2894

Второе равенство в (3.1) получается, если принять по

z2 = x2 +iy2 Применяя (3.1) и (2.15), получим

ez1 ez2 = ex1 eiy1 ex2 eiy2 = ex1 ex2 eiy1 eiy2 = ex1 +x2 ei( y1 +y2 ) = ez1 +z2 .

Докажем, что функция ez будет аналитической во всей комплексной плоскости . Для этого надо проверить выполнимость условий Коши—Римана. Если ω = u +iv , то в

∂∂ux = ∂∂yv = ex cos y, ∂∂uy = − ∂∂vx = −ex sin y.

Таким образом, условия (2.4) выполнены, и аналитичность функции ez доказана. Чтобы вычислить производную (ez )′,

воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:

Следующее свойство функции ez не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного:

функция ez является периодической с чисто мнимым периодом 2πi . В самом деле, для любого целого n

71

ez+2πni = ex (cos ( y +2πn) +i sin ( y +2πn)) = ex (cos y +i sin y) = ez

.

Из периодичности функции ω = ez следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна,

содержала никакой пары точек, для которой справедливо (3.2). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2π , например полосы

{z : −∞ < x < ∞, 2πk < y < 2π(k +1)}, k = 0, ±1, ±2,…

Каждой такой полосе соответствует совокупность значений

переменного ω с разрезом по действительной положительной

функция ez отображает в углы 0 <θ < h . В частности, полоса 0 < Im z <π переводится в верхнюю полуплоскость.

72

Рис. 4.7

2. Логарифмической функцией называется функция,

обратная показательной.

Так как показательная функция ez не является однолистной в , то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция

обозначается Ln z . Таким образом, если ω = Ln z , то z = eω .

Положим

ω = u +iv, z = reiϕ = rei Arg z .

Тогда

rei Arg z = z = eω = eu+iv = eueiv .

Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что

натуральный логарифм положительного числа r . Второе равенство в (3.3) дает v = Arg z . Таким образом,

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и ∞, формула (3.4) ставит в соответствие бесконечное множество значений

73

Ln z , отличающихся друг от друга на величину 2πki , где k — любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z +2πk, −π < arg z ≤π ,

где arg z — главное значение аргумента. Тогда формула (11.4) примет вид

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной

однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой

области как функция, обратная аналитической функции ez . Таким образом, для каждого фиксированного к формула (3.5) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z .

Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с

разрезом по отрицательной полуоси в полосу

−π +2πk < Im ω <π +2πk .

Ветвь, которая получается при k = 0 , обозначается ln z и

называется главным значением многозначной функции Ln z : ln z = ln z +i arg z .

Например, ln i = ln1+iπ 2 = iπ 2 ; ln(−i) = ln1−iπ 2 = −iπ 2 .

Если приближаться к точке z = −1 по верхней полуплоскости

y > 0 , то lim l(−1+iy) = ln1+iπ = iπ ; если по нижней, — то

y→0+0

lim l(−1+iy) = ln1−iπ = −iπ .

y→0−0

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z , возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов")

плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 26. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ∞, располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и ∞ функция Ln z

не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0

и z = ∞ называются точками ветвления бесконечного порядка.

74

Рис. 4.8 наглядно демонстрирует причину того, что

предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом в к оси ОХ. Тогда регулярные ветви

будут задаваться следующей формулой: при z = eiϕ

Ln z = ln r +i(ϕ +2πk), θ <ϕ <θ +2π .

Формула (3.5) является частным случаем при θ = −π . В заключение данного параграфа покажем, что производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по

формуле

f ′(z) = 1z

аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится

из равенства (ez )′ = ez и формулы (3.2) производной обратной функции. Действительно, обратной к ω = f (z) будет функция

z = eω . Отсюда получаем

f ′(z) = g′(1ω) = (e1ω )′ = e1ω = 1z .

75

4.4. Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского

1. Общая степенная функция ω = za , где a =α +iβ —

фиксированное комплексное число, определяется соотношением

принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при β ≠ 0 функция zα будет бесконечнозначной.

Пример 4.6. Найти все значения функции ω = zi в точке z =i .

Решение. Поскольку Lni = ln1+i(π2 +2πk) , то

ii = ei ln i = ei2 (π 2+2πk ) = e−π 2−2πk , k = 0, ±1, ±2,…

В данном случае все искомые значения функции оказались действительными.

При β = 0 получаем

za = eα ln r eiα (ϕ+2πk ) .

(4.1)

Отсюда следует, что значения степенной функции отличаются лишь аргументами θk =α(ϕ +2πk) . Если α — рациональное

число, т.е. оно представимо несократимой дробью α = mn (m и

n — целые числа), то среди θk имеется лишь n значений, определяющих различные значения zα :

76

При k = n, n +1,… мы получим значения θk , отличающиеся от уже известных на числа, кратные 2π . Значит, для таких значений k мы не получим новых точек zα . Итак, при a = mn формула (4.1) дает (мы пользуемся также равенством

k = 0,1, 2,…, n −1.

Сравнивая эту формулу с (2.12) мы видим, что

zmn = n zm .

Итак, для рациональных показателей a функция za является

и, следовательно, α — рациональное число, что противоречит сделанному предположению.) Поэтому для иррациональных

показателей a функция za бесконечнозначна. Ее риманова поверхность такая же, как и риманова поверхность логарифма.

Общая степенная функция ω = za в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь

ealn z = ea(ln z +i arg z) ,

выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В

77

силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства

(za )′ = (ea f ( z) )′ = ea f ( z) af ′(z) = za a 1z = aza−1 ,

где f (z) — регулярная ветвь логарифмической функции Ln z .

Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:

(za )′ = aza−1 .

2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера (2.14) следует, что

Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного

переменного. Из периодичности функции ez следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2π , a tgz и ctgz

— с периодом π . Функция sin z нечетна, a cos z — четна. Действительно,

78

Аналогично доказывается четность функции cos z (докажите!). Для функций, определенных равенствами (4.2), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,

sin2 z +cos2 z =1, sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 +cos z1 sin z2

и т.д. Все эти соотношения вытекают из (4.2). Докажем, например, последнюю формулу:

sin z1 cos z2 +cos z1 sin z2 =

причем имеют место обычные формулы дифференцирования: (sin z)′ = cos z , (cos z)′ = −sin z .

Докажем, например, формулу для производной sin z :

Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sin z и cos z могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,

79

тригонометрические функции (4.2) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (4.2) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для ω = Arc cos z . Из определения этой функции имеем

перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем

знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с " −". Значит, и среди значений Arc cos z будут значения как с "+", так и с " −" перед логарифмом. Поэтому знак " −" можно не писать:

Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:

Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и

cth z, определяемые равенствами

80