1716
.pdf
|
|
|
|
t |
1 |
|
T |
|
|
L |
. |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
gsin |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: t |
|
|
L |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
gsin |
|
|
|
|
|||||
№ 1.15 (2009). На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длиной 1 м и массой m1. По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью
=20м/с скользит шарик массой m m1 . Точка удара отстоит
|
3 |
||
от середины стержня на расстоянии |
|
. Найдите долю энер- |
|
4 |
|||
|
|
||
гии, которая затрачена на работу против сил неупругой деформации.
Решение
Кинетическая энергия системы до удара E1 m 2 , по-
2
сле удара E2 m1u2 J 2 . Работа против сил неупругой де-
2 2
формации идет на изменение кинетической энергии системы А
= Е2 - Е1.
Из закона сохранения импульса m m1u выразим ско-
рость системы после удара: u m1 . m 3
Из закона сохранения момента импульса получим угловую скорость вращения:
m J , 4
20
m m1 2 ,
412
3m . m
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
3m 2 |
|
3m 2 2 |
|
m 2 |
|
m 2 |
|
7m 2 |
. |
|||||||||||
|
12 2 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
9 2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
8 |
|
24 |
|
|||||||
E |
3m 2 |
|
3ml2 2 |
|
m 2 |
|
m 2 |
|
7m 2 |
. |
|||||||||||
|
12l2 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
9 2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
8 |
|
|
|
24 |
|
|
|
||||
Найдем долю энергии, которая затрачена на работу против сил неупругой деформации:
|
|
|
|
|
|
|
7m 2 |
|
m 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
E |
2 E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
2 |
|
|
5 |
0,083. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
12 |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: 5 0,083. 12
№ 1.16 (2009). Брусок находится на горизонтальной плоскости и с помощью пружины прикреплен к вертикальной стенке. В некоторый момент времени бруску толчком сообщили начальную скорость υ0=0,6 м/с , направленную к стенке.
Наибольшее сжатие пружины составило xmax=12 см . Через ка-
кое время после толчка брусок окажется на максимальном удалении от стенки? Трением пренебречь.
Решение
Брусок будет совершать гармонические колебания с периодом
21
|
m |
|
Т 2 |
|
. |
k |
||
На максимальном удалении от стенки после толчка он
окажется через время t 3T .
4
Запишем закон сохранения механической энергии
m 2 |
|
kx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
x2 |
|
||||||||
0 |
|
max |
, из которого следует, что |
|
|
|
|
|
max |
. |
|
||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x2 |
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
2 |
m |
|
max |
0,9 |
с. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
2 |
02 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
||||||||||||||
Ответ: t=0,9с.
№ 1.17 (2010). На неподвижное тело массой m, находящееся на горизонтальной абсолютно гладкой плоскости, в момент времени t = 0 начинает действовать сила, направленная вдоль горизонтальной оси Ox. На рис. 1.12 представлен график зависимости проекции Fx этой силы от времени t. Найдите модуль импульса тела в моменты времени 3t0 и 4t0.
Fx |
|
|
|
F0 |
|
|
|
2t0 |
|
|
|
0 |
3t0 |
4t0 |
t |
t0 |
|||
F0 |
|
|
|
Рис. 1.12 |
|
|
|
22
Решение
Второй закон Ньютона позволяет записать связь между проекцией силы и изменением соответствующей проекции импульса тела:
t2
px Fxdt.
t1
При этом помним, что геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры под графиком функции.
Найдем изменение проекции импульса тела за время от начала движения t1=0 до t2=3t0:
|
|
|
3t0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
px p t2 p t1 Fxdt Fot0 |
|
Fot0 |
|
Fot0, |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
где p t1 0, |
p t2 |
3t0 |
|
1 |
Fot0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично для интервала времени от начала движения t1=0 до t2=4t0:
4t0
px p t2 p t1 Fxdt Fot0,
0
где p t1 0, |
p t2 4t0 Fot0 . |
|||||
Ответ: |
1 |
F t |
|
; F t |
|
. |
2 |
|
|
||||
|
o |
0 |
o |
0 |
|
|
№ 1.18 (2010). На концах тонкого невесомого стержня длиной 1м укреплены грузики с массами m1=160 г и m2=240 г . Стержень колеблется вокруг горизонтальной оси,
проходящей через его середину. Определите период колебаний, совершаемых стержнем для двух случаев: 1) стержень невесом; 2) масса стержня 400 г.
23
Решение
Период колебаний физического маятника
T 2 |
J |
, |
|
||
|
mg c |
|
где J – момент инерции маятника относительно точки подвеса, m – масса маятника, c – расстояние от точки подвеса до цен-
тра масс.
В случае если стержень невесом, то m m1 m2 ;
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
(m m ) |
. |
||||
J=m |
|
m |
|
|
(m m ) |
|
; |
|
c |
2 |
1 |
|||||
4 |
4 |
|
2(m m ) |
|||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
T 2 |
|
2 2(m m |
)(m m ) |
c. |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
4(m1 m2)g(m2 m1) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если стержень обладает массой, то m m1 m2 m3 ;
J=m |
2 |
m |
2 |
m |
2 |
(3m 3m m ) |
2 |
;; |
|||
4 |
4 |
|
|
||||||||
1 |
2 |
3 12 |
1 |
2 |
3 |
12 |
|
||||
|
|
|
|
|
c |
|
(m2 m1) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2(m m m ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае период равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T 2 |
|
2 2 (3m 3m |
2 |
m )(m m |
2 |
m ) |
|
|
2 |
|
c. |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
3 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
12(m1 |
m2 |
m3)g(m2 |
m1) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
Ответ: |
с; |
2 |
|
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 1.19 (2010). Во время сильного снегопада лыжник, бегущий по полю со скоростью = 20 км/ч, заметил, что ему в открытый рот попадает N1 = 50 снежинок в минуту. Повернув обратно, он обнаружил, что в рот попадает N2 = 30 снежинок в минуту. Площадь рта спортсмена S = 24 см2, размер снежинки = 1 см. Определите: 1) концентрацию снежинок в воздухе; 2) оцените дальность прямой видимости в снегопад.
Решение
Пусть n –концентрация снежинок, тогда N1=nS(υ+υx), где υx – скорость ветра.
Исключая неизвестную скорость υx, получим
n N1 N2 50 снежинок/м3.
2 S
Дальность прямой видимости в снегопад соответствует расстоянию, на котором снежинка еще не перекрывает луч зрения. Условием перекрытия луча зрения будет попадание снежинки в объем V=ScL, где площадь поверхности одной снежинки Sc≈ 2. Число снежинок в этом объеме N=nV=1. Тогда искомое расстояние составит
L |
1 |
= |
2 S |
200 м. |
|
(N1 N2 ) 2 |
|||
|
nSc |
|
||
Ответ: 50 снежинок/м3; 200 м.
№ 1.20 (2011). На тележке массой mтел = 20 кг, которая может свободно перемещаться по гладкой горизонтальной поверхности, лежит брусок массой mбр = 5 кг. Коэффициент трения между бруском и тележкой = 0,2. Брусок тянут с силой F, направленной параллельно рельсам. Найдите ускорение тележки, если сила изменяется по закону F = ct, где с = 4 Н/с. Построить график зависимости ускорения тележки от времени.
25
Решение
1. Покажем силы, действующие на брусок и тележку (рис. 1.13). Брусок будет оставаться в покое относительно тележки в течение времени t ≤ tкр пока сила трения покоя не достигнет максимального значения Fтр < Fтр покоя max. В этом случае ускорения тел равны aбр = aтел и уравнения движения при-
мут вид mтел aтел Fтр ; |
mбр aбр F Fтр . |
|||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
F |
|||||
Fтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m g |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
бр |
Fтр |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
mтелg
Рис. 1.13
Решая совместно полученные уравнения, имеем
aтел aбр |
|
F |
|
ct |
|
|
|
|
|
, |
|
mбр mтел |
|
||||
|
|
|
mбр mтел |
||
Fкр ctкр mбрg mбр mтел ,
mтел
tкр mбрg mбр mтел 3c. cmтел
2) Как только сила трения покоя достигнет максимального значения, брусок начнет скользить по тележке. Тележка будет двигаться под действием этой силы, и ее ускорение составит
a |
Fтр |
|
mбрg |
0,5м/с2. |
m |
|
|||
тел |
|
m |
||
|
тел |
|
тел |
|
|
|
26 |
|
|
Таким образом, ускорение тележки линейно возрастает от 0 до 0,5 м/с2 в течение времени от 0 до 3 с; при дальнейшем движении ускорение остается постоянным (рис.1.14)
|
a,м/с2 |
|
0,5 |
|
|
0 |
3 |
t,с |
|
Рис. 1.14 |
|
Ответ: график зависимости ускорения тележки от времени показан на рис. 1.14.
№ 1.21 (2011). На рис. 1.15
схематически изображен шарикоподшипник в разрезе. Радиусы внешнего и внутреннего колец равны R1 и R2, а их угловые скорости 1 и 2 соответственно. Проскальзывание между кольцами и шариками отсутствует. Найдите угловую скорость вращения шарика вокруг оси симметрии подшипника.
Решение
Запишем линейные скорости точек А и В шарика в местах касания с внешней и внутренней поверхностью колец подшипника соответственно (рис. 1.16). Согласно закону сложения скоростей имеем
27
Рис. 1.15
A r
0
B R2 r
Рис. 1.16
A r;
B r,
где r R1 R2 – радиус шарика.
2
Если нет проскальзывания, то линейные скорости этих точек по модулю равны линейной скорости центра шарика
А В .
Тогда, можно переписать
r 1R1;
r 2R2 .
Отсюда
1R1 2 R2 .
2
Угловая скорость вращения шарика вокруг оси симметрии подшипника составит
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1R1 2R2 |
. |
|||
|
|
R r |
R R |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
Ответ: 0 |
|
1R1 |
2R2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R1 R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 1.21 (2011). Кусок сыра бросили на весы. Три последовательных крайних положения стрелки весов были такие: А1 = 560 г, А2 = 440 г, А3 = 520 г. Какова действительная масса m куска сыра?
Решение
Чашка весов совершает затухающие колебания около положения равновесия, соответствующего действительной массе взвешиваемого куска сыра (рис.1.17). Амплитуда коле-
баний убывает по закону A A0e t , где начальная ампли-
туда колебания равна A0 560 m.
28
m,г |
560 |
520 |
m |
440 |
21Т |
Рис. 1.17 |
Тогда для следующих двух известных положений можно записать:
520 m (560 m)e T ,
T
m 440 (560 m)e 2 .
Решая совместно полученные уравнения
520 |
m |
e T , |
|||
(560 |
m) |
||||
|
|
|
|||
m 440 |
|
T |
|
||
e 2 , |
|||||
(560 |
m) |
||||
|
|
|
|||
получим действительную массу куска сыра: m = 488 г.
Ответ: 488 г.
№ 1.22 (2012). Цилиндр ра- |
1 |
|
|
|||
|
||||||
диусом R вращается между двумя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
||||||
параллельными рейками (рис. 1.18), |
||||||
движущимися в одну сторону со |
|
|
|
|
|
|
скоростями 1 и 2 (скольжение от- |
|
|
|
|
|
|
сутствует). Найдите угловую ско- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
рость вращения и скорость его цен- |
|
|
|
|||
тра. |
Рис. 1.18 |
|
|
|
29 |