2569

Между прочим, бесконечно удаленная прямая в этом преобразовании, как и прочие прямые, переходит в конику. Такая коника является одной из коник пучка параллельных коник-«прямых», однако она тоже является исключительной и выпадает из понятия параллельности, поскольку является общей для любого пучка коник, моделирующих параллельные прямые разных направлений.

Приведенные нами примеры исключительно просты в своей постановке. По сути дела мы рассмотрели операцию проведения прямой линии через две точки, но представленную в различных геометрических базисах. Несмотря на кажущуюся простоту формулировок задач, мы обнаружили, что их решение требует достаточно мощного геометрического аппарата, а для проведения эксперимента с объектами этих задач нужен специализированный инструмент.

Наступает время подводить итоги. Но перед тем, как это сделать, необходимо, видимо, ответить на возникающие у читателей вопросы: зачем нужно усложнение простого; какую практическую пользу могут принести рассмотренные выше замены понятий; соотносится ли то, о чем было изложено выше, с тем, к чему все мы привыкли и чем пользуемся повседневно; стоит ли всем этим заниматься?

Отвечать на такие вопросы всегда трудно. Трудно не потому, что на них нельзя дать убедительного ответа, а потому, что в ограниченных объемах статьи невозможно осветить широту проблемы в исчерпывающей полноте. Примеры и рассуждения, которыебылиприведеныздесь, – этомизернаяеечасть.

Геометрия – это математическое средство моделирования, область ее приложений неисчерпаема. Ценность модели состоит в ее работоспособности, адекватности, пригодности для осуществления замен одних сущностей другими. Информационный ущерб для лиц, проводящих эти замены, должен быть равен нулю или же сведен к минимуму. Изучение моделей сложных в контексте установления соответствий с моде-

131

лями более простого вида направлено на возможность увидеть в сложном знакомое, понятное и относительно простое. В частности, пример, в котором было кратко рассмотрено преобразование квадратичной инволюции, – это маленький шаг на пути к теории кремоновых преобразований [7, 8], и в нем было показано, что между простыми прямыми линиями и линиями второго порядка можно обнаружить интересную и полезнуювзаимосвязь.

С методами использования кремоновых преобразований в области проектирования авиационной техники можно познакомиться на примере исследований Г.С. Иванова [9]. Даже беглый просмотр этой книги убедит читателя в том, что это мощный аппарат и он не прост для понимания. Но, конечно же, дело не только в этих преобразованиях. Еще раз хочется сказать, что геометрия неисчерпаема.

Приходится признать, что даже в настоящее время у нас нетподлинногеометрическогоинструмента, которыйпозволил бы применять подобный геометрический аппарат в практической проектной деятельности. Ичасто единственнымспособом применить к чему-либо сложную геометрию остается перевод ее метода в аналитическую форму. Поэтому задача создания и развития такого инструмента, который позволил бы ликвидировать эту брешь, дал бы возможность упростить работу с геометрическим аппаратом, экспериментировать с ним, познавать его, видится задачей исключительно важной. В противном случае методынаподобие кремоновых преобразований будут либо невостребованными, либо окажутся доступными лишь немногимпосвященным.

Каким бы хотелось видеть этот инструмент?

Первое и, наверное, самое важное требование: он должен соответствовать духу геометрии, т.е. давать возможность исследователю, учащемуся или проектировщику работать с информацией, представленной в геометрографической форме и постановке.

132

Второе: этот инструмент должен предназначаться для создания, отладки и эксплуатации работающих моделей или, иными словами, специализированных компьютерных программ. Именно это качество К.А. Андреев определяет в геометрии как главное, и инструмент должен соответствовать этому требованию.

Третье: инструмент должен допускать гибкую замену и формирование понятий, их синтез и анализ. Необходимость этогообусловленаобщейметодологиейнаучногопознания.

Рис. 4. Построение фундаментальных точек квадратичной инволюции

Четвертое: инструмент должен поддерживать работу с несобственными объектами, реализовывать все основные преобразования евклидовой (как частной) и проективной геометрии. Это качество позволяет решать геометрические

133

задачи в многомерной постановке. Объекты и операции должны быть определены как для действительных, так и для мнимых геометрических образов.

Эти четыре требования автор считает необходимым выделить как главные: они определяют область проводимых исследований. Конечно, есть и другие требования, но они имеют более частный характер. Их освещение – дело отдельного разговора.

Список литературы

1.Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. – М.: Университетская типография (М. Катков), 1883. – 307 с.

2.Каган В.Ф. Очерки по геометрии. – М.: Изд-во МГУ, 1963. – 572 с.

3.Ворожищев Я.С. Пространства отрицательной размерности и обобщенное понятие пересечения // Вопросы начертательной геометрии и ее приложения: межвуз. сб. науч. тр. – Ярославль: Изд-во Ярослав. политехн. ин-та, 1988. – С. 38–45.

4.Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: Мас-

ка, 2008. – 216 с.

5.Андреев К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий. – М.: Университетская типография (М.Катков), 1879. – 166 с.

6.Вальков К.И. Введение в теорию моделирования. –

Л.: Изд-во ЛИСИ, 1974. – 152 с.

7.Cremona L. Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane // Mem. dell'Acc. delle Scienze di Bologna. – 1861. – Vol. 12. – P. 305–436.

8.Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений // Ом-

ский научный вестник. – 2013. – № 1 (117). – С. 9–14.

9.Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. – М.: Машиностроение, 1987. – 188 с.

134

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В МОДЕЛИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В.А. Короткий

Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск

Рассмотрены алгоритмы моделирования криволинейных поверхностей, опирающихся на трехзвенные или четырехзвенные замкнутые контуры. Для формообразования применяются сегменты конических сечений. Показана возможность моделирования поверхности способом повышения размерности объемлющего пространства. Предложена методика формирования поверхности с помощью кривых второго порядка и направляющих линейчатых поверхностей. Получены уравнения поверхности, натянутой на плоский треугольный или четырехугольный контур.

Ключевые слова: четырехмерное пространство, гиперэпюр, определитель поверхности, направляющая поверхность, степень свободы, эллиптический купол.

CONIC CURVES IN THE MODELING OF SURFACES

V.A. Korotkiy

South Ural State University

The algorithm for modeling curved surfaces, based on three-tier or four-tier closed contours. For shaping are applied to the segments of conic sections. The possibility of modeling the surface by way of increasing the dimensionality of the embedding space. The technique of formation of the surface using the curves of the second order and direction into ruled surfaces. The resulting equation of the surface is drawn on a flat triangular or quadrangular contour.

135

Keywords: four-dimensional space, hyperair the guide surface, the guide surface, the degree of freedom, the elliptical dome.

Свойства поверхности во многом определяются свойствами линий, образующих эту поверхность. Свойства линий, в свою очередь, определяются видом математических функций, описывающих эти линии. Например, при проектировании динамических обводов из множества алгебраических кривых выбирают циркулярные кривые, а среди циркулярных кривых отдают предпочтение циркулярным рациональным кривым как обладающим наилучшими динамическими свойствами (Г.С. Иванов).

В современных САПР основным инструментом моделирования кривых линий сложной формы являются NURBS-кривые благодаря как их свойствам, так и внедрению в международные стандарты CAD/CAM. При этом моделирование поверхности по существу сводится к ее аппроксимации по заданному заказчиком набору координат реперных точек, исходя из заданного порядка гладкости сшиваемой поверхности.

Кривая второго порядка в графических САПР представлена как частный случай рационально параметризованной кубической кривой. При этом отсутствует возможность применения кривой второго порядка в качестве базового формообразующего элемента.

Не противопоставляя методы начертательной и вычислительной геометрии и не пытаясь конкурировать с идеологией CALS, рассмотрим примеры кинематического формирования поверхностей с использованием конических сечений. В рассматриваемых примерах используется программное средство построения сегмента конического сечения, заданного своими точками и касательными [1].

Пример 1. Одним из способов моделирования поверхностей является ключевой способ, в соответствии с кото-

136

рым определитель поверхности содержит некоторое геометрическое условие (ключ), посредством которого задается закон изменения формы образующей. Ключ проекционно связан с главными видами, что позволяет рассматривать чертеж с изображением ключа как чертеж двумерной поверхности, находящейся в четырехмерном пространстве. Обобщенная трактовка всех ключевых способов формирования поверхности как задачи начертательной геометрии четырехмерного пространства E4 дана в [2].

Пусть требуется смоделировать поверхность, свободно натягиваемую на треугольный контур, ограниченный кривыми второго порядка (модель паруса, рис. 1, а). Присваи-

вая узлам произвольные значения координат по оси t, полу-

чаем контур A0B0C0 в E4. Положим, σ0(A0C0)∩η0(B0C0) = = C0Z∞, τ0(A0B0)∩ρ0(C0) = X∞, где ρ0(C0) – плоскость выро-

дившегося в точку C0 звена, противолежащего звену A0B0. При таком выборе базисных инциденций плоскости звеньев A0C0, B0C0 и сами звенья проецируются на Г′(xyt) прямыми A′C′ и B′C′, а проекция на Г′ звена A0B0 определяется из условия его принадлежности плоскости τ0(A0B0X∞) [3].

Формируем в E4 два пучка вспомогательных плоскостей. Будем полагать, что плоскости ωi пучка ω с осью C0Z∞ перспективны ряду точек звена A0B0, т.е. в этом пучке плоскости «пробегают» точечный ряд A0B0 от положения σ0(A0C0) до η0(B0C0). Плоскости δj пучка δ проходят через базисную точку X∞ и через точки пересечения противолежащих звеньев A0C0 и B0C0 вспомогательными гиперплоскостями уровня y = const. Двупараметрическое множество точек пересечения плоскостей пучков δ, ω образует поверхность, «натянутую» на контур A0B0C0 в пространстве E4, проекция которой на Г(xyz) – искомая поверхность, а на Г′(xyt) – отсек конической поверхности с вершиной C′ и направляющей A′B′. В частности, если одна из сторон контура ABC – прямая линия, а две стороны – конические сегменты, то оба семейства образующих поверхности – кривые второго порядка. Оба семейства образую-

137

щих– гладкие кривые, следовательно, получаем гладкую поверхность, в каждой своей точке имеющую единственную касательнуюплоскость.

Поверхность на четырехугольном контуре (фрагмент бортовой обшивки лодки от киля AD до палубной линии BC, рис. 1, в) также моделируется способом выхода в четырехмерное пространство. Выносим контур в E4, придав узлам произвольные значения координат по оси t. Выбираем базис-

ные точки: V0 = Y∞= τ(BC)∩ρ(AD), U0 = Z∞= σ(AB)∩η(CD). Ус-

танавливаем соответствие φ1 между точками звеньев AB и CD посредством вспомогательных гиперплоскостей уровня x = const, а соответствие φ2 между звеньями BC и AD – с помощью гиперплоскостей y = const.

Рис. 1. Четырехмерная модель рыбацкой лодки: а – прообраз; б – модель паруса; в – модель фрагмента носовой обшивки

Пара соответственных в φ1 точек, бегущих по звеньям AB и CD, совместно с базисной точкой Y∞ определяет пучок плоскостей δ, пробегающих от плоскости палубы до киля. Аналогично множество пар соответственных в φ2 точек и

138

базисная точка Z∞ определяют пучок плоскостей ω, пробегающих между шпангоутами AB и CD.

Множество ∞2 точек пересечения плоскостей пучков δ и ω определяет в E4 искомую поверхность, проекция которой на Г′(xyt) – коноид ψ′ с плоскостью параллелизма xt и направляющей коникой B′C′. В подпространстве Г′(xyt) плоскость δ′(M′N′Y∞) пересекается с коноидом ψ′ по кривой второго порядка M′N′. Точечные поля δ′ и δ, вложенные в гиперплоскости проекций Г′(xyt) и Г(xyz), связаны на гиперэпюре перспек- тивно-аффинным соответствием, поэтому в исходном пространстве xyz кривая MN δ также будет участком коники. Множество плоскостей пучка δ индуцирует множество продольных образующих (кривых второго порядка MN) моделируемого отсека поверхности.

Таким образом, если палубная линия BC – участок коники, то, независимо от формы шпангоутов AB и CD, отсек ABCD конструируемой поверхности может быть образован движением дуги кривой второго порядка MN по направляющим AB, CD. При этом форма образующей MN меняется от палубной линии BC до прямолинейного киля AD. Гладкость (дифференцируемость в любой точке) полученной поверхности также доказывается рассмотрением гладкости двух трансверсальных семейств образующих. Сечение M′N′ коноида A′B′C′D′, являющегося проекцией поверхности на гиперплоскость xyt, плоскостью δ′ – алгебраическая кривая 4-го порядка. Кривой M′N′ родственно (перспективно-аффинно) соответствует кривая MN на гиперплоскости xyz (см. рис. 1, в). Следовательно, кривая MN, как и кривая M′N′ – гладкая алгебраическая кривая 4-го порядка. Гладкость (отсутствие изломов) произвольной образующей другого семейства доказывается с использованием третьей проекции конструируемой поверхности на гиперплоскость yzt – коноида, в сечении которого плоскостями, параллельными zt, также получаем кривые 4-го порядка. Семейству сечений zt коноида в пространстве yzt

139

родственно соответствуют образующие в пространстве xyz, заполняющие поверхность между шпангоутами AB и CD (третья проекция фрагмента бортовой обшивки ABCD на рис. 1 условно не показана). Наличие двух семейств гладких образующих на поверхности доказывает ее гладкость (отсутствие изломов). Действительно, наличие излома на поверхности непременно приводит к наличию излома образующих. Но образующие не имеют изломов, следовательно, поверхность в целом также не содержит изломов.

Поверхность в четырехмерном пространстве формируется как двупараметрическое множество точек пересечения двух пучков плоскостей с базисными точками U и V. Нарушение гладкости такой поверхности может происходить только в отдельных (особых) точках. В частности, если ка- кая-либо плоскость β пучка U проходит через базисную точку V другого пучка, то получаем, что все плоскости пучка U пересекаются с плоскостью β в точке V, которая становится особой точкой поверхности. Если точка V – несобственная, получаем разрыв непрерывности второго рода.

Пример 2. Пусть дан прямоугольный в плане пространственный замкнутый контур ABCD, фронтальные звенья AB и CD которого – дуги кривых второго порядка, а боковые звенья AD и BC – произвольные гладкие кривые (рис. 2, а). Требуется построить непрерывную гладкую (не имеющую изломов) поверхность, проходящую через данный замкнутый контур. В этом примере использован кинематический способ формирования поверхности: образующая k2 скользит по направляющим AD и BC, плавно изменяя свою форму от дуги конического сечения AB до дуги CD. Ряд последовательных положений образующей формирует конструируемую поверхность. Потребуем, чтобы образующая k2 во всех своих положениях была кривой второго порядка. Кривая второго порядка на плоскости обладает пятью степенями свободы. Для ее однозначного определения требуется зафиксировать пять элементов (точек и каса-

140