Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

точку ω0 , лежащую выше прямой y =14 , то приходим к выводу: круг z + 2i < 2 отображается на полуплоскость

Im z >14 .

Образ границы z + 2i = 2 можно было найти и другим способом, показанным на следующем примере.

Задача 8.15. В какую область переходит круг z +i < 3

при отображении ω =1 z ?
Решение. Найдем образ окружности	z +i = 3.

Поскольку z = 0 не принадлежит этой окружности, то ни одна из ее точек не перейдет в ω = ∞. Значит, образом будет окружность конечного радиуса. Для отыскания ее центра и


радиуса		положим				z = x +i y ,			ω = u +i υ и представим
уравнение			z +i		= 3 в виде			2	= 9 , x 2 + y 2 + 2 y −8 = 0 .

	x +i u +1			= 3	, или	x 2 +	y +1

	(	)				(	)

Равенство ω =1 z дает z =1ω , или

1u −i υ

x+i y = u +i υ = u 2 +υ2 ,

Подставим эти выражения в уравнение окружности:

1		2 υ	−8 = 0 , 8(u	2	2	)+ 2υ−1= 0 ,
	+				+υ
u 2 + υ2	+	u 2 + υ2			+υ

u 2 +υ2 + υ4 −18 = 0 .

Дополним выражение υ2 +υ4 до полного квадрата:

2 2 υ	1 2	1	1 2		2		1 2	9
u +υ + +
u +υ + +		− −		= 0 ,		υ+		= .
4		8						64
4	8	8	8				8	64

211

Итак,

окружность

z +i

= 3

переходит в

окружность с

центром ω0 = (0,−1 8)

радиусом

R = 3 8 .

Точка

z → 0 ,

лежащая внутри круга

z +i

< 3 ,

переходит в точку

ω = ∞.

Значит, при отображении ω =1 z

круг

z +i

< 3 переходит во

внешность круга с центром ω0 = −i

и радиусом

R = 3 8 .

Это множество можно задать неравенством ω0 +i 8 > 3 8 .

Задача 8.16. Найти конформное отображение

ω = f (z)

круга

на круг

<1 ,

удовлетворяющее

условиям

ω(−i

2)= 0 ,

arg ω′(−i 2)= π 4 .

Указать

коэффициент

растяжения в точке z0 = −i 2 .

Решение. В примере 4.8 было показано, что дробно-

линейная функция, отображающая круг

<1 на круг

<1 ,

имеет вид (формула (4.10)):

ω = eiϕ

z −z0

1−z0 z

где z0 — точка, переходящая в точку ω = 0 . В нашем случае z0 = −i2 . Осталось определить значение ϕ, которое найдем из условия arg ω′(−i2)= π4 :

	iϕ		(		0	)		(					0 )(				z −z		0 )				iϕ			0			z
ω′(z)= e		1 1−z				z		− −z									z −z				= e					1−z			z			.
ω′(z)= e							1−z				z	)		2							= e				1−z			z		)	2	.
						(		0				)												(		0				)
Учитывая, что z z0 =				z0			2 , при z0									= −i			2		получаем
Учитывая, что z z0 =				z0			2 , при z0									= −i			2		получаем
ω′(z			0 )= e		iϕ			1−		z0					2			= e	iϕ	1							,
					iϕ			1−		z0					2				iϕ	1

							(1−		z0					2 )		2				1−		z0			2
																2									2

212

			i		iϕ	1		4		iϕ
				= e			=		e .
ω′	−			= e			=		e .
						1−1 4		3
			2			1−1 4		3
Отсюда следует, что		)					(				)
(		)	= 4 3 ,				(			2	)	= ϕ.
ω′ −i 2			= 4 3 ,			arg ω′ −i				2		= ϕ.

Значит, коэффициент растяжения в точке −i2 равен 43 , и ϕ= π4 . Искомым отображением является функция

ω = ei π 4	z +i 2	= ei π 4	z +i 2

1−i 2 z		1+i z 2

(мы использовали равенство i = −i ).

Задача 8.17. Найти конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на круг ω <1 , удовлетворяющее

условиям ω(2i)= 0 , arg ω′(2i)= π. Указать коэффициент растяжения в точке z0 = 2i .

Решение. В примере 4.7 было показано, что конформное отображение верхней полуплоскости на единичный круг имеет вид

ω = eiϕ z −z0 . z −z0

Определим параметры z0 и ϕ. Поскольку z0 — точка, переходящая в точку ω = 0 , то z0 = 2i . Для определения ϕ найдем ω′(z0 ):

ω′(z)= e	iϕ 1 (z −z		0 )−1 (z −z0 )		= e	iϕ z0 −z0		,

		(z −z0 )		2		(z −z0 )	2
		(z −z0 )				(z −z0 )

213

ω′(z

0 )= e

iϕ

z0 −z0

= e

iϕ

(z0 −z0 )

−z0

Поэтому

ω′(2i)=

eiϕ

i eiϕ

iπ

i π

iϕ

i(3π 2+ϕ)

= 4i = −

4 =

4 e

2i + 2i

(мы использовали равенства −1= ei π , i = ei π 2 ). Отсюда

ω′(2i)

, arg ω

′(2i)=

3π

+ϕ,

= −

= 4

2 +ϕ , т.е. π

2 .

Итак, искомое отображение дается функцией

−iπ 2 z −2i

z −2i

ω = e

= −i

z + 2i

Коэффициент растяжения в точке 2i равен ω′(2i) =1 4 .

Задача 8.18. Найти конформное отображение полосы, заключенной между прямыми y = x +1 и y = x +3 (рис. 8.7),

на единичный круг.

Решение. 1) С помощью линейной функции ω = a z +b

отобразим	данную полосу на полосу −∞< x < +∞,
0 < y < π.	Исходная

полоса имеет ширину 2 . Чтобы отобразить ее на полосу шириной π, сделаем преобразование подобия с

	коэффициентом	π	2 .	Это
	преобразование задается функцией
	ω1 = π z 2 . Точка		A(−1 2, i 2)
	перейдет		)	в
	(		)
Рис. 8.7	A1 −π (2 2), π	(2 2) .
Рис. 8.7

214

Затем повернем полученную полосу на угол π4 по

часовой стрелке, чтобы она стала параллельной оси OX . Это преобразование запишется в виде

ω2 = ω1e−i π 4 = π2z e−i π 4 .

Точка A1 (−π(2 2), π(2 2)) перейдет в A2 (0, π2).

Наконец, сделаем параллельный перенос на вектор A2O :

ω3 = ω2 −i2π = π2z e−i π 4 −i2π .

Вместо точки A(−12, i2) можно было взять любую другую точку на прямой y = x +1 (например, точку (0,1) ). Используя

равенство e−i π 4 =1	2 −i		2 можно записать полученное
преобразование в такой форме:
		π 1−i		)
ω	3 =		(		z −i π .
			2
				2

2)Отобразим полученную полосу на верхнюю

полуплоскость	Im z > 0 .	Было показано, что показательная
функция ω =e z	отображает полосу 0 < Im z < π на верхнюю
полуплоскость.	Поэтому	нужным преобразованием будет
ω4 =e ω3 .

3)Отобразим верхнюю полуплоскость на единичный

круг	с		помощью	дробно-линейного	отображения
ω = eiϕ	z −z	0	, Im z0 > 0 . Поскольку никаких дополнительных
ω = eiϕ	z −z	0	, Im z0 > 0 . Поскольку никаких дополнительных
	z −z	0

условий не задано, то параметры ϕ и z0 с Im z0 > 0 можно

215

выбрать произвольно. Например, возьмем ϕ0 = 0 , z0 = i .

Тогда получим ω = ω4 −i .

ω4 +i

4) Искомое отображение будет композицией указанных выше отображений:

π 1−i

)

(

iπ

ω3

exp

−

−i

ω4 −i

−i

ω =

ω3

π 1−i

)

(

iπ

exp

−

Задача 8.19. Найти все значения степени (− 3 +i)−6i .

Решение. Согласно определению общей степенной функции

(− 3 +i)−6i = e−6i Ln(− 3+i) .

Значения логарифма найдем по формуле:

Ln(− 3 +i)= Ln		− 3 +i	+i(arg(− 3 +i)+ 2πk);

− 3 +i	= (− 3)2 +1 = 2 ; cosϕ= −			3	, sin ϕ=	1	,

				2		2

где ϕ= arg(− 3 +i). Поэтому ϕ лежит во второй четверти. Следовательно, ϕ= 5π6 . Получаем

(− 3 +i)−6t =

216

= exp −6i ln 2 +i 56π + 2πk = exp(5π+12πk −i6 ln 2)=

(	)
= exp(5π+12πk) cos(6ln 2)−i sin(6ln 2) , k ].
Мы получили, что данная степень	(− 3 +i)−6i имеет

бесконечное множество значений. Все эти значения лежат на одном луче, идущем под углом θ = −6 ln 2 к оси OX . Модули этих значений образуют две геометрические прогрессии с

первым членом	b = e5π	и знаменателями q = e12π	при
	1

k =1, 2,3,... , и q = e−12π при k = −1,−2,−3,...

Задача 8.20. Найти все значения функции

Arc cos(−5i).

Решение. По формуле (4.3)

Arc cos(−5i)= i Ln(−5i + (−5i)2 −1)= i Ln(−5i + −26)=

(	)
= i Ln(−5i ±i 26)= i Ln i(−5i ± 26) .
Мы пишем ± перед 26 , поскольку под корнем	из

положительного числа обычно понимается арифметическое значение корня, в то время как под корнем в формуле (4.3) подразумевается двузначная функция. Рассмотрим каждый из знаков перед корнем отдельно:

	i(−5i + 26)	= 26 −5 =( 26 +5)−1		(		)
			,	arg i(−5 +		6) = π 2
(мы воспользовались равенством (			26 −5)(		26 +5)=1). По
формуле (4.5)

217

(

)

+ 2πk)=

i Ln i(−5

+ 26)

= i ln( 26 −5)−(π 2

= −i ln( 26 +5)−(π 2 + 2πk), k ].

Аналогично,

i(−5− 26)

(

)

26 +5 ,

arg −i(

26 +5)

= −π 2 ,

(

)

(

)

i Ln −i

)

(

2 +

2πk

)

26 +5 = i ln 26 +5 − −π

= i ln( 26 +5)+(π 2 + 2πk), k ].

Мы пишем +2πk вместо −2πk , поскольку k

пробегает все

множество целых чисел. Окончательно получаем

(

)

(

)

, k = 0,±1,±2,...

Arc cos −5i

= ± π 2

+ 2πk +i ln 26 +5

Можно было рассмотреть только один случай и воспользоваться общим замечанием, сделанным в п.4.3, согласно которому изменение знака перед корнем приводит к

изменению знака перед логарифмом Ln(z +									z 2 +1).
Задача	8.21.	Найти			все		значения			функции
Arctg −2 3 +3i .
3
Решение. По формуле (4.4) при z = (−2									3 +3i)	3 имеем
	Arctg z =	1	Ln	i −z	=	1	Ln		2 3	;
	Arctg z =	2i	Ln	i + z	=	2i	Ln	−2 3 + 6i		;
		2i		i + z		2i		−2 3 + 6i

218

2 3

−1−i 3 ;

−2 3 + 6i

−1+i 3

−1−i 3

;

arg −1−i

3 = ϕ= −2π .

= 1

1+i

Равенство

для

ϕследует

из

того,

что

sin ϕ= − 3

2 ,

cosϕ= −1 2 . Отсюда получаем

−2 3 +3i

1 1 2π

Arctg

+i −

+ 2πn =

= −π

+ πn +

= −

π + πn +

ln 2 ,

n = 0,±1,±2,...

Интегрирование функций комплексного

переменного.

Задача 8.22. Вычислить интеграл от функции

f (z)= z 2

по

кривой

Γ,

являющейся

ломаной

ABC ,

где

(

)

A −1, 0

(

)

(

)

B 0,1

, C 1, 0

Решение. 1) Зададим кривую уравнением вида

( )

, α≤t ≤β.

z = z t

= x t

+i y t

Поскольку кривая состоит из двух участков — отрезков AB и BC , задаваемых разными уравнениями, то рассмотрим каждый из них отдельно.

219

	Участок		AB	можно	задать		уравнением			y = x +1,
−1≤ x ≤0		или,		в параметрической				форме,		( )	= t ,
										x t
( )			( )	(		)
y t	= t +1, т.е. z t			= t +i t	+1 , −1≤t ≤0 .
	Участок		BC задается уравнением y = −x +1,							0 ≤ x ≤1.
Параметрическими				уравнениями			отрезка		BC	являются
( )	( )				( )		(	)	, 0 ≤t ≤1 .
x t	= t , y	t	= −t +1, или z t			= t +i −t +1

2) Найдем интеграл по кривой Γ по формуле

∫ f (z)dz = ∫ f (z(t))z′(t)dt .

Γα

Для этого перейдем к сумме интегралов по участкам AB и BC и вычислим каждый из них в отдельности.

Для участка AB

									( )			=1+i ;
									z′		t	=1+i ;
∫		∫(				)	2 dz =	0							2	z′ t
	z 2dz =		x	−i y			2 dz =		t −i t +1						2	z′ t		dt =
								∫(			(			))			( )
Γ1		Γ1						−1
				0			−2it t +1 − t +1 2
		=			t 2		−2it t +1 − t +1 2									1+i			dt =
				∫(			(		)		(			) )(			)
				−1
					0	(	2t 2 −1+i(−2t 2										)
					∫	(											)
				=										−4t −1) dt						=
					−1
		2t 2					2t		3				2			0				1 i
		2t 2					2t		3							0				1 i

					−t					−2t							= −				+		.

		=		3			+i −	3						−t						3		3
				3				3								−1				3		3

Для участка BC

z′(t) =1−i ;

220

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]