569

1.3. Классификация задач параметрической оптимизации

Задача параметрической оптимизации (1.3) является многопараметрической, многокритериальной и содержит ограничения, все эти факторы определяют проблемы,

возникающие в процессе ее решения. В зависимости от вида критериев качества и ограничений, проводят классификацию задач параметрической оптимизации (задач математического программирования).

Если целевая функция и ограничения линейные функции вида

С0 + С1 Х1+ С2 Х2+…+ Сn Хn.,

то задача оптимизации называется задачей линейного программирования, в противном случае – задачей нелинейного программирования.

Если целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные функции, то задача (1.3) называется задачей квадратичного программирования.

Если целевая функция и ограничения имеют вид

Х1 Х2 … Хn.,

то задача (1.3) – это задача геометрического программирования.

Если целевую функцию можно представить в виде

11

суперпозиции функций

f1 (f2 (f3 …( fk (Х))…))

то задача (1.3) – это задача динамического программирования.

Если целевая функция и ограничения целочисленные функции то задача (1.3) – это задача целочисленного программирования.

Кроме того, в зависимости от вида используемых математических моделей, задача оптимизации может быть детерминированной или стохастической, непрерывной или дискретной, аналитической или алгоритмической, при этом для каждого класса задач имеется свой, в достаточной степени апробированный, математический аппарат. Так, для задач линейного программирования успешно применяется симплекс-метод / 4 /.

Характерной особенностью задач оптимизации в САПР является тот факт, что классические методы нахождения экстремума практически неприменимы, так как в большинстве случаев используются алгоритмические модели. В связи с этим вычисление значений критериев качества и их производных производится численными методами. Поэтому наиболее универсальными и эффективными для задач нелинейного программирования являются методы поисковой оптимизации.

12

Наиболее часто на практике используются следующие методы построения целевой функции (методы векторной свертки частных критериев) : метод главного критерия,

аддитивный, мультипликативный, минимаксный и вероятностный.

В методе выделения главного критерия проектировщик выбирает один, наиболее важный с его точки зрения частный критерий качества, который и принимается за обобщенную целевую функцию.

Требования к остальным частным критериям учитывают в виде ограничений.

f(X)=Kt(X),

где t – номер наиболее важного частного критерия.

Например, задана принципиальная электрическая схема логического элемента и условия работоспособности на следующие выходные параметры: y1 – коэффициент нагружения, y2 – запас помехоустойчивости, y3 – средняя рассеиваемая мощность, y4- задержка распространения сигнала. Необходимо рассчитать параметры пассивных элементов, то есть управляемые параметры – это сопротивления резисторов. В качестве целевой функции может быть выбран один из выходных параметров,

например, y4 ( f(X)= y4 ).

В аддитивном методе каждому из частных критериев

15

качества ставится в соответствие весовой коэффициент s

( вес i-ого частного критерия i=1,…,s, =1 ), i=1

характеризующий важность данного критерия с точки

зрения проектировщика.

При построении целевой функции в аддитивном методе используется соотношение: если f (X) max, то

- f (X) min. Каждый частный критерий включаетcя в

аддитивную целевую функцию по правилу: умножается на

весовой коэффициент и входит в целевую функцию со

знаком плюс или минус.

Чтобы построить минимизируемую целевую функцию

_

f (X) min, все минимизируемые частные критерии Ki(X)

_

( Ki(X) min, i=1,…,t) включают в аддитивную функцию

со знаком плюс, то есть прибавляют к целевой функции, а

i=t+1,…,s) включают в аддитивную функцию со знаком

минус, то есть вычитают из целевой функции:

или, для максимизируемой целевой функции:

где s – общее число частных критериев, а t – количество минимизируемых критериев.

В нашем примере четыре частных критерия K1(X)=y1,

K2(X)=y2, K3(X)=y3, K4(X)=y4, то есть s=4, t=2:

K1(X) max,

K2(X) max,

K3(X) min,

K4(X) min.

Пусть тогда

f(X)= K1(X) K2(X) K3(X) K4(X) max,

или

f(X)= K1(X) K2(X) K3(X) K4(X) min.

В мультипликативном методе используется правило:

если f (X)max, то 1/ f (X)min при условии, что

f (X) В отличие от аддитивного метода, частные критерии не складывают, а перемножают. Кроме того, в

мультипликативном методе не используют весовые коэффициенты. Целевая функция строится в виде дроби.

17

Минимаксный метод построения обобщенной целевой функции получил свое название потому, что в нем минимизируется максимальное отклонение частного критерия качества от его наилучшего, желаемого значения

(технического требования, оговоренного в ТЗ).

где X=(x1, x2.,…,xn), то есть

Логика минимаксного построения целевой функции заключается в том, что в каждый момент времени в качестве главного выбирается тот из частных критериев качества Ki(X), который в наибольшей степени удален от своего желаемого значения Ki*.

В нашем примере (s=4) при желаемых значениях

K1*=0,2; K2*=1000; K3*=25; K4*=1 по минимаксному методу получим:

Другими словами, минимизируется “самый плохой” из

Рис. 2.1

На оси у откладывается величинаKi(X)Ki* для всех

Ki*

частных критериев (i=1,2,3,4 для нашего примера). В случае а) хуже всего удовлетворяет требованиям ТЗ критерий K3(Х), поэтому f(X)= K3(X) K3* , то есть в течение

K3*

Некоторого времени усилия оптимизации будут направлены на приближение критерия K3(X) к его желаемому значению

K3* При этом могут ухудшиться значения других критериев. Например, в случае б) для дальнейшей оптимизации будет выбран критерий K1(X).

20