1510
.pdf
|
|
|
Для стержня AC : |
FAC ≥ |
N AC |
|
, где |
FAC = |
πd 2 |
. Тогда |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
[σ] |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
πd 2 |
≥ |
|
|
N AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
N AC |
|
|
4 224,7 103 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
[σ] |
|
|
|
и, следовательно, |
|
d ≥ |
|
π |
|
[σ ]p |
= |
|
π 160 |
106 |
= |
|||||||||||||||
= 0,042 |
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
В соответствии с таблицей нормальных размеров при- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
нимаем |
d = 45 мм. Площадь |
|
сечения стержня |
AC |
стала |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
F |
= |
π d 2 |
|
=π |
|
0, 0452 =15,9 10−4 |
м2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
AC |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Для стержня AB : F |
|
≥ |
|
|
N AB |
|
|
= |
|
530,1 103 |
= 33,1 10−4 м2 = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[σ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 106 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=33,1 см2.
Всоответствии с сортаментом на двутавровые балки по ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 24 с FAB = 34,8 см2.
4. Определим изменение длины каждого стержня. Удлинение (абсолютная деформация) стержня длиной l
при действующей на него сжимающей/растягивающей нагруз-
ки N определяется по формуле |
∆ = |
|
N l |
. |
Относительная де- |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
формация ε = |
∆ |
= |
N |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
EF |
|
|
|
|
|
|
||||
Укорочение стержня AC : |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∆ lAC= |
N AClAC |
= |
N AC l |
|
= |
|||||
|
|
|
|
sin (α |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
EFAC |
) EFAC |
||||||
= |
|
|
|
224,7 103 1,7 |
|
|
=16,18 10−4 м. |
||||||
sin (45D) 2,1 1011 15,9 10−4 |
81
Абсолютное укорочение стержня AC :
ε AC = |
|
N AC |
= |
|
|
|
224, 7 103 |
= 6, 73 10−4 . |
||||
|
|
|
|
|
1011 15,9 10−4 |
|||||||
|
|
EFAC 2,1 |
|
|
||||||||
Удлинение стержня AB : |
|
|
||||||||||
∆ l |
|
= |
N ABlAB |
= |
|
N ABl |
|
= |
||||
|
AB |
|
EFAB |
|
|
sin (180D − α − β |
)EFAB |
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
530,1 103 1,7 |
=13,61 |
10−4 м. |
|||
sin (65D) 2,1 1011 34,8 10−4 |
||||||||
Абсолютное укорочение стержня AB : |
|
|||||||
ε AB = |
N |
AB |
= |
530,1 103 |
|
= 7, 25 10−4 . |
||
|
|
2,1 1011 34,8 10−4 |
||||||
|
|
EFAB |
|
|
5. Определяем перемещение узловой точки A.
План перемещения изображён на рис. 6.3, б. Для определения перемещения точки A предположим, что стержни в этой точке не соединены между собой. Тогда стержень AB удлинится на величину ∆ lAB ( AA′) , и стержень AC укоротится на дли-
ну ∆ lAC ( AA′′). Новое положение точки A (точка A1 ) определится как точка пересечения перпендикуляров к стержням AB и AC, проведённых из конца стержней AB + ∆ lAB и AC − ∆ lAC (вместо
дуг радиусами AB + ∆ lAB и AC − ∆ lAC ).
Определим вертикальное, горизонтальное и полное перемещение точки A .
Для определения вертикального и горизонтального перемещений поставим точки D, E, F , L, какпоказанона рис. 6.3, б.
82
Рассмотрим треугольники ∆ |
AA′F и ∆ AA′′D : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AD = |
|
AA′′ |
|
= |
|
|
∆ lAC |
|
|
|
|
|
|
; |
|
AF = |
|
|
|
|
|
|
|
AA′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∆ lAB |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
cos (α ) |
cos (45D ) |
|
cos (90D − α − β |
|
) |
|
cos−( |
|
25D ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим треугольники ∆ DEA1 и ∆ FLA1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg (90D − α )= |
|
A1E |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ г |
|
|
|
|
, |
|
|
|
∆ = |
|
|
|
|
∆ г |
|
|
|
+ |
|
|
|
∆ lAC |
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DE |
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
− |
AD |
|
|
|
|
в |
|
|
tg ( |
45D ) |
|
|
|
|
cos(45D ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
tg(α + β =) |
|
|
A L |
|
|
|
|
∆ |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
= |
|
|
tg(115D )∆ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
(115D ) |
|
∆ |
l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
AB |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
FL |
|
|
|
∆ г |
− |
|
AF |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(25D ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∆ |
г |
|
|
+ |
|
|
|
|
∆ lAC |
|
|
|
|
|
= tg (115D ) |
|
∆ |
|
г |
|
− tg (115D ) |
|
|
∆ lAB |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
tg ( |
45D ) |
cos(45D ) |
|
cos(25D ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(115 |
|
|
)∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ lAC |
|
|
|
|
|
2,96 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∆ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
10−4 м. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
tg (115D ) − |
tg (45D ) |
|
cos(25 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( |
45 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,96 |
|
|
|
|
|
|
16,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∆ B= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
10−4= |
25,84 |
|
10−4 м. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (45D ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg (45D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Полное перемещение |
∆ = |
|
∆ |
+ ∆ |
= |
|
|
2,96+ |
|
|
|
|
25,84 |
2 |
|
10≈ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈26, 0 10−4 м.
6.Уменьшим вдвое площадь поперечного сечения стерж-
ня |
AC : F = 7,95 |
см2. Для стержня AB |
выберем двутавр 20а |
|
|
|
AC |
|
|
с F |
|
= 28,3 см2. |
|
|
AB |
|
|
|
83
7. Определим максимально допустимые усилия в каждом
стержне. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие прочности |
имеет |
|
|
вид |
σ = |
N |
≤ [σ] , откуда |
||||||
|
|
|
|||||||||||
N ≤ [σ] F и Nmax |
= [σ] F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Длястержня |
AB : N |
AB max |
= [σ |
] |
p |
F |
= 160 106 28,3 10−4 = |
||||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|||||
= 452,8 кН. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для стержня |
AC : N |
AC max |
= [σ] |
p |
F |
= 160 106 7,95 10−4 = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|
=127, 2 кН.
8.Определим наибольшую грузоподъёмность системы. Используем уравнения равновесия
∑Y = −N AB cos (α + β +) N AC cosα( −) P cos (γ ) = 0,
−N AB cos (115D)+ N AC cos (45D) − P cos (40D) = 0,
−N AB max cos(115D)+ N AC max cos (45D)− Pmax cos (40D) = 0,
Pmax = 0,923N AC max + 0,552N AB max = 367, 2 кН.
∑ X = −N AB sin (α + β ) + N AC sin (α )+ P sin (γ ) = 0,
−N AB sin (115D) + N AC sin (45D)+ P sin (40D) = 0,
−N AB max sin (115D) + N AC max sin (45D) + Pmax sin (40D) = 0,
Pmax =1, 41N AB max −1,1N AC max = 498,5 кН.
Таким образом, наибольшая гузоподъемность системы
Pmax = 367, 2 кН.
84
Задание 6.1
Для заданного стального ступенчатого стержня определить перемещение свободного конца стержня и проверить
прочность, если модуль упругости материала E = 2 105 МПа, предел текучести σт = 240 МПа и запас прочности по отношению к пределу текучести nт = 1,5.
Содержание работы:
1.Вычертить стержень в масштабе и указать все числовые
данные.
2.Определить значения продольной силы по участкам
ипостроить эпюру продольных сил N по длине стержня.
3.Определить напряжения стержня по участкам и построить эпюру нормальных напряжений.
4.Вычислить перемещения в стержне и построить эпюру перемещений.
5.Выполнить проверку прочности в сечении стержня, где нормальное напряжение принимает наибольшее значение.
Указание
Числовые данные и виды схем выбираются в соответствии с шифром соответственно по табл. 6.1 и рис. 6.4.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
6 . 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
|
|
Цифра шифра |
|
|
|
|
||
1-я |
|
2-я |
|
|
3-я |
|
4-я |
|
||
|
Схема |
P1, кН |
P2, кН |
P3, кН |
l1, м |
l2, м |
l3, м |
F1, см2 |
F2, см2 |
|
1 |
1 |
40 |
90 |
100 |
0,3 |
0,5 |
0,6 |
5 |
|
10 |
2 |
2 |
45 |
80 |
120 |
0,3 |
0.5 |
0,5 |
4 |
|
12 |
3 |
3 |
50 |
85 |
110 |
0,4 |
0,6 |
0,4 |
6 |
|
14 |
4 |
4 |
35 |
70 |
115 |
0,4 |
0,6 |
0,6 |
4 |
|
10 |
5 |
5 |
40 |
75 |
100 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
5 |
|
15 |
6 |
6 |
50 |
80 |
95 |
0,5 |
0,4 |
0,4 |
6 |
|
18 |
7 |
7 |
60 |
70 |
120 |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
4 |
|
12 |
8 |
8 |
45 |
60 |
115 |
0,4 |
0,3 |
0,6 |
7 |
|
10 |
9 |
9 |
35 |
65 |
110 |
0,2 |
0,4 |
0,4 |
8 |
|
14 |
10 |
10 |
30 |
90 |
95 |
0,5 |
0,5 |
0,3 |
6 |
|
16 |
85
Рис. 6.4
86
Вопросы для самопроверки
1.Какой вид деформации называется растяжением-сжа- тием? Какие внутренние усилия возникают?
2.Какие напряжения возникают при растяжении-сжатии?
3.Какие типы задач можно решать по условиям прочности центрально-растянутого или сжатого стержня?
4.Как определяется удлинение стержня с учетом его собственного веса?
5.Как ведется расчет площадей поперечных сечений ступенчатого стержня?
6.Какопределяетсяперемещениесвободногоконцастержня?
ТЕМА7. РАСЧЕТПРОСТЕЙШИХСОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВКОНСТРУКЦИЙНАРАСТЯЖЕНИЕ, СРЕЗИСМЯТИЕ
В инженерной практике часто встречаются системы, в которых число наложенных связей больше числа уравнений равновесия. В этих системах, используя только уравнения равновесия, невозможно определить ни усилия в связях (реакции опор), ни внутренние усилия, возникающие в элементах конструкций. Такие системы называют статически неопределимыми.
Общая методика раскрытия статической неопределимости стержневых систем
–статическая сторона: составляются уравнения равновесия отсеченных частей бруса для определения опорных реакций
иопределяется степень статической неопределимости;
–геометрическая сторона: составляется план деформационного состояния;
–физическая сторона: на основании закона Гука выражаем деформации или перемещения через неизвестные усилия;
87
– математическая сторона задачи (синтез): решаются совместно статические, геометрические и физические уравнения и определяются неизвестные усилия.
Эта методика позволяет определить температурные и монтажные напряжения в конструкциях, а монтажные напряжения,
всвою очередь, позволяют искусственно регулировать усилия
вних, что широко применяется, например, в сооружениях из предварительно напряженного бетона.
Кроме деформации растяжения или сжатия материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить путем сдвига.
Всоответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Для проверки прочности заклепок применяется общий порядок решения задач.
Основные формулы для расчетов
1. Условие прочности на срез по касательным напряжениям
τср = FРср ≤ [τ]ср ,
где Р – сила; Fср – площадь сечения; [τ]ср – допускаемое каса-
тельное напряжение на срез.
2. Условие прочности на смятие по нормальным напряжениям
σсм = Р ≤ [σ]см , Fсм
где [σ]см – допускаемое нормальное напряжение на смятие.
88
3. Условие прочности на разрыв по нормальным напряжениям
σразр = Р ≤ [σ]разр, Fразр
где [σ]разр – допускаемое нормальное напряжение на разрыв.
Пример 7.1
Абсолютно жёсткий брус, шарнирно поддерживаемый стальными стержнями, длина которых а, нагружен силами Р (рис. 7.1, а). Требуется выполнить проектировочный расчёт (найти площади поперечных сечений стержней), принимая для стальных стержней σтp = σтc = σт.
Дано:
F1 = 2F , F2 = F,
P = 2P, P2 = P, P =10 кН,
1
a = 0,5 м, n = 2,5,
σт = 300 МПа, E = 2 105 МПа.
Решение:
1. Вычертим стержневую систему (см. рис. 7.1, а). Для заданной схемы можно составить три уравнения равновесия, а количество неизвестных реакций четыре (две в стержнях и две в закреплении т. A ). Таким образом, степень статической неопределённости равна единице.
2. В стержнях 1 и 2 возникают усилия, которые препятствуют их деформации, т.е. возникают реакции. Реакции направлены противоположно действию сил (рис. 7.1, б).
Запишем уравнение равновесия:
∑ |
M |
A |
= a N sin (β) − 2a P + 3a P + 3a N |
2 |
sin (α) = 0, |
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|||
где β = arctg |
2a |
|
= arctg (2) . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
89
Рис. 7.1
90