1510

где Qmax – максимальная по абсолютной величине поперечная

сила; S – статический момент; I – осевой момент инерции; b – ширина сечения.

Величина касательных напряжений является функцией

моментов относительно нейтральной линии площадей рассматриваемого сечения, расположенных выше или ниже уровней, в которых сечение резко меняет свою ширину.

Для рассматриваемого сечения такими являются уровни, на которых лежат точки сечения 2 и 3, 4 и 5, 7 и 8 (см. рис. 3.5, б).

Правильнее считать, что точки 2 лежат на бесконечно малую величину выше уровня перехода полки сечения в стойки, а точки 3 находятся на бесконечно малую величину ниже этого уровня. То же самоеможно сказать иотносительноточек4 и5, 7 и8.

Необходимо также вычислить статический момент площади сечения, расположенной выше или ниже нейтральной линии, на которой лежат точки сечения 6.

Поскольку рассматриваемое сечение составлено из прямоугольников, то статические моменты площадей относительно нейтральной линии вычисляются по следующим зависимостям:

Szi = ∫ уi dА,

А

где А – площадь поперечного сечения.

S2;3 = 5t 2t (4,05t − t ) = 30,5t3 .

S7;8 = 5t 2t (3,95t − t ) = 29,5t3.

42

Эпюра зависимости отношения S по высоте сечения изо- b

бражена на рис. 3.5, б. Она построена вправо от вертикальной оси, то есть в положительном направлении, так как поперечная сила Qmax в опасном сечении положительна. Поскольку рас-

43

сматриваемое сечение склеено из прямоугольников, то статический момент по высоте сечения между уровнями, в которых сечение резко меняет свою ширину, изменяется по параболиче-

скому закону. Из эпюры отношения S видно, что касательные b

напряжения при поперечном изгибе не всегда максимальны на нейтральной линии сечения.

Кроме того, из двух мест склейки сечения (точки 3 и точки 7) в более опасном состоянии будут находиться точки 3. Из расчета на прочность клея в этих точках и найдем размеры сечения из условия прочности по касательным напряжениям:

Касательные напряжения будут максимальны в точках 4, в которых сечение деревянное. Найдем размеры сечения в этих точках из расчета на прочность дерева:

В качестве окончательной величины t выбираем большее значение t = 6,9 см.

Задание 3.1

Для консольной стальной балки двутаврового поперечного сечения из условия прочности подобрать номер двутавра по ГОСТ 8329-89, если [σ] = 1600 кг/см2, [τ] = 800 кг/см2.

44

Содержание работы:

1.Вычислить схему балки, указать численные значения заданных величин.

2.Составить уравнения равновесия и определить реакции опор балки. Проверить правильность их определения.

3.Составить уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам и построить эпюры внутренних силовых факторов.

4.Определить опасное сечение балки.

5.Из условия прочности по нормальным напряжениям определить номер двутавра в соответствии с указанным ГОСТом.

6.Произвести проверку прочности по касательным напряжениям и при необходимости увеличить номер двутавра.

7.Построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки.

Указание

Числовые данные и виды схем выбираются в соответствии

сшифром по табл. 3.1 и рис. 3.6.

Таблица 3 . 1

45

Вопросы для самопроверки

1.Что такое плоский изгиб?

2.Какие напряжения возникают при изгибе балки?

3.По какой формуле определяются нормальные напряжения при поперечном изгибе?

4.Как распределяются нормальные напряжения по высоте сечения балки?

5.Какой вид имеет условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе?

6.Какие типы задач можно решать на основании условия прочности?

7.Как определяются касательные напряжения при поперечном изгибе?

8.Как распределяются касательные напряжения по высоте сечения балки?

9.Как записывается условие прочности по касательным напряжениям?

ТЕМА 4. РАСЧЕТ БАЛОК НА ЖЕСТКОСТЬ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Для большинства элементов конструкций, работающих на изгиб, следует производить расчет на жесткость. Под расчетом на жесткость понимается оценка упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов. Для выполнения такого расчета на жесткость необходимо научиться вычислять перемещения балки под действием любой внешней нагрузки. Ось балки под действием нагрузки искривляется в плоскости действия сил и называется изогнутой осью или упругой линией. Деформация изгиба характеризуется двумя параметрами: прогибом и углом поворота сечения.

47

Одним из классических методов определения перемещения балок является метод начальных параметров, разработанный советскими учеными, в основе которого лежит составление дифференциального уравнения упругой линии вида EIy′′ = M (x). Для

использования данного метода необходимо придерживаться следующих правил:

1.Начало координат выбирается с левого конца балки.

2.Сосредоточенный момент необходимо умножить на скоб-

ку ( х− аi )0 , где аi – координататочки приложения момента.

3.Интегрирования дифференциальных уравнений производят, не раскрывая скобок

4.Если распределенная нагрузка не доходит до конца балки, противоположного началу координат, ее необходимо продолжить, а чтобы равновесие не нарушилось, добавить «компенсирующую» нагрузку обратного знака.

5.Постоянные интегрирования находятся из граничных условий – условий закрепления балки:

6. При определении прогиба и угла поворота в заданном сечении необходимо в соответствующее уравнение с найденными из граничных условий постоянными интегрирования подставить конкретное значение x, при этом все слагаемые с отрицательным числом в скобках отбрасываются.

48

Пример 4.1

Для заданной расчетной схемы (рис. 4.1) методом начальных параметров определить прогиб в точке С и из расчета на жесткость выбрать потаблицам сортаментов (ГОСТ 8239-89 и ГОСТ 8240-89)

сечение стальной ( E = 2 105 МПа) балки, если yc ≤ 0, 01 м.

Решение:

1. Вычертим расчетную схему балки с указанием всех численных значений (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

2.Находим величину опорных реакций:

∑M A = q1 2 1 − M + P 1+ RB 2 − q2 2 3 = 0;

RB = 30 + 30 2 3 −10 1 − 20 2 1 = 80 кН. 2

∑M B = q1 2 3 − M − P 1− RA 2 − q2 2 1= 0;

RA = 20 2 3 − 30 −10 1− 30 2 1 =10 кН. 2

Составляем проверочное уравнение:

∑MC = q1 2 5 − RA 4 − M − P 3 − RB 2 + q2 2 1=

=20 2 5 −10 4 − 30 −10 3 − 80 2 + 30 2 1=

=200 − 40 − 30 − 30 −160 + 60 = 0.

49

Следовательно, реакции опор найдены правильно.

3. Составляем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем уравнение углов поворота сечения:

где EIθ0 – постоянная интегрирования.

Интегрируя уравнение углов поворота сечений, получаем уравнение прогибов или уравнение изогнутой оси балки:

где EIy0 – постоянная интегрирования.

Находим параметры EIθ0 , EIy0 , используя граничные

условия. Для данного вида закрепления балки граничными условиями будут являться равенства нулю прогибов в опорных закреплениях:

50