3011
.pdfРис. 4.7.
4) Приближение к контрольным пределам.
Рассматриваются точки, которые приближаются к 3-сигмовым контрольным пределам, причем если 2 или 3 точки оказываются за 2-сигмовыми линиями, то такой случай надо рассматривать как ненормальный (рис. 4.8).
Рис. 4.8.
5) Приближение к центральной линии. Когда большинство точек концентрируется внутри центральных полуторасигмовых линий, делящих пополам расстояние между центральной линией и каждой из контрольных линий, это обусловлено неподходящим способом разбиения на подгруппы. Приближение к центральной линии вовсе не означает, что достигнуто контролируемое состояние, напротив, это значит, что в подгруппах смешиваются данные из различных распределений, что делает размах контрольных пределов слишком широким. В таком случае надо изменить способ разбиения на подгруппы (рис. 4.9).
31
Рис. 4.9.
6) Периодичность. Когда кривая повторяет структуру «то подъем, то спад» с примерно одинаковыми интервалами времени, это тоже ненормально (рис. 4.10).
Рис. 4.10.
4.5. Границы регулирования для контрольных карт
Сравнительно простым и наиболее эффективным статистическим инструментом, с помощью которого при управлении качеством осуществляются непосредственно регулирование технологического процесса, приемочный и входной контроль качества продукции, является контрольная карта [2].
При построении контрольных карт первостепенное значение имеет правильный выбор нижней и верхней границ допустимого изменения контролируемого параметра качества (границ регулирования для контрольных карт).
32
При гауссовском законе распределения в пределах трехсигмовых границ лежит 99,73% всех значений контролируемого параметра качества. Отсюда следует, что почти все средние, вычисленные по результатам выборок из генеральной совокупности с математическим ожиданием М(х) и стандартным отклонением σ, приходятся на участок с
границами М(х) ± 3σ/n . Эти две границы называют
границами регулирования контрольной карты для средних x
(х-карты): М(х) + 3σ/n — верхняя граница (уровень)
регулирования; М(х) — 3σ/n — нижняя граница (уровень). Следует отметить, что существует три варианта оценки
качества изготовления изделия: по измеряемым соответствующими приборами параметрам, характеризующим качество изделий (размеры, массу, электрические характеристики и т. д.); по доле бракованных изделий в процентах; по числу дефектов различных контролируемых параметров на единицу продукции. Соответственно этому различают контрольные карты и выборочные планы по количественным признакам или по числу дефектов на единицу продукции.
На контрольную карту наносятся обычно три линии: средняя и две крайние, представляющие собой верхнюю и нижнюю границы регулирования. По оси ординат откладываются значения контролируемого параметра, а по оси абсцисс — номера выборок.
Вычисление границ регулирования для x-карты.
Если известны математическое ожидание и стандартное отклонение контролируемой генеральной совокупности (эти параметры обычно задаются в документации на технологический процесс), то верхняя и нижняя границы
регулирования для x-карты или доверительной вероятности 0,9973 откладываются от математического ожидания (средней
линии) на расстоянии 3σ/n . Итак,
33
M(x) 3 M(x) A KB n
— верхняя граница регулирования, а
M(x) 3 M(x) A KH
n
— нижняя граница регулирования.
Значения коэффициента А = 3/n .
Если математическое ожидание генеральной совокупности неизвестно, то для построения средней линии находят оценку, математического ожидания — общую
среднюю арифметическую |
x , вычисляемую по k значениям |
|||||||
выборочных средних |
|
i : |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
k |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
x |
i. |
|
|||
|
k |
(4.7) |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
В этом случае из текущего процесса отбирают как можно больше выборок (к≈20...30) объемом п.
Если неизвестно стандартное отклонение σ генеральной совокупности, то его можно оценить с помощью среднего
выборочного значения s по формуле (4.17, [2]), т. е.
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
A |
|
, |
|
|
|
|
s |
s |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
C2 |
n |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где A1 3/(C2 n).
34
По известным s и С2 легко вычисляются границы регулирования
для x-карты:
KB x A1s;KH x A1s.
Коэффициент А1 зависит от объема выборки.
Как отмечается в § 4.4 [2], неизвестное стандартное отклонение σ генеральной совокупности можно оценить с помощью средней величины размаха R. С учетом (4.22 [2]) имеем
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
d2 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где А2 = |
3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
регулирования для |
|
-карты |
|||||||||||||||
Тогда |
границы |
|
x |
вычисляются следующим образом:
KB x A2 R,KH x A2 R.
Значение А2 находят по табл. 7 Приложения [2] в зависимости от объема выборок п. Пользоваться табл. 7 Приложения для определения значений коэффициентов А1 и А2 можно только в случае установлений трехсигмовых
границ регулирования x-карты. Если на контрольные карты наносят границы регулирования, которые базируются на доверительной вероятности 0,9973, то в коэффициентах А1 и А2 число 3 (соответствующее трехсигмовым границам регулирования) заменяют соответственно другим числом. Как следует из табл. 1 Приложения [2], для функции Ф(α) это число при доверительной вероятности, например 0,9544, равно 2, что
35
соответствует двухсигмовым границам регулирования x - карты.
Чтобы получить более полное представление о ходе
производственного процесса, наряду с x-картой ведут либо s-карту, с помощью которой непрерывно контролируют стандартное отклонение, либо R-карту для контроля размахов выборок. При этом создание контрольных карт обычно начинают с изготовления карт для стандартных отклонений или размахов, а не с контрольных карт для средних, ибо к моменту начала контроля производства имеется мало исходных данных (или вообще не имеется) для оценки с и, следовательно, для создания х-карты.
Вычисление границ регулирования для s- и R-карт. Эти карты строятся так же, как и x-карта. Вначале наносят на карту
среднюю линию, соответствующую среднему значению s или R, а затем проводят параллельно средней линии верхнюю и нижнюю границы регулирования с требуемой доверительной вероятностью.
Если генеральная совокупность, из которой сделаны выборки, распределена по закону Гаусса, то при достаточно большом числе п стандартное отклонение σc распределения s связано со стандартным отклонением σ генеральной
совокупности соотношением s /n , или с учетом (4.14 [2])
ss C2 2n
Среднюю линию и границы регулирования s-карты вычисляют следующим образом.
36
Если значение σ генеральной совокупности известно,
то среднее значение s для s -карты равно C2σ. В этом случае границы регулирования
K |
|
|
|
3 |
|
C |
|
3 |
|
|
C |
|
3 |
; |
||
|
s |
|
||||||||||||||
B |
s |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
KH s 3 s C2 |
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
2n |
|
|
или |
KB B2 ;KH |
B1 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(4.8) |
|||||||||||||
|
B |
C |
|
|
|
3 |
;B |
C |
|
|
|
3 |
. |
|||||
где |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
Если значение σ генеральной совокупности неизвестно, то сначала нужно вычислить с помощью
коэффициента С2 и среднего значения |
|
|
s |
|
оценку |
σ. |
Тогда |
|||||||||||||||||||
границы регулирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
KB s 3 s s |
2n |
|
s |
|
|
s |
|
1 |
|
|
|
|
s; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 2n |
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
K |
H |
s 3 |
s |
1 |
|
|
|
s; |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2n |
или
KB B4 s;KH B3s, |
(4.9) |
где
37
B 1 |
3 |
|
;B 1 |
3 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
С 2n |
4 |
|
С |
2 |
|
2n |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения коэффициентов B1 ,В2 |
,В3 , |
В4 приведены в |
табл. 7 Приложения [2], по которой они определяются в зависимости от объема выборок только при трехсигмовых границах регулирования s-карты.
При n, меньшем 25, коэффициенты B1 ,В2 ,В3 , В4 по следующим формулам:
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n 1) 2 C2 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B2 C2 |
|
|
|
|
|
|
|
2(n 1) 2 C22 ; |
(4.10) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n 1) 2 C22 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C2 |
|
|
2n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n 1) 2 C22 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C2 |
|
|
2n |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом учитывается асимметричность распределения, увеличивающаяся по мере уменьшения объема выборки.
Распределение размахов R выборок одинакового объема асимметрично, так как размах является положительной величиной и теоретически может принимать какое угодно значение. При малых объемах выборок s и R связаны тесной корреляционной зависимостью. Вследствие этого стандартное отклонение σR распределения размахов можно вычислить из стандартного отклонения а генеральной совокупности с помощью коэффициента, зависящего от п:
R b2 . |
(4.11) |
38
Значения коэффициента b2 приведены в табл. 7 Приложения [2].
Если известно значение σ генеральной совокупности, то среднее значение размахов, представляющее собой среднюю линию R-карты,
R d2 , |
(4.12) |
а границы регулирования
KB R 3 R d2 3b2 (d2 3b2) ;
KH R 3 R (d2 3b2 ) ;
или |
KB D2 ;KH D1 , |
|
|
(4.13) |
|
где |
D1 (d2 3b2);D2 (d2 |
3b2). |
Если значение σ генеральной совокупности неизвестно, то его оценку вычисляют по R с помощью (4.22) или (6.5) [2]. В этом случае границы регулирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
KB |
R 3 R |
R 3b2 R 3 |
|
R 1 3 |
R; |
||||||||||||
d2 |
d2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
KH R 3 R 1 3 |
R; |
||||||
d2 |
|||||||
|
|
|
|
или
KB D4 R;KH D3 R,
(4.14)
где
D 1 3 |
b2 |
;D |
4 |
1 3 |
b2 |
. |
|
|
|||||
3 |
d2 |
|
|
d2 |
||
|
|
|
|
Значения коэффициентов D1 ,D2 ,D3 , D4 приведены в табл. 7 Приложения [2]. Они зависят, как и b2 и d2, от
39
объема выборки п и действительны, если генеральная совокупность имеет гауссовское распределение или хотя бы приближается к нему.
Так как при малых объемах выборок распределения стандартных отклонений s и размахов R являются асимметричными, то при уменьшении п до 5...6 изделий получаются отрицательные значения для нижних границ регулирования. Поэтому при малых объемах выборок коэффициенты B1 ,В3, D1 ,D3 приравниваются нулю, а за нижние границы регулирования s- и R-карт принимаются их средние линии.
Несмотря на асимметричность распределений s и R, при небольших объемах выборок в большинстве случаев на практике пользуются формулами, выведенными для гауссовского распределения, поскольку точные формулы сложны для расчетов. Хотя в таких случаях и неизвестна вероятность того, что контрольная точка попадет за границы регулирования, но очевидно, что для статистически управляемого процесса эта вероятность очень мала [2].
Отметим, что между поведением средних и стандартных отклонений или размахов выборок, сделанных из гауссовской генеральной совокупности, отсутствует взаимосвязь систематического характера. Следовательно, контрольные карты для средних и стандартных отклонений или размахов независимы. В то же время s-и R-карты зависимы вследствие корреляционной связи между s и R, которая является тесной при малых объемах выборок [2].
40