2427

2) ассоциативность

3) дистрибутивность

a (b c ) a b a c

Из определения векторного произведения следуют такие полезные предложения:

Следствия:

Следствие 1: Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы их соответственные координаты были пропорциональны.

Следствие 2: Рассмотрим ABC , координаты вершин

которого A(x1 , y1 , z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , C(x3 , y3 , z3 ) . Его площадь

вектор c . Абсолютная величина смененного произведения

– объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c .

Если построить тетраэдр на 3-х векторах a , b , c , его

тетраэдра. Но т.к. площадь треугольника, построенного на

векторах a и b , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах, то

Плоскость.

В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как геометрическое место точек,

имеющий направление перпендикуляра, опущенного на

переходе к координатам это уравнение принимает вид x cos y cos z cos 0 (1)

(нормальное уравнение плоскости)

Рассмотрим произвольную плоскость в декартовой прямоугольной системе координат. Введем

т. M 0 x0 , y0 , z0 и произвольный ненулевой вектор n , перпендикулярный плоскости . n A, B,C , где А,В,С –

проекции вектора n на координатные оси. Возьмем какую-

плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Каждый ненулевой

Докажем, что в декартовой прямоугольной системе координат каждое уравнение первой степени определяет

уравнение является уравнением плоскости, проходящей

исходному, следовательно, любое уравнение первой степени действительно определяет плоскость в пространстве.

Так как уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны, а это означает, что, умножив обе части уравнения (2) на общий множитель , получим уравнение, совпадающее с

уравнением (1).

равенств в квадрат и сложим почленно:

где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.

3) Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением Ax By Cz D 0 А = 0, параллельна оси Ох;

D = 0; проходит через начало координат;

А = B = 0; перпендикулярна оси Оz (параллельна

А = В = D = 0; совпадает с плоскостью хОу (z = 0);

называется уравнением плоскости в отрезках: в нем а, b и

с - соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу и Оz.

Углом между плоскостями A1 x B1 y C1 z D 0 и

A2 x B2 y C2 z D2 0 будем называть любой из

смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями (в случае параллельности плоскостей угол считается равным 0 или 180 градусам). Один из двугранных углов равен углу между нормалями как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Косинус угла определяется по формуле

5x 15y 35z 3 0,

2x 6 y 14z 1 0

Ответ: 0, 180.

Пусть M* точка пространства, обозначим через d расстояние до плоскости . Назовем отклонением т. M* от числом = +d, если т. M* лежит по ту же сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали

Доказательство. Спроектируем т. М* на нормаль Пусть Q – ее

проекция, тогда = OQ – OP, где PQ, OP, PQ – величины направляющих отрезков.

Но с другой стороны ОМ* на n это пр n OM * = OM n =

x *cos y *cos z *cos (**)

Из (*) и (**) следует утверждение теоремы.

Правило. Чтобы вычислить отклонение какой-либо точки М* от плоскости нужно в левую часть нормального уравнения плоскости вместо текущих координат x, y, z подставить координаты очки М*. Полученное число будет равно искомому отклонению. Если требуется найти

расстояние d от т. М* до плоскости, воспользуемся формулой

Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки и начала координат относительно данной плоскости: «плюс», если

точка М0 и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, н «минус», если они расположены по одну сторону от плоскости.

При произвольных значениях А, В и С последнее уравнение определяет некоторую плоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через точку М0. Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей.

Уравнение

при произвольном значении определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую пересечения плоскостей

то есть некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (9.1), параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.

Уравнение плоскости, проходящей через три

Прямая.

Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей

пересекающихся по этой прямой.

Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения x az c и y bz d . Здесь прямая определена двумя плоскостями, проецирующими ее на

где , , углы, образованные прямой с осями

координат. Направляющие косинусы прямой находятся по формулам

От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям:

условие параллельности двух прямых: l1 m1 n1

l2 m2 n2

условие перпендикулярности двух прямых:

l1l2 m1m2 n1n2 0

Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых):