Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1119

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

583.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Дано: β = 50 Н/м,

γ = 500 ГН/м2 = 500 · 109 Н/м2.

Найти: fmax.

Решение

Зависимость возвращающей силы от смещения атома

®(8) = −β8 + γ8 .

Для нахождения максимального значения силы приравняем производную

к нулю:			-®(8) = −β + 2γ8 = 0.
			-®(8) = −β + 2γ8 = 0.
	действительно является условием максимума, поскольку
Это уравнение			-8
вторая производная больше нуля:
				- ®(8)			γ
Из второго уравнения следует				-8			= 2 8 > 0.
8^ ˆ = 2γ			=>					®^ ˆ = −β8^ ˆ + γ8^ ˆ =
β
		β			β		β	β	β
= −β 2γ +				γ `2γa			= − 2γ	+ 4γ	= − 4γ .
®^ ˆ = −			50			4 = −1,25 · 10)4Н = −1,25нН.
		4 · 500 · 10							Ответ: fmax = − 1,25 нН.

Пример 3.12. Смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука f = − β x. Чему равен коэффициент линейного термического расширения?

Дано: F = −βx.

Найти: α.

Решение

Возвращающая сила:

®(8) = −β8 + γ8 .

Если f = − β x, значит γx 2 = 0, значит, γ = 0.

Коэффициент линейного теплового расширения при γ = 0:
α	=	βγN	=	β0N	= 0.
		R		R

То есть тепловое расширение отсутствует.

Ответ: α = 0.

Пример 3.13. Определите, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле при его нагревании до 400 К. В равновесном состоянии, отвечающем минимуму потенциальной энергии, межатомное

расстояние равно 3 Å. Модуль Юнга 10 ГН/м2.

Дано: r0 = 3 Å = 3 · 10 −10 м,

E = 10 ГН/м2 = 10 · 109 Н/м2. T2 = 400 K.

Найти: r/r0.

Решение

Коэффициент линейного теплового расширения:

= R∆Rl.

α ∆

Здесь r − относительное изменение линейных размеров тела,

происходящее в результате изменения его температуры. С другой стороны,

α = βγNR .

То есть

β N

βN

∆

γ ∆

∆

Коэффициент ангармоничности γ:

β = R m.

γ = 2R

Значит,

N l

= 2R

∆

· N∆l

∆

2R m R

2m R

∆R	1,38 · 10) · 400	)
R	= 2 · 10 · 104 · (3 · 10)+) = 10,22 · 10		= 10 %.
			Ответ: r/r0 = 10 %.

Задачи для самостоятельного решения по теме №3

1.Чему равен коэффициент объемного расширения для анизотропного

кристалла, если коэффициент его линейного расширения по трем направлениям составляет 1,25 · 10−5 K −1; 1,2 · 1,10−5 K −1; 1,15 · 10−5 K −1?

(Ответ: 3,4 · 10−5 K −1).

2.Рассчитайте силу максимального смещения и возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5 % от среднего межатомного расстояния при данной температуре. Коэффициент гармоничности 50 Н/м, а коэффициент ангармоничности 500 ГН/м2, среднее межатомное расстояние 4 Å .

(Ответ: 1,25 нН).

3.Определите термический коэффициент линейного расширения твердого

тела, обусловленного фононным давлением в области температур T >> θD, если плотность кристалла 10 4 кг/м 3, его киломольная масса 60 кг/кмоль, модуль Юнга 100 ГН/м2.

(Ответ: 3 · 10−5 K −1).

ТЕМА №4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ

Законы и формулы к решению задач по теме №4

1. Закон Ома в дифференциальной форме:ÃÁ
ÃÁ		ÀÁ	ÀÁ = Â · m.
m	Здесь		− плотность тока, σ − удельная электропроводность,
	− напряженность электрического поля в проводнике.

2. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: n = Â · m = Ä ·ρ.

Здесь ω − удельная тепловая мощность тока, ρ − удельное сопротивление.

3.Удельная электропроводность:

Â= Y · ·< © >. 2 · : · ª

Здесь e – заряд электрона, n − концентрация свободных электронов, <λ> − средняя длина свободного пробега, m – масса электрона, υ − средняя скорость теплового движения электронов.

4. Закон Видемана-Франца:	æ	N	· l.

	Â	= 3 · Y

Здесь æ − коэффициент теплопроводности, k – постоянная Больцмана.

5. Распределение Ферми-Дирака:	1
®(m) =			.
	Æ)Æф	+ 1
	Y p·q

Здесь Eф − энергия Ферми при абсолютном нуле температуры.

6. Энергия Ферми:		ħ
	m = 2 · : · (3 · Z		· )	/	.
	ф			/

Здесь ħ − постоянная Дирака, m – масса электронов, n – концентрация электронов.

Примеры решения задач по теме №4

Пример 4.1. Металлический проводник движется с ускорением 100 м/с2. Используя модель электронов, определите напряженность электрического поля в проводнике.

Дано: a = 100 м/с2.

Найти: E.

Решение

Сила, действующая на электрон со стороны поля напряженностью E:

Èэ = е · m,

По второму закону НьютонаY: · m = : · .

Следовательно,	9,1 · 10		· 100		)+ Ê
: ·	9,1 · 10	) +	· 100		)+ Ê
m = Y =	1,6 · 10)+4			= 5,69 · 10		= 569		.
m = Y =	1,6 · 10)+4			= 5,69 · 10	м	= 569	м	.
					м		м

Ответ: E = 569 пВ/м.

Пример 4.2. Медный диск радиусом 0,5 м равномерно вращается с угловой скоростью 10 4 рад/с относительно оси, перпендикулярной основанию диска и проходящей через его центр. Определите разность потенциалов между центром диска и его крайними точками.

Дано: r = 0,5 м,

ω = 10 4 рад/с.
Найти: U.
	Решение
Известно, что	V = m · R.
Известно, что

В предыдущем примере получено, что
\ = ÍÎÏc e,		m =	: · \ ,	т. к.
	< Ð >= o·c		, Y
	=>	< \ ≥ n 2· R.

< Ð >= ÎŠÑhbÎŠ‹Œ.

Таким образом,

· R

: · \

: · n

· R

: · n · R

: · n

; а V = m · R =

· R =

m = Y 2

= Y 2

2 · Y

m =

9,1 · 10) + · (10ƒ) · (0,5)

= 71 · 10

Ê = 71

мкВ

2 · 1,6 · 10

)+4

Ответ: U = 71 мкВ.

Пример 4.3. Удельная проводимость металла 10 МСм/м. Вычислите среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация свободных электронов равна 10 28 м−3, а средняя скорость хаотического движения 1 Мм/с.

Дано: n = 10 28 м−3,

σ = 10 МСм/м=10 ·106 См/м, υ = 1 Мм/с = 106 м/с.

Найти: < λ >.

Решение

Выразим среднюю длину свободного пробега из формулы удельной


проводимости:	Y · ·< © >			Â · 2 · : · ª
Â =		=>	< © >=				.
	2 · : · ª				Y ·
< © >=	10 · 10y · 2 · 9,1 · 10) + · 10y		= 7,1 · 10		) м	= 71		нм	.
	(1,6 · 10)+4) · 10

Ответ: < λ > = 71 нм.

Пример 4.4. Пользуясь моделью свободных электронов, определите число соударений, которое испытывает электрон в единицу времени, находясь в металле, если концентрация электронов проводимости 10 29 м −3. Удельная электропроводность 10 МСм/м.

Дано: n = 10 29 м −3,

σ = 10 МСм/м =10 ·106 См/м.

Найти: Z.

Решение

Число соударений найдем как отношение средней скорости хаотического

движения к средней длине свободного пробега:

= < ª© >.

Соответствующее отношение выразим из формулы удельной

проводимости:	Y · ·< © > ,	=>	ª	=	е ·	.
Â =
Таким образом	2 · : · ª		< © >		2 · : · Â
(1,6 · 10)+4) · 10 4			+{сек)+		+ƒсек)+		.
= 2 · 9,1 · 10) + · 10 · 10y = 0,14 · 10				= 1,4 · 10

Ответ: Z = 1,4·10 14 сек −1.

Пример 4.5. На основе классической теории электропроводности металлов, определите среднюю кинетическую энергию электронов в металле, если отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости составляет 6,7 ·10æ −6 В2/м.

Дано: /σ = 6,7 ·10 −6 В2/м.

Найти: < ω >.

Решение

Средняя кинетическая энергия электронов в металле:

< n > = : ·<2Ð > .

Средняя квадратичная скорость:

3 · N · l

< Ð > = &

Из закона Видемана-Франца выразим произведение (k·T)

· l

= 3 · Y

N · l = Â

· 3l.

Таким образом,

: · W

3 · N · l

]

3 ·

3 · N · l

æ Y

Â2

3l =

< n > =

· 2l.

< n > = 6,7 · 10

(1,6 · 10)+4)

2 · 1,38 · 10)

= 6,21 · 10) +Дж = 3,9 · 10)эВ = 39 мэВ.

Ответ: < ω > = 39 мэВ.

Пример 4.6. Определите объемную плотность тепловой мощности в металлическом проводнике при плотности тока 10 А/мм2 и напряженности электрического поля 1 мВ/м.

Дано: j = 10 А/мм2=10·106 А/м2, Е = 1 мВ/м = 10−3 В/м.

Найти: ω.

®(m) =

Решение

Согласно закону Джоуля-Ленца в дифференциальной форме n = Ä · m.

ω = 10 · 10y · 10) = 10ƒ · Дж/м · С = 10 кВт/м .

Ответ: ω = 10 кВт/м3.

Пример 4.7. Найдите вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале ∆E = 0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми в случаях: 1) Т = 290 К; 2) Т = 58 К.

Дано: ∆E = 0,05 эВ = 0,08·10−19 Дж,

1)Т = 290К,

2)Т = 58К. Найти: f(E).

Решение

Для решения задачи используем распределение Ферми-Дирака:

YÆ)Æ1 + 1.

pqф

1) Т = 290 К; ∆E = E−Eф < 0;1

−

= 0,88;

®(m) =

) , ∙+ gfÓ

+ 1

0,135 + 1

Y+, ∙+ ge'∙ 4 + 1

Т = 290К; ∆E = E−Eф > 0;

= 0,119;

®(m) =

, ∙+ 1gfÓ

Y+, ∙+ ge'∙ 4 + 1

+ 1

7,38 + 1

2) Т = 58 К; ∆E = E−Eф < 0;

−

®(m) =

= 0,999958;

) , ∙+ gfÓ

+ 1

0,000045 + 1

Y+, ∙+ ge'∙{ + 1

Т = 58 К; ∆E = E−Eф > 0;

®(m) =		, ∙+1gfÓ	=	Y	+1	=	1	= 0,000045.
	Y+, ∙+ge'∙ 4 + 1			Y	+ 1		22167 + 1
Ответ: 1) при E− Eф <0		f(E) = 0,88,			при E− Eф >0			f(E) = 0,119;
2) при E− Eф<0		f(E) = 0,999958,			при E− Eф >0			f(E) = 0,000045.

Пример 4.8. Энергия Ферми равна 1эВ. Определите концентрацию свободных электронов в металле при абсолютном нуле температуры.

Дано: Eф = 1 эВ = 1,6 ·10−19 Дж.

Найти: n.

Решение

Концентрацию свободных электронов выразим из формулы энергии Ферми:

Возведем в куб:

2: (3Z )

= 2: ·

H(3Z ) .

Еф = W ħ

] · (3Z )

2:mф

= 3Z

` ħ

a .

2 · 9,1 · 10) + · 1,6 · 10)+4

Ô м )

= 3 · 3,14 &W

(1,05

· 10)ƒ)

] = 4,6 · 10

Ответ: n = 4,6 ·10 27 м −3.

Пример 4.9. Сколько свободных электронов приходится на 1 атом натрия при абсолютном нуле температуры, если уровень Ферми для натрия 3,12 эВ, а плотность натрия 970 кг/м3.

Дано: Eф = 3,12эВ = 5 ·10−19 Дж, ρ = 970 кг/м3.

Найти: n1.

Решение

Выражение для концентрации свободных электронов, приходящихся на

все атомы натрия, получим из формулы энергии Ферми:

2:m

= 3Z &`

2 · 9,1 · 10) + · 5 · 10)+4

= 2,54 · 10

= 3 · 3,14 &W

(1,05 · 10) ƒ)

]

Число электронов, приходящихся на один атом, найдем как отношение

концентрации электронов к концентрации атомов:

но

= "#

+ = а ,

а =

· ;

Таким образом,

а = "# ·

· : = "# · .

2,54 · 10

+ = "#

+ =

· 22,99 · 10

)

= 0,99

ат

эл

≈

эл

6,02 · 10 · 970

Ответ: n1.≈1 эл./ат.

Пример 4.10. Какова максимальная скорость электронов в металле при абсолютном нуле, если энергия Ферми составляет 5 эВ.

Дано: Eф = 3,12эВ = 8 ·10−19 Дж.

Найти: υmax.

	: · Ð^ ˆ		Решение

Еф =			;	Ð^ ˆ = &	2 · mф		.
Еф =	2		;	Ð^ ˆ = &	:		.
	ф = &2 · 8 · 10) + = 1,33 · 10y с.
	Е	9,1 · 10		)+4		м
		9,1 · 10		Ответ: υmax =1,32·10 6 м/с.
			50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022556.05 Кб31034.pdf
#
15.11.2022560.19 Кб01041.pdf
#
15.11.2022563.27 Кб41052.pdf
#
15.11.2022565.76 Кб71061.pdf
#
15.11.2022580.51 Кб21112.pdf
#
15.11.2022583.16 Кб261119.pdf
#
15.11.2022583.67 Кб31120.pdf
#
15.11.2022591.22 Кб01147.pdf
#
15.11.2022601.89 Кб01174.pdf
#
15.11.2022605.79 Кб71186.pdf
#
15.11.2022613.78 Кб81206.pdf