Лекция 2

Число линий, пронизывающих элементарную площадкуdS , нормаль которой составляет уголα с вектором определяют как. Эту величину называют потокомвекторасквозь площадкуdS:

.

Если имеется некоторая произвольная поверхность S , то поток вектора сквозь неё

.

Эта величина алгебраическая. В случае замкнутых поверхностей, положительное направление нормали принято выбиратьнаружу области, охватываемой этими поверхностями (внешняя нормаль).

Теорема Остроградского – Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы электрических зарядов, находящихся внутри этой поверхности, к электрической постоянной .

.

Если заряды распределены непрерывно с объёмной плотностью , зависящей от координат, то

,

Где интегрирование производится только по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S.

Если поле создаётся системой точечных зарядов , то. Тогда

.

Само поле зависит от конфигурации всех зарядов, а поток сквозь произвольную замкнутую поверхностьS определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S.

Применение теоремы Остроградского – Гаусса.

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Линии напряжённости перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от неё в обе стороны.

В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от неё.

Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поэтому полный поток через всю поверхность . Внутри цилиндра заключён заряд.

По теореме Остроградского – Гаусса .

Полученный результат справедлив только для бесконечной плоской поверхности, однако он приближённо справедлив и для области, прилегающей к средней части конечной равномерно заряженной плоской поверхности, вдали от её краёв.

2) Поле двух бесконечных параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноимёнными зарядами с плотностями и .

Это поле можно легко найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

Поле сосредоточено между плоскостями и является однородным в этой области.

3) Поле бесконечного круглого цилиндра радиуса R (или бесконечной нити), заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу длины приходится заряд .

Из соображений симметрии следует, что поле здесь имеет радиальный характер, т.е. вектор в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль векторазависит только от расстоянияr до оси цилиндра.

Возьмём замкнутую Гауссову поверхность в форме коаксиального прямого цилиндра радиуса r и высотой h . Тогда , а.

По теореме Остроградского – Гаусса

для иЕ = 0 при r < R т.к. внутри цилиндра зарядов нет. Внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет.

4) Поле сферической поверхности радиусом R, заряженной равномерно зарядом q.

Это поле центрально симметричное. Возьмём в качестве замкнутой Гауссовой поверхности концентрическую сферу радиусом r > R. Тогда .

По теореме Остроградского – Гаусса .

При r < R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов и поэтому внутри заряженной сферы Е = 0.

5) Поле равномерно заряженного шара. Пусть заряд q равномерно распределён по шару радиусом R. Здесь поле также центрально симметричное. Вне шара (r > R) поле такое же как от заряженной сферы или точечного заряда .

Внутри шара для замкнутой поверхности в виде сферы радиусом r < R имеем и.

По теореме Остроградского – Гаусса

Внутри шара напряжённость растёт линейно с расстоянием r от его центра.