1464

В последних случаях пришлось бы учесть лишь иную природу коэффициента с, а величины А;ср, a, L входили бы в формулы в тех же соотношениях. Отсюда следует, что формулы (7, XVII), (18, XVII), (20, XVII), а также основные качественные выводы о влиянии неодно­ родности проницаемости пласта на одномерный фильтрационный по­ ток остаются справедливыми и для всех перечисленных выше случаев (В.Н. Шелкачев [215]).

Дальнейшие детали исследования одномерных потоков в пластах, с неоднородной проницаемостью см. в книгах Г. Н. Каменского [65

и [6 6 ].

До сих пор в этой главе эффект изменения проницаемости при­ забойной зоны оценивался лишь по изменению дебита скважины при сохранении понижения давления (перепада давления) в ней.

В главе XIV первоначально также исследовалось влияние измене­ ния радиуса скважины только на ее дебит при сохранении понижения давления в ней.

Однако затем был поставлен вопрос о влиянии изменения радиуса скважины на понижение давления в ней при сохранении постоянного дебита. В главе XIV было доказано, что если дебит скважины про­ порционален понижению давления на ее забое (это имеет место при движении несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации в условиях водонапорного режима), то увеличение радиуса скважины во столько же раз увеличивает ее дебит при сохранении понижения давления, во столько раз уменьшается понижение давления при сохра­ нении дебита.

Во всех остальных случаях (при движении сжимаемых жидкостей или газа, или при нарушении линейного закона фильтрации, или в усло­ виях гравитационного режима) изменение радиуса сильнее сказывает­ ся на изменении понижения давления при постоянном дебите, чем на изменении дебита при постоянном понижении давления.

Общность методов исследования данной главы и главы XIV позво­ ляет сделать тот же вывод о влиянии изменения проницаемости при­ забойной зоны на понижение давления в скважине при сохранении по­ стоянного дебита, какой только что был повторен по поводу влияния изменения радиуса скважины.

Соответствующие математические выкладки мы пропускаем, ибо они были бы повторением выкладок, выполненных в предыдущих па­ раграфах данной главы. Читателю рекомендуется самостоятельно про­ делать их в качестве упражнения.

Замечание по поводу возможности обобщения полученных выводов на сферические радиальные потоки уже было сделано в конце § 3.

Задачи о вытеснении нефти и газа водой представляют большой теоретический и практический интерес.

При разработке нефтяных месторождений в условиях водонапор­ ного режима нефть вытесняется в скважины под действием напора контурных вод, при этом происходит продвижение контуров водоносно­ сти.

В главе IX, при рассмотрении вопроса о продвижении контура, водоносности, вязкости и плотности нефти и воды принимались оди­ наковыми. В настоящей главе при решении задач о вытеснении нефти и газа водой мы будем учитывать различие в вязкостях нефти и во­ ды и воды и газа. Плотность нефти и воды принимаем одинаковыми. Это позволяет считать плоскость контакта нефть — вода вертикальной. Следует отметить, что если расстояние от скважин до контура области питания пласта во много раз больше расстояния до контура водоносно­ сти, то при отсутствии подошвенной воды допущение о вертикальности плоскости контакта нефть — вода, даже при небольшом наклоне пла­ стов, не вносит существенной ошибки в результаты решения задачи о вытеснении нефти водой1. То же самое можно сказать относитель­ но допущения о вертикальности контакта газ — вода в тех случаях, когда расстояние от эксплуатационных газовых скважин до контура области питания пласта во много раз больше расстояния до контура газоносности. Вопрос о влиянии различия в удельных весах двух жид­ костей в пласте (нефти и воды) на распределение давлений и поведение скважин рассмотрен в главе XVI. В дальнейших выкладках жидкость (нефть, вода) принимается несжимаемой, пласт — горизонтальным, ре­ жим пласта — водонапорным, фильтрация — происходящей по линей­ ному закону.

Известно, что в ряде газовых месторождений также имеет место водонапорный режим, при котором разработка их сопровождается про­ движением контурных вод, приводящим к уменьшению с течением вре­ мени объема порового пространства газоносной части залежи.

конечно, до тех пор, пока в результате продвижения контура водоносности в пласте (в зоне расположения скважин) не появится подошвенная вода.

От темпа продвижения контурных вод зависит темп падения пла­ стового давления в газовой залежи.

Падение давления определяет падение дебита газовых скважин, что в свою очередь определяет потребное количество скважин для под­ держания заданного уровня'добычи газа из месторождения, продолжи­ тельность периода бескомпрессорной эксплуатации, время необходимо­ го ввода в эксплуатацию компрессорных станций и пр.

От величины возможного продвижения контура водоносности су­ щественно зависит решение задачи о размещении скважин на газонос­ ной площади.

При наличии продвижения воды (которое в течение первых лет может быть не обнаружено) неучет его может привести к большим про­ счетам в запасах газа, вычисленных по фактическим данным о падении давления и добыче газа.

Из сказанного ясно, какое большое практическое значение имеет решение задач о вытеснении газа водой.

§ 1. Одномерная задача о вытеснении нефти водой

Рассмотрим задачу о вытеснении нефти водой к прямолинейной галлерее.

На рис. 145 представлена модель пласта (в плане) применительно к указанной задаче. Обозначим (см. рис. 145):

рк — давление на контуре питания (КП), принимаемое постоян­ ным;

рг — давление в галлерее (Г), также принимаемое постоянным; р' — давление на перемещающемся контуре водоносности (КВ); Ьк — расстояние от контура питания до галлерей; хо — расстояние от контура питания до первоначального положе­

ния контура водоносности, обозначенного на рис. 145 пунк­ тиром;

хв — расстояние до перемещающегося контура водоносности в некоторый момент времени £;

Ь, т и к — соответственно мощность, пористость и проницаемость пла­ ста;

/х„ и /хв — абсолютные вязкости соответственно нефти и воды. Часть пласта, заключенную между контуром водоносности (КВ)

и галлереей (Г), будем называть областью нефтеносности, часть пла­ ста, заключенную между контуром питания (КП) и контуром водо­ носности (КВ), — областью водоносности. Поместим начало координат

в некоторой точке О, находящейся на контуре области питания. За по­ ложительное направление оси X примем направление от контура пи­ тания к галлерее, совпадающее с направлением движения жидкости. Обозначим далее через рн и рв давления в точках пласта, отстоящих от контура питания на расстоянии х и находящихся в области нефте­ носности (рн) или в области водоносности (рв).

Рис. 145. Модель пласта, к одномерной задаче о вытеснении нефти водой.

При одномерном движении жидкости, вязкость которой во всем пласте одинакова (см. § 1 главы IX), скорость фильтрации v и распре­ деление давления р в пласте описывались следующими уравнениями:

Р LK

Как отмечалось в главе IX, в случае одномерного движения изо­ барами являются линии, параллельные галлерее, и каждую изобару, в том числе и контур водоносности, можно рассматривать как кон­ тур питания или как галлерею. Это позволяет на основании фор­ мул (1^3, XVIH) написать формулы распределения давления и скоро­ сти фильтрации в области нефтеносности и водоносности.

Рассматривая движение жидкости в области водоносности, при­ мем за галлерею изобару, совпадающую с контуром водоносности. Тогда для написания формул распределения давления рв в пласте и скорости фильтрации воды vBвоспользуемся уравнениями (2, XVIII)

(10, XVIII)

Определим скорость фильтрации v жидкости:

v = vH= vB.

Согласно линейному закону фильтрации

Дифференцируя равенства (9, XVIII) и (10, XVIII) по х, получим:

Из последних двух уравнений видно, что градиент давления в об­ ласти нефтеносности во столько раз больше градиента давления в об­ ласти водоносности, во сколько раз вязкость нефти больше вязкости воды. Следовательно, пьезометрическая линия, состоящая из отрезков двух прямых линий, имеет излом при х = хв.

Умножая полученное значение градиента давления в области во­

доносности на гВ получим в соответствии с уравнением (11, XVIII) скорость фильтрации жидкости равной

Расход жидкости (дебит галлерей) Q найдем, умножив скорость фильтрации на площадь F вертикального сечения пласта

kF(pK рг)

(13, XVIII)

Рассмотрение уравнений (9, XVIII) и (10, XVIII) распределения давления в области водоносности и нефтеносности и формул (12, XVIII)

ния, преодолеваемого жидкостью при фильтрации. Между тем перепад давления Лр остается постоянным. Это приводит к увеличению скоро­ сти фильтрации, а следовательно, и дебита галлерей. Если рв > /х„, то имеет место обратное явление. Продвижение контура водоносности, увеличивая размеры области водоносности, увеличивает величину об­ щего сопротивления движению жидкости, что с течением времени при сохранении постоянной депрессии Лр приводит к уменьшению скоро­ сти фильтрации и дебита галлереи.

Найдем изменение во времени величины хв, характеризующей по­ ложение контура водоносности.

Скорость движения находящейся на контуре водоносности части­ цы жидкости равна:

Подставляя вместо скорости фильтрации v ее значение из уравне­ ния (12, XVIII), получим:

откуда, разделяя переменные хв и t, имеем:

к\Рк —Рг)

Начальное условие выражается следующим образом:

Хв = £о ПРИ ^ = 0.

Кроме того, примем, что t = Т при хв = LK, где Т — время извле­ чения из пласта всей нефти, в течение которого контур водоносности продвинется от своего первоначального положения до галлереи.

Интегрируя уравнение (14, XVIII) по t в пределах от 0 до t и по хв от х0 до х8, получим:

К(Рк-Р*) *

Формула (15, XVIII) позволяет найти время продвижения конту­ ра водоносности от своего первоначального положения до положения, определяемого координатой хв.

Л. С. Лейбензон считал давление р на перемещающемся контуре во­ доносности постоянным, тем самым принимал вязкость воды равной нулю.

В. Н. Щелкачевым [208] было рассмотрено влияние разности вяз­ костей нефти и воды на вытеснение нефти водой при различных соот­ ношениях между расстояниями от галлереи до контура водоносности и до контура питания.

лой (16, ХУШ), а Тн — время вытеснения нефти нефтью (случай одно­ жидкостной системы).

Величина Тн может быть определена по формуле (11, IX), кото­ рую легко получить как частный случай из формулы (16, XVIII), по­ ложив /1 В= рн:

Ц Р к - Р г )

Разделив уравнение (16, XVIII) на (21, ХУШ) и вводя относитель­ ную вязкость нефти /хо, получим:

По этой формуле В. Н. Щелкачевым были вычислены величины а,

отвечающие различным значениям отношения •Ьк и относительной вязкости /io, Результаты указанных вычислений приведены в табл. 33,