1609

2.СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

2.1.Функциональные ряды

Функциональным рядом называется ряд вида

U1(x) U2(x) ... Un(x) ... Un(x), n 1

членами которого являются функции одного и того же аргумента, определенные на одном множестве Е.

Например,

Если придать аргументу х некоторое числовое значение x x0 , x0 E , то получим числовой ряд

U1(x0) U2(x0) ... Un(x0) ... Un(x0), n 1

который может сходиться (сходиться абсолютно) или расходиться.

Если при x x0 полученный числовой ряд сходится, то точка x x0 называется точкой сходимости функционального

ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Обозначим область сходимости Х, очевидно, X E.

Если для числовых знакоположительных рядов ставится вопрос: «Сходится ряд или расходится?», для знакопеременных

– вопрос: «Сходится как – условно или абсолютно,– или расхо-

20

дится?», то для функционального ряда основной вопрос звучит так: «Сходится (сходится абсолютно) при каких х?».

Функциональный ряд Un(x) устанавливает закон, по

n 1

которому каждому значению аргумента x x0 , x0 X , ставится

в соответствие число, равное сумме числового ряда Un(x0) .

n 1

Таким образом, на множестве Х задается функция S x , которая

называется суммой функционального ряда.

Пример. Найти область сходимости функционального ря-

да

Решение.Пусть х – фиксированное число, тогда данный ряд можно рассматривать как числовой ряд, знакоположительый при x 0 и знакопеременный при x 0 .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного

ряда:

и применим к нему признак Даламбера.

т.е. для любого значения х этот предел меньше единицы, значит, данный ряд сходится, причем абсолютно (так как мы исследовали ряд из абсолютных величин членов ряда) на всей числовой оси.

21

Таким образом, областью абсолютной сходимости является множество x ; .

2.2. Степенные ряды, разложенные по степеням x

Степенным рядом, разложенным по степеням x, называется функциональный ряд вида:

или в сокращенном (свернутом) виде anxn , где an – коэф- n 0

фициенты степенного ряда.

Степенным рядом, разложенным по степеням (x-a), называется функциональный ряд вида:

a0 a1 x a a2 x a 2 ... an x a n ... (2.2)

или в сокращенном (свернутом) виде an(x a)n , где а - n 0

константа.

Давая х числовые значения, ряды (2.1) и (2.2) становятся числовыми рядами, которые могут как сходиться, так и расходиться. Совокупность значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2.1) сходится при некотором х=х0, то он сходится абсолютно при всех х, для которых

x x0 .

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда, разложенного по степеням х, является интервал сходимости (-R; R) с центром в т. х=0.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится. На концах интервала ряд может, как

22

сходиться, так и расходиться. Если R=0, то степенной ряд сходится только в одной точке х=0. Если R=∞, то ряд сходится при всех х.

Для отыскания радиуса и интервала сходимости необходимо сначала составить ряд из абсолютных величин (модулей) членов степенного ряда (2.1):

Теорема. Степенной ряд (2.1) сходится абсолютно, если сходится ряд (2.3), составленный из абсолютных величин (модулей) членов степенного ряда (2.1).

Ряд (2.3) – это ряд с положительными членами, поэтому для исследования его сходимости (определения радиуса и интервала сходимости) можно применять признаки сходимости рядов с положительными членами, например, признак Даламбера или радикальный признак Коши.

Для нахождения радиуса сходимости можно также использовать следующие формулы:

Найдем радиус сходимости по формуле (2.4):

23

xn

Пример 3. Исследовать сходимость ряда n 1 n .

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

Найдем радиус сходимости по формуле (2.4):

Следовательно, интервал сходимости (-1; 1). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При х=1 получим ряд с положительными членами (гар-

1

монический ряд) n 1 n . Для исследования его сходимости мож-

но применить интегральный признак сходимости Коши. Имеем:

Интеграл расходится, поэтому расходится и гармонический ряд.

Для исследования его сходимости применим признак Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

25

liman lim 1 0.

n

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится условно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (гармонический ряд) расходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда

1; 1.

2.3. Степенные ряды, разложенные по степеням (х–а)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2.2) сходится при некотором х=х0, то он сходится абсолютно при всех х, для кото-

рых: x a x0 a .

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а), является интервал сходимости (а-R; R+а) с центром в т. х=а. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится. На концах интервала ряд может как сходиться, так и расходиться. Если R=0, то степенной ряд сходится только в одной точке: в т. х=а. Если R=∞, то ряд сходится при всех х. Радиус и интервал сходимости находится аналогично рядам, разложенным по степеням х.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда n! x 5 n. n 1

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

an n!; an 1 (n 1)!

Найдем радиус сходимости по формуле (2.4):

26

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится абсолютно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (ряд из обратных квадратов) сходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда [1;

3].

2.4. Свойства степенных рядов

1.На любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда f(x) есть непрерывная функция.

2.Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз, при этом после дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости.

3.Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости любое число раз, при этом после интегрирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости.

2.5. Разложение функций в степенные ряды

Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в окрестностях точки х=а, может быть разложена в сходящийся степенной ряд Тейлора:

28

Таблица стандартных разложений элементарных функций в ряд Маклорена: