1119

точки, дается определителем 3-го порядка:

8 − 1 ; <

8 − 1

; − 0

< − 0

или

>

>0 − 1

2 − 0

0 − 0> = 0

−1 2 0> = 0.

0 − 1

0 − 0

4 − 0

−1 0 4

Разложим определитель по элементам первой строки:

(8 − 1) @2

0@ − ; @−1

0@ + < @−1

2@ = 0.

0

4

−1

4

−1

0

Раскрывая определители 2-го порядка, получим

88 − 8 + 4; + 2< = 0

или

48 + 2; + < = 4.

известны

отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат

(кристаллографические направления).

Ответ: (421).

Пример 1.8. Напишите индексы направления прямой, проходящей через

узлы [[77

]] и [[707]].

121

2 1

Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки:

8 − :+

; − +

< − =+

: − :+ = − + = = − =+.

Подставим заданные индексы узлов:

< − 1

8 − (−1)

; −

(−2)

−2 − (−1) = 0 −

(−2)

= −1 − 1

11

или

8 + 1

=

; + 2

=

< − 1

−1

2

−2 .

Величины, стоящие в знаменателе, являются индексами направления.

Таким образом, индексы прямой [72

7].

Ответ: [

7

2

7

].

1

2

Пример 1.9. Нормаль к некоторой плоскости в

z

1 2

кубической решетке задана индексами [110].

Определите индексы Миллера этой плоскости и

наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на

кристаллографических осях.

y

Решение

Индексы для плоскости совпадают с индексами

x

направления нормали к

этой

плоскости

[110].

[100]

Плоскость с такими индексами показана на рис. 5

Рис. 5.

(заштрихованная область).

Положение

плоскости

следующим образом. Выражают отрезки a, b, c

в осевых единицах и

записывают величины, обратные этим отрезкам: A+ ; C+ ;

+DE. По условию задачи

1

= 1;

1

1

= 0.

F = 1;

=> = 1, F = 1,

= ∞.

sin L = 0

0 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1

0 + 1 + 1

2

+ 1 + 1

∙

1 + 1 + 1 = √0 + 1 + 1 ∙ √1 + 1 + 1 = √6 .

OP Q = 0,82

=>

Q = R OP 0,82 = 55 .

0

.

Ответ: ϑ = 55

Пример 1.13. Докажите, что в кубической решетке направление оси oy

параллельно плоскости с индексами (100).

Решение

Плоскость с указанными в условии индексами

z

показана на рис. 7 (заштрихованная область).

Косинус угла между осью oy и нормалью к

плоскости определяется формулой

:+: + + + =+=

+ = .

y

cos Q = H:+ + + + =+ ∙ H:

+

Здесь m,

n, p – индексы прямой. Индексы оси

x

oy [010], индексы нормали к плоскости совпадают с

Рис. 7.

индексами плоскости − [100].

Тогда

1 · 0 + 0 · 0 + 0 · 0

0

cos Q = 1 + 0 + 0

∙ 0

+ 1 + 0

=

√1 ∙ √1

= 0.

(100) и

Q =

= 90

.

Следовательно,

U

[010]

Так как угол между нормалью к плоскости

направлением oy

равен

900, следовательно, плоскость

(100)

параллельна оси oy [010].

cos Q =

1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0

1 + 0 + 0

1

1 + 1 + 0 ∙ 1 + 0 + 0

= √1 + 1 + 0 ∙ √1

= √2 .

Второй способ. Индексы нормалей к заданным плоскостям [110] и [100]. Тогда

:+: + + + =+=

искомый угол можно определить как угол между двумя направлениями в кристалле.

cos Q =

H:+ + + + =+ ∙ H: + + =

.

Здесь m, n, p – индексы направления.

1 + 0 + 0

1

cos Q =

1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0

1 + 1 + 0 ∙ 1 + 0 + 0

= √1 + 1 + 0 ∙ √1

= √2 .

1. Полная энергия решетки, содержащей N пар ионов:

V =

−

" W

XY

+

F

\ ].

4Z[ R

R

:

2.

−

Y

1

Внутренняя энергия кристалла:

· X 4Z[ R · `1 − a,

V^_\

=

· "#

Здесь e – заряд

электрона,

n –

постоянная сил

отталкивания,

α –

постоянная Маделунга, NA − число Авогадро, r0 – равновесное расстояние

между частицами, m – масса кристалла, μ − молярная масса, ε0 –

электрическая

постоянная, b − эмпирическая константа.

V^_\ =

−

:

РешениеY

1

· "# · X 4Z[ R · `1 −

a,

Для решетки

каменной

соли (NaCl)

равновесное расстояние между

а

частицами r0 = .

2Y

1

− :

Y

1

V^_\ =

−

:

=

· "# · X 4Z[ · `1 −

a

· "#

· X 2Z[ · `1 −

a.

V^_\ =

−

0,2

−

· 6,02 · 10

· 1,75 ·

58,5 · 10

−+4

кДж

−

)

−

1

(1,6 · 10

= −2618

.

· 2 · 3,14 · 8,85 · 10

+ · 5,64 · 10 + · `1 − 9,4a

Ответ: Umin.= − 2618 кДж.

Пример 2.1.2. Как изменится равновесное расстояние r0 между ионами и

энергия решетки NaCl, если заряд иона возрастет вдвое?

Дано: e,

2e.

Найти: r02 / r01,

U02 / U01.

Решение

Полная энергия решетки, содержащей N пар ионов,

V =

−

" W

XY

+

F

R

4Z[ R

а) для иона с зарядом е

" W

XY

−

F

] = 0

или

XY

=

F

\b+

\b+ .

4Z[ R +

R +

4Z[ R +

R +

Умножим уравнение на R\b++ :

XY R\)++

XY

R\b++

или

= F,

4Z[ R + = F

4Z[ F

+

4Z[

R + =

a

\)+

;

б) для иона с зарядом 2е

` XY

+

4Z[ F

\)+

.

Искомое отношение:

R = `X(2Y) a

4Z[ F

+

+

R =

\)+

`1a

= 4+)\ .

`

X(2Y)

a

+ =

\)+

R +

4

+

`

4Z[ F

a

\)+

Отношение энергий:

XY

(2Y)

· A1

− 1E

"# · X

+

\

V+

=

4Z[ R

= 4 · R = 4 · 4

\)+

= 4

\)+

Y

1

V

"#

· X

· A1 − E

R +

4Z[ R +

ccdfde

= 4fgh

iife = 4hgf

Ответ:

,

f

h .

Определим первую производную при r = r0:

1 j · Y

c ] = 0.

`-Va

= " · W

XY

-R cd

−

−ρd

Отсюда

4Z[ R

XY

1

c

XY

c

4Z[ R

= j · Y

−

=>

j =

4Z[ R

· Y

ρ

.

Подставим этот коэффициент в U(r0):

· Y

c] = −" · XY

`1 − a.

V(R ) = −" · W XY

XY

· Yc

−

d

R

4Z[ R

4Z[ R

−

4Z[ R

ρ

ρ

Сравним последнее выражение для энергии с

1

XY

`1 −

Из сравнения видно, что

V(R ) = −" · 4Z[ R

a.

1

=>

R =

.

R =

Ответ: r0 = ρ n.