1061

Построим транспонированную матрицу. В этой матрице строки и столбцы меняются местами.

Примем вероятности состояний элементов системы P(Si) одинаковыми. Тогда энтропия до контроля

H0 = log25 = 2,32.

Количествоинформацииприконтролекаждоговыходногосигналаследующее:

Для контроля берем Z2, после его контроля могут быть приняты два реше-

ния:

-значение параметра Z2 в допуске – функциональные элементы 1-3 исправны, а неисправность в элементе 4 или 5;

-значение параметра Z2 не в допуске – функциональные элементы 4 и 5 исправны, а неисправность в элементах 1-3.

В соответствии с этим решением перестраиваем матрицу состояний.

Вычислим количество информации, которое дает контроль параметров Z1, Z3, Z4 при условии, что параметр Z2 – проконтролирован.

где Hk2 – средняя энтропия при контроле параметра Z2.

Следовательно, вторым для контроля выбираем параметр Z1, следующим контролируется параметр Z3 затем Z4 .

При построении алгоритма поиска неисправностей получим, что достаточно контролировать последовательность из четырех параметров (Z2, Z1, Z3, Z4)

Упражнения

1. По приведенной на рис. 3.2 функциональной схеме радиоэлектронного устройства построить его функциональную диагностическую модель.

4. Расчет надежности информационной системы

Рассмотрим структурную схему надежности, приведенную на рис. 4.1.

Рис. 4.1.

Значения интенсивности отказов ее элементов:

1 0,001 10 6 1ч;2 3 4 5 0,1 10 6 1ч;

6 7 0,01 10 6 1ч;

8 9 10 11 0,2 10 6 1ч;

12 13 14 15 0,5 10 6 1ч;

50%,

где γ – (гамма-процентный ресурс системы) – вероятность безотказной работы системы, выраженный в процентах, по истечении определенного времени непрерывной работы (наработки) системы.

Все элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации. Резервирование отдельных элементов или групп элементов должно осуществляться идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются идеальными. На схемах обведенные пунктиром m элементы являются функционально необходимыми.

35

Этапы расчета:

1. В исходной схеме элементы 2 и 3 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая, что p2 = p3, получим:

2. Элементы 4 и 5 также образуют параллельное соединение, заменив которое элементом В и учитывая, что p4 = p5, получим:

3. Элементы 6 и 7 в исходной схеме соединены последовательно. Заменяем их элементом С, для которого при p6 = p7:

4. Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом D, для которого при p8 = p9 , получим:

5. Элементы 10 и 11 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом Е, причем, так как p10 = p11 = p8, то

6. Элементы 12, 13, 14 и 15 образуют соединение «2 из 4», которое заменяем элементом F. Так как p12 = p13 = p14 = p15, то для определения вероятности безотказной работы элемента F можно воспользоваться выражением, в основе которого лежит формула биноминального распределения (биноминальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k – число появлений некоторого события в серии из n опытов), если в отдельном опыте вероятность появления события составляет

где Cnk – биноминальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по k из n»

36

(т.е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию k из n).

Поскольку для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, …, (m – 1):

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму для k = m, m + 1, …, n:

n

P Pk Ckn pk (1 p)n k .

km

Вданном конкретном случае, при n = 4 и m = 2, вероятность безотказной работы элемента F определится выражением:

7. Преобразованная схема изображена на рис. 4.2.

Рис. 4.2

8. Элементы А, В, С, D и Е (рис. 4.2) образуют мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом G. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом минимальных путей. Логическая схема мости-

37

ковой системы по методу минимальных путей приведена на рис. 4.3

Рис. 4.3

Система, изображенная на рис. 4.3, работоспособна до тех пор, пока работоспособны элементы А и D или – B и E, или – A, C и E, или – B, C и D. Таким образом, вероятность работы квазиэлемента G можно определить по формуле

PG 1 ((1 PA PD ) (1 PB PE ) (1 PA PC PE ) (1 PB PC PD )). (4.7) 9. После преобразования схема примет вид, изображенный на рис. 4.4.

Рис. 4.4

10. В преобразованной схеме (рис. 4.4) элементы 1, G, и F образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы определяется выражением:

11. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (рис. 4.1) подчиняются экспоненциальному закону:

13.Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов А, В, С, D, Е, F и G по формулам (4.1) – (4.7) и также представлены в табл. 4.1.

14.На рис. 4.5 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t.

Рис. 4.5 15. По графику (рис. 4.5, кривая Р) находим для γ = 50% (Р = 0.5)

39

γ-процентную наработку системы t = 1,9·106 ч.

16.Проверочный расчет при t = 1,9·106 ч показывает (табл. 4.1),

что Pγ = 0,5006 ~ 0,5.

17.По условиям задания находим время, превышающее в 1,5 раза время, соответствующее вероятности безотказной работы, равное 0,5 (Pγ = 0,5):

t = 1,5·1,9·106 = 2,85·106 ч.

18.Расчет показывает (табл. 4.1), что при t = 2,85·106 ч для элементов пре-

образованной схемы (рис. 4.4) p1 (t ) = 0,9972, pG (t ) = 0,9955 и pF (t ) = 0,2458.

Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F (система «2 из 4»

висходной схеме (рис. 1)), и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

19.Для того чтобы при t = 2.85 106 ч система в целом имела вероятность безотказной работы P’ = 0,5, надо найти необходимую вероятность безотказной работы элемента F. Так как

P p 1 P G P F ,

где PF – необходимая вероятность безотказной работы элемента F, то

20.Для элемента F системы «2 из 4» резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов достаточно сложно, так как число элементов должно быть целым и функция pF = f(n) дискретна.

21.Для повышения надежности системы «2 из 4» добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам 12 – 15, до тех пор, пока вероятностьбезотказнойработыквазиэлемента F не достигнет заданного значения:

- добавляем элемент 16, получаем систему «2 из 5»:

1 0,6528 0,3472 0,5037;

-добавляем элемент 17, получаем систему «2 из 6»:

40