2427

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Суть метода заключается в следующем. Посредством последовательного исключения неизвестных система превращается в эквивалентную ей систему специального вида, из которой легко получаются значения неизвестных при этом осуществляются следующие элементарные преобразования уравнений системы:

Умножение обеих частей уравнений системы на число, отличное от нуля;

Прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответственно частей другого уравнения, умноженных на одно и тоже число;

Удаление из системы уравнений вида 0=0.

Метод Гаусса используется и для решения систем

линейных уравнений, у которых число уравнений не

совпадает с числом неизвестных.

Матрицы и действия над ними

Матрицей размера m n называется прямоугольная

an1 an2 ... ann

Матрица Ат называется транспонированной к матрице А, если выполняется условие aijT a ji

1.Умножение матрицы на число. Произведением

матрицы А и числа называется матрица А, полученная из матрицы А умножением всех ее элементов на это число

.

2. Сложение матриц. Матрицы одного и того же размера, то есть составленные из одного числа строк и столбцов можно складывать, тогда суммой двух матриц

матрицы можно лишь в том случае, тогда когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.

умножение матриц не коммутативно.

4. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны

Квадратная матрица называется вырожденной

(особенной), если ее определитель равен 0 и

невырожденной в противном случае.

дополнения для элементов aij

~ Т

Обозначим через А матрицу следующего вида

определитель А равен нулю, то обратной матрицы не существует.

Матричная запись и матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система уравнений с n неизвестными вида

Или в матричном виде

виде АХ = В. Если определитель матрицы А не равен нулю, то А имеет обратную матрицу, а система – единственное

ХА 1 В.

Векторы и действия над ними.

Определение. Величина, которая характеризуется

числом, называется скаляром. Например, длина отрезка,

работа, масса.

Величина, которая характеризуется числом и направлением, называется вектором. Длина вектора

называется его модулем и обозначается а или АВ . Будем

рассматривать только свободные векторы. Если векторы параллельны одной прямой или лежат на этой прямой, то они называются коллинеарными.

Вектор, модуль которого равен единице, а направление совпадает с направлением ненулевого вектора

а, называется ортом вектора и обозначается а 0 . Суммой двух векторов называется диагональ

параллелограмма, построенного на этих векторах,

идущая из их общего начала.

Определение. Суммой двух векторов называется

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

a b a b cos

Отметим следующие свойства, которым подчиняется

скалярное произведение:

упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из этих векторов является 1-м, какой – 2-ым, какой 3-им. При записи тройки векторов, векторы располагают в порядке их следования.

Определение: Тройка некомпланарных векторов a , b , c называется правой (левой), если после приведения их к общему началу вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b , откуда

кратчайший поворот от a и b кажется совершаемым против часовой стрелки (по часовой стрелке), т.е. если

векторы a , b , c располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Еще можно сказать, что вектор c направлен по

правилу буравчика к векторам a и b .

Определение: Векторным произведением двух

векторов a и b называется третий вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:

1) вектор c ортогонален векторам a и b .

2)вектор c направлен так, что тройка векторов a , b , c является правой

3)длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b ,

В физике понятию векторного произведения соответствует момент пары сил, напряженность электрического поля.

Из определения векторного произведения следуют такие полезные предложения:

Следствие 1: Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы их соответственные координаты были пропорциональны.

Следствие 2: Рассмотрим ABC , координаты вершин которого A(x1 , y1 , z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , C(x3 , y3 , z3 ) .