2847.Исследование операций

3.ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

3.1.Задача линейного программирования

Пример. Пусть техническое задание на проектирование системы управления сформулировано следующим образом.

Разность между значением показателя качества 2 и удвоенным значением показателя качества 1 была не больше 2. Разность между значением показателя качества 1 и удвоенным значением показателя качества 2 была не больше 2. Сумма показателей 1,2 не больше 5.

Разница между показателями 1,2 была минимальной. Найти соответствующие неотрицательные значения показателей 1,2.

Формализуем техническое задание в виде системы ограни-

чений [19, 20]:

Введём дополнительные неизвестные с целью получения системы равенств:

Имеем три уравнения и пять неизвестных. Выразим переменные х3, х4, х5 через х1, х2:

51

3.2. Графическое решение задачи линейного программирования

Приняв х3, х4, х5 = 0 в (3.3), переобозначим переменные для получения геометрической интерпретации задачи оптимизации на плоскости:

Графическая (геометрическая) интерпретация (4) представлена на рис. 3.1:

а) с указанными областями значений х3, б) с указанными областями значений х3, х4, х5 и выделенным «пятиугольником» допустимых решений

Красная линия – график x21 2 2x1 соответствует условию х3=0. Что будет при нарушении этого условия?

Для x21 2 2x1 на рис. 3.1 выделена цветом область,

где х3<0.

Проверим:

1 2 2x1 x2 , x2 3 2x1.

При нулевом значении x1 получаем 3, а не 2, т.е. красная линия смещается вверх.

52

Невыделенная цветом область соответствует х3>0:

1 2 2x1 x2 , x2 1 2x1.

(х5 = 0).

Линия четвёртого уравнения x24 x1 может «двигаться»,

пересекая пятиугольник, образованный рассмотренными выше тремя уравнениями (рис. 3.2).

а) x24 (x1 ) x1

б) x24 (x1 ) x1 3

в) x24 (x1 ) x1 3

Рис. 3.2. Максимизация x1 x2 : а – x24 (x1 ) x1 ,

б – x24 (x1 ) x1 3 , в – x24 (x1 ) x1 3

54

Таким образом, максимальное значение x1 x2 при ограничениях

x3 2 2x1 x2 , x4 2 x1 2x2 , x5 5 x1 x2 .

достигается при x1 4, x2 1 (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Нахождение максимального значения разности x1 x2 , x1 4, x2 1

Мы решили задачу линейного программирования графически- получили неотрицательные значения переменных при заданных ограничениях, т.е. техническое задание на проектирование системы выполнено.

Для решения оптимизационной задачи алгебраически предложен так называемый симплекс-метод (simplex algorithm). Метод был разработан американским математиком Джорджем Данцигом (George Dantzig) в 1947 г. [21].

3.3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Существо симплекс-метода (Simplex Algorithm) состоит в следующем [19–21]. Прежде всего находится некоторое допустимое – базисное решение. Его можно найти, приняв какие-либо n–m переменных за свободные, приравняв их к нулю и решив получившуюся систему уравнений. Напомним, что n – число неизвестных, а m – число уравнений.

55

Если после этого некоторые базисные переменные окажутся отрицательными, то нужно выбрать другие свободные переменные, т.е. перейти к новому базису.

После того, как найдено допустимое базисное решение, проверяется, не достигнут ли максимум целевой функции. Если нет, то ищут новое допустимое базисное решение, но не любое, а такое, которое увеличивает значение целевой функции. После чего процедура повторяется.

Рассмотрим ту же систему уравнений, для которой надо найти неотрицательное решение:

Поскольку n – m = 2, то в качестве свободных можно взять, например, х1, х2.

Приняв их равными нулю, находим базисное решение:

Это решение допустимо, поскольку переменные неотрицательны. Проверку того, не достигнут ли максимум, можно выполнить путём поиска нового допустимого базисного решения, при котором целевая функция будет больше.

Для перехода к новому допустимому базисному решению одну из свободных переменных х1, х2 следует сделать базисной. В нашем примере переменная х1 входит в выражение целевой

56

функции со знаком +. Значит, максимум целевой функции не достигнут, и переменную х1 следует сделать базисной. Возьмём систему уравнений:

Из этой системы видно, что при х2 = 0 увеличение х1 не приводит к уменьшению х3, но уменьшает х4, х5. Так что при х1 = 2 получим:

Таким образом, делаем свободной х4 и переходим к новому базису х1, х3, х5.

Выразим систему уравнений относительно нового базиса. В правой части уравнений должны остаться х2, х4.

Из второго уравнения получим х1:

x1 2 x4 2x2 .

Подставим это уравнение в первое и третье вместо х1:

x3 2 2(2 x4 2x2 ) x2 ,x5 5 (2 x4 2x2 ) x2 .

Получим:

x3 6 2x4 3x2 ,x5 3 x4 3x2 .

57

Выполним подстановку и в целевую функцию:

q' 2 x4 2x2 x2 2 x2 x4 max .

Получаем следующую систему:

Анализируем результат.

Переменная х2 входит в выражение целевой функции со знаком +. Значит, максимум целевой функции не достигнут, и переменную х2 следует сделать базисной. Пусть х2 = 1:

Новый базис х1, х2, х3. Поэтому в правой части должны остаться х4, х5. Возвращаемся к исходной системе уравнений:

58

Подставляем выражение х2 в х1:

x1 2(5 x5 x1 ) x4 2

10 2x5 2x1 x4 2 12 2x5 2x1 x4 2.

Отсюда

3x1 12 x4 2x5

или

Подставим это выражение в выражение для х2:

Наконец, выражения для х1 и х2 подставим в выражение для х3:

Тогда

x3 9 x4 x5 ) ,

т.е.

x1 4 13 x4 23 x5 ;

x 1 1 x 1 x ;2 3 4 3 5

x3 9 x4 x5 .

59

Определим целевую функцию через х4, х5:

Таким образом, при увеличении х4, х5 целевая функция уменьшается.

Поэтому при данном базисе достигается максимум целевой функции и решение имеет вид:

3.4. Табличный симплекс-метод решения задачи линейного программирования [19, 20]

Преобразуем систему уравнений

60