).
Тема 3. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
В результате изучения данной темы студенты должны: знать:
-область применения моделей межотраслевого баланса в экономике;
-основные понятия моделирования межотраслевого баланса;
-методы решения задач межотраслевого баланса;
уметь:
-формулировать постановку различных задач межотраслевого баланса;
-находить решение задач межотраслевого баланса;
-давать экономическую интерпретацию полученных результатов решения задач межотраслевого баланса;
-применять методы межотраслевого баланса для решения практических задач;
57
владеть:
-математическим аппаратом межотраслевого баланса;
-практическими навыками формулирования и решения задач межотраслевого баланса, в том числе с помощью ЭВМ.
Важнейшим условием нормального развития национального хозяйства является сбалансированность общественного производства на всех уровнях. Эффективным аппаратом для определения сбалансированных пропорций развития являются балансовые модели производства и распределения продукции. Использование балансовых моделей помогает органам государственного управления экономикой способствовать предупреждению возникновения диспропорций в развитии отраслей национальной экономики.
Балансовые модели составляются для экономических систем разных уровней. Например, на уровне национального хозяйства используется модель межотраслевого баланса производства и распределения продукции, а на уровне предприятия – модель межпродуктового баланса.
Суть балансовой модели состоит в том, что затраты должны компенсироваться доходами. Данный метод позволяет для каждой отрасли определить количество продукции, которое она должна выпустить, чтобы удовлетворить потребность всех других отраслей, включая непроизводственную сферу и потребности внешней торговли. Рассмотрим балансовую модель в стоимостном выражении.
Характеристика основных разделов и схема межотраслевого баланса
При составлении межотраслевого баланса (МОБ) заполняется специальная таблица, которая имеет четыре раздела и отражает движение продукта из одной отрасли в другую в процессе его производства и распределения. Табл. 6 МОБ имеет следующий вид.
58
Таблица 6
Межотраслевой баланс
|
Отрасли- |
|
Отрасли-потребители |
Общий производ- |
Конечный |
Валовой |
||||||
|
|
1, 2 … j … n |
|
|||||||||
|
производители |
|
|
ственный выпуск |
продукт |
выпуск |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Промежуточный продукт |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x11 |
x12 … x1j … x1n |
n |
X |
|
|
y1 |
x1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
j 1 |
1j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x21 |
x22 … x2j … x2n |
n |
|
|
|
y2 |
x2 |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
j 1 |
X |
2 j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
… |
|
…………………….. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i |
|
xi1 |
xi2 … xij … xin |
n |
|
|
|
yi |
xi |
||
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
X |
ij |
|||
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
… |
|
…………………… |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
x x … x … x |
nn |
n X |
|
|
y |
x |
|||
|
|
|
n1 |
|
n2 nj |
j 1 |
|
nj |
n |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Общее производ- |
n |
n |
|
n |
n |
n n |
|
|
n |
n |
|
|
ственное потребле- |
Xi |
Xi |
… Xij … Xin |
Xij = Xij |
__ |
||||||
|
|
|||||||||||
|
ние |
1 |
|
|
2 |
|
j 1 i 1 |
|
|
i 1 j 1 |
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|||
|
Добавленная |
|
Z1 |
|
Z2 … Zj … Zn |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
__ |
|
|
Z j = Yi |
__ |
|||||
|
стоимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Валовый |
|
X1 |
X2 … Xj … Xn |
|
|
|
|
n |
n |
||
|
|
__ |
|
|
|
X j = Xi |
||||||
|
выпуск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|