2305

линейному уравнению относительно функции z(x), не содержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая z'(х) = u(х), получаем линейное однородное уравнение порядка n-1 относительно функции u(х). Однако общих методов отыскания частных решений линейных однородных уравнений с коэффициентами, зависящими от переменной х, нет.

Система функций у1(х),у2(х),...,уn(х) линейно независима на интервале (а,b), если определитель Вронского этой системы

y1 (x), y2 (x),..., yn (x) y1 (x), y2 (x),..., yn (x)

W(x)= .......... .......... .......... ....

y1n 1 (x),..., ynn 1 (x)

отличен от нуля хотя бы в одной точке х (а,b).

Всякая система из n линейно независимых решений y1 (x), y2 (x),..., yn (x) называется фундаментальной

системой решений этого уравнения. Если известна фундаментальная система решений уравнения, то общее решение этого уравнения имеет вид

Y00 (x) C1 y1 (x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x),

где С1, С2,...,Сn- произвольные постоянные.

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

y″ + a (x)y' + a2(x)y = f(x) (3.1)

и некоторого частного решения у* неоднородного уравнения:

Пусть y° = c1y1(x) + c2y2(х) — общее решение уравнения (3.2). Заменим в общем решении постоянные

c1 и c2 неизвестными функциями c1(x) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция

y* = с1(х)у1(х) + с2(х)у2(х)

(3.4)

была решением уравнения (3.1). Найдем производную

(y*)' = с1´(х) у1(х) + с1(х)у1'(х) + с2'(х)у2(х + с2(х)у2'(х)

Подберем функции c1(x) и с2(х) так, чтобы

Тогда

(y*)' = с1(х)у1'(х) + с2(х)у2'(х),

(y*)″ = с1´(х)у1'(х) + с1(х) у1″(х) + с2'(х)у2'(х) + с2(х)у2″(х).

Подставляя выражение для у*, (у*)' и (у*)" в уравнение (3.1), получим:

с1´(х)у1'(х) + с1(х) у1″(х) + с2'(х)у2'(х) + с2(х)у2″(х) +

+a (x)[с1(х)у1'(х) + с2(х)у2'(х)] +

+а2(x)[ с1(х)у1(х) + с2(х)у2(х)] =f(x)

или

с1(х)[ у1″(х) + a (x) у1'(х) + а2(x) у1(х)] + с2(х)[ у2″(х) + a (x) у2'(х) +

а2(x) у2(х)] + с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x).

Поскольку у1(х) и у2(х) — решения уравнения (3.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x) (3.6)

Таким образом, функция (3..4) будет частным решением у* уравнения (3.1), если функции c1(x) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (3..5) и (3.6):

c1´(х)у1(х) + с2'(х)у2(х) = 0, с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x)

(3.7)

Определитель данной системы не равен нулю, так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений у1(х) и у2(х) уравнения (3.3).

Поэтому система (3.7) имеет единственное решение: с1´(х) = φ (x) и с2'(х) = φ2(x), где φ (x) и φ2(х) —

некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим с1(х) и с2(х), а затем по формуле (3.4) составляем частное решение уравнения (3.1).

где C1 (x) и C2 (x) – неизвестные функции от x. Для их нахождения составим систему:

Подставляя выражения C1(x) и C2(x) в (А), получим общий интеграл данного уравнения

исходного неоднородного уравнения.

2.4. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

y′′+ py′ + qy = 0 (4.1)

где p и q постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (4.1) в

Л. Эйлером. Дифференцируя функцию два раза и подставляя выражения для у, y′, y′′ в уравнение (4.1), получим

к2exk + ркexk + qexk = 0,

exk(к2 + рк + q) = 0 или к2 + рк + q = 0 (exk ≠ 0)

(4.2)

уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением ДУ (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить y′′, y′, y соответственно на к2, к,

1).

При решении характеристического уравнения (4.2)

(линейно не зависимо), т.к их вронскиан

W(x) = k2e(k1 + k2)x – k1e(k1 + k2)x = e(k1+k2)x( к2 – к1) ≠ 0.

Следовательно, общее решение уравнение (4.1) имеет вид

у = с1ек1х + с2eк2х . ( 4.3)

Случай 2:

Корни к1 и к2 характеристического уравнения (1.2) действительные и равные. (D = p2/4 – q = 0, k1 = k2 = - p / 2)

В этом случае имеем лишь одно частное решение у1 =

ек1х

Покажем, что на ряду с у1 решением уравнения (4.1) будет и

у2 = хек1х

Действительно, подставим функцию у2 в уравнение (4.1) получим

y′′+ py′ + qy = ек1х(х(к21 + рк1 +q) + (р +2к))

Но k21 + pk1 + q = 0, т. к. k1 есть корень уравнения

Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (2.1) имеет вид

у = с1ек1х + xс2eк2х

(4.4)

комплексные:

k1 = α + βi k2 = α -βi.

В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции у1 = e(α+iβ)x и у2 = е(α - iβ)x. По формулам

Эйлера

eφi = cos φ + isinφ, e-iφ = cosφ - isinφ

имеем

У1 = e(α+iβ)x = eαxcosφ+ isinφeαx

у2 = е(α - iβ)x = eαxcosφ - isinφeαx

Найдем два действительных частных решения уравнения (4.1). Для этого составим две линейные комбинации решений y1 и у2:

(У1 + у2)/2 = eαxcosβφ = y1* ; (У1 – у2)/2i = sinφeαx = y2*

Функции y1* и y2* являются решениями уравнения (4.1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решения образуют фундаментальную систему решений, так как W(х) ≠ 0. Поэтому общее решение уравнения (4.1) запишется в виде

у = eαx (с1 cosβx + c2 sinβx) (4.5)

Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (n >2) с постоянными коэффициентами

yn + p1y(n-1) + p2y(n-2) +…+pny = 0

(4.6)

где рi, i = 1,…,n, — числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.

Частные решения уравнения (4.6) также ищем в виде у = ekx, где k -постоянное число.

Характеристическим для уравнения (4.6) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида уравнение n-го порядка вида

kn + p1k(n-1) + p2k(n-2) + …+ pn = 0.

(4.7)

Уравнение (4.7) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть комплексные). Обозначим их через k1,

k2, ….,kn

1 случай: Корни k1, k2, ….,kn 2 уравнения (4.7 ) действительные и различные.

В этом случае частными решениями уравнениями уравнения (4.1) являются функции у1 = ек1х , у2 = ек2х,…

уn = екnх Они образуют фундаментальную систему решений (линейно не зависимы).

Следовательно, общее решение уравнение (4.7) имеет вид

Пример 1. Решить уравнение

y'v - у'" — Зу" + 5у' — 2у = 0.

Решение: Характеристическое уравнение

k4 - k3 - 3k2 + 5k - 2 = (k + 2)(k - 1)3 = 0

имеет корни k1 = - 2, k2 = 1, k3 = 1, k4 = 1. Следовательно,

у= c1e-2x + c2ex + c3x ex + c4x2ex

—общее решение уравнения.

Случай 3. Среди корней уравнения (2.7) есть комплексно -сопряженные корни. Тогда каждой паре a±βi простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения еαxcosβx и еαxsinβx, а каждой паре а

± βi корней кратности т > 1 соответствуют 2т частных решений вида

eαxcosβφ, xeαxcosβφ,…, xm-1eαxcosβφ

eαxsinβφ, xeαxsinβφ,…, xm-1eαxsinβφ

Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.

2.5.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

(5.1)

где р и q — некоторые числа.

Будем искать общее решение уравнения (5.1) как сумму общего решения у соответствующего однородного уравнения и частного решения у' неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (5.1) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами (5.1) существует более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) уравнения (5.1) имеет так называемый «специальный вид»:

1.f(x) = Pneαx

2.f(x) = eαx(Рn(х) cosβx + Qm(x)sinβx).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5.1) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.1) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.