ГЛАВА 7. УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

7.1. А н а л и з упруговязкопластических моделей

Обзор работ по физическим теориям пластичности, вязко- и упруговязкопластичности, выполненных до 1985 года, содержится в статье [64]. В ней подробно рассматривается конститутивная модель неупруго­ го деформирования ГЦК поликристаллического агрегата при больших градиентах перемещений. Поскольку данная статья является одной из основополагающих и весьма часто цитируемых работ по ФТП, пред­ ставляется целесообразным ее детальное рассмотрение. Предлагаемая модель является двухуровневой. Элементом макроуровня является по­ ликристалл, мезоуровня - кристаллит (зерно), способный неупруго де­ формироваться скольжением краевых дислокаций. Связь низшего мас­ штабного уровня с верхним осуществляется осреднением. Как отмечают авторы, модель пригодна для определения текстуры материала и напря­ женно-деформированного состояния при различных историях нагруже­ ния зерен ГЦК-агрегата.

Одной из важных особенностей модели является выбор физически обоснованных законов упрочнения, основанных на экспериментальных данных. В модели описывается деформационное и латентное упрочнение, используются чувствительные к скорости деформирования уравнения со­ стояния и соответствующие параметры материала. Основой предлагаемой модели является конститутивная упругопластическая модель Тейлора- Бишопа-Хилла. В работе предложен ряд модификаций, позволяющий, в частности, решить проблему выбора неединственности активных СС.

М одель мезоуровня

Описание пластического течения, как и многих других моделей ФТП, основывается на работах [164-166]. Некоторые конститутивные соотношения, используемые в данной работе, можно найти в [65, 103]. Зерно деформируется упруговязкопластически, механизмом неупругого деформирования мезоуровня является движение краевых дислокаций. Градиент деформаций (транспонированный градиент места) f записыва­ ется с помощью соотношения Ли [121]:

где E'Q обозначена скорость неупругого тензора Коши-Грина в отсчет-

ной конфигурации Ко (£'0" = ^-(fwT • f - 1)).

Целью дальнейших выкладок является получение ОС упругопла­ стического тела. Для этого вводится в рассмотрение (упругий) потенци­ ал, устанавливается его физический смысл; далее с помощью последне­ го определяется вид искомого ОС в скоростной форме.

Напомним, что существует определение упругих материалов, опи­ рающиеся на понятие потенциала. Такие материалы называются упруги­ ми по Грину или гиперупругими. Для определения потенциала вводится элементарная работа внешних массовых и поверхностных сил [31]:

где б г - виртуальное (возможное) перемещение, 8'А - элементарная рабо­ та (б' свидетельствует о том, что речь вдет не о вариации работы, а о ра­ боте на виртуальных перемещениях). Используя соотношение Коши, теорему Гаусса-Остроградского и уравнение движения сплошной среды, можно показать, что в случае квазистатического нагружения

V

б'А = j e :(V5r)T dV = jk, :|V6r dV

Введенное определение дополняется требованием существования потенциала ф - функции некоторой меры деформации, удовлетворяю­ щей условию

где 8'<р - вариация потенциала. Величина ф характеризует запасенную

в результате деформирования упругую энергию на единицу объема в Ко [31]. Потенциальная энергия тела определяется интегрированием ф по объему тела.

Напомним определение производной F, скалярно-значной функ­ ции F тензорного аргумента А, который в свою очередь зависит от ска­

В дальнейших выкладках понадобится цепное правило для тензо­ ров второго ранга, которое определяется соотношениями:

В работе принимается, что упругость кристалла не зависит от скольжения и определяется удельной энергией упругой деформации ф. Скорость работы напряжений в единице объема зерна определяется со­ отношением

где к - взвешенный тензор Кирхгоффа, равный тензору Коши <т, умно­ женному на det (f), х(к) - сдвиговые напряжения по к-й СС, х(к) = k : . Преобразуем (7.19), используя тензор скорости упругих деформаций Коши-Грина, определенный в разгруженной конфигурации £* [103], соотношения (7.12) i и (7.18):

Используя выражение для производной (7.17) и симметричность тензора £*, найдем скорость изменения величины ф:

когда говорится «тензор, определенный в терминах (или в базисе) той или иной конфигурации», это означает, что компоненты тензора в соот­ ветствующем базисе имеют ясно выраженный физический (геометриче­ ский, энергетический) смысл. Разумеется, тензор в силу своих свойств можно преобразовать в любой другой базис, однако при этом, как пра­ вило, теряется физический смысл его компонент. Поскольку упругие

деформации малы, производную Э2ф можно определить в нуле, ис­

К

пользуя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь вторым порядком. Заметим, что для выявления симметрийных свойств гГ удобно восполь­ зоваться кристаллографической системой координат.

Левую часть соотношения (7.25) в компонентах можно писать следующим образом (вывод предоставляется читателю):

в чем можно убедиться, записав правую часть (7.27) в компонентах. Введем в рассмотрение математический объект П:

Возникает вопрос о природе введенного объекта: является ли он тензором? Заметим, что П образован из компонент тензора 4-го ранга П* в базисе разгруженной конфигурации и полиадного базиса в актуальной конфигурации. Напомним, что тензор - величина инвариантная по от­ ношению к выбору системы координат, в то время как его компоненты

изменяются при переходе к другому базису (по вполне определенному закону [50]). Согласно этому закону при разложении векторов «старого» базиса е,., е' по векторам «нового» базиса е', е" (и наоборот)

Аналогичным образом, взяв за исходную запись тензора А в «но­ вом» базисе, можно показать, что

Сопоставляя (7.29) i и (7.32), (7.29) з и (7.31), легко обнаружить, что ком­ поненты и базисные векторы преобразуются с помощью взаимообратных матриц, что и предопределяет неизменность тензоров при заменах систем координат.

Для решения поставленного выше вопроса (о природе введенного объекта П) расширим обычную алгебру тензорного исчисления новой операцией - позиционного умножения. Рассмотрим ее на примере двух тензоров М (ранга т) и N (ранга п). Позиционным (р, q) произведением ( 1 < р < т , 1 < q < n ) тензоров М и N будем называть тензор L ранга (т + п —2 ), определяемый соотношением:

ров М и N, gy- (контравариантные) компоненты метрического тензора. То, что L представляет собой действительно тензор, можно показать аналогично приведенному выше примеру, доказательство предоставля­ ется читателю.

С использованием введенной операции позиционного умножения

Эе!2 '

Таким образом, П действительно является тензором (4-го ранга), однако отличным от тензора Пх. При этом из приведенных выводов вы­ текает, что левую часть соотношения (7.25) можно представить в виде: f e (гт1 :£*) f eT =П:сГ Следует отметить, что в цитируемой работе приводится несколько иной вид тензора П:

К сожалению, авторам не удалось доказать правомочность такого перехода, вероятно, он не верен.

Преобразуем правую часть соотношения (7.25):

(7.36)

= к - Г к - к Гт

Тогда соотношение (7.25) может быть приведено к виду

Подставим разложение упругой составляющей градиента скоро­ стей перемещения Г на симметричную йеи антисимметричную части we в последнее соотношение:

(7.38)

=k - w e - k+we•k-d* k - k d'

В(7.38) учтено, что deT = de,wer = - w e Группируя слагаемые в соотношении (7.38), перейдем к виду

Проанализируем члены в левой и правой частях соотношения. В левой части учтем, что для металлов, подвергаемых упругопластиче­ скому деформированию, компоненты напряжений на несколько поряд­ ков меньше упругих модулей (случай гидростатического нагружения при сверхвысоких давлениях из рассмотрения исключается), в силу чего 2-м и 3-м слагаемыми в левой части (7.39) можно пренебречь. В правой части, учитывая, что рассматривается геометрически нелинейная про­ блема при произвольных градиентах скоростей перемещений (а следо­ вательно, произвольных we), 2-м и 3-м членами в общем случае пре­ небречь не представляется возможным. Соотношение (7.39) тогда при­ мет вид

нение т?>) принимается одинаковым для всех СС и зависящим от нако­ пленного суммарного сдвига у:

Рассматривается также более сложная форма закона упрочнения. Изменение критических напряжений определяется соотношением

(7.46)

где /гар - функция накопленного сдвига у (7.45) 2. В недеформированной конфигурации каждое т{ск) принимается равным то. Соотношение для /?ар принято аналогичным предложенному в работе [106]:

безразмерный параметр q определяет отношение величины латентного уп­ рочнения к деформационному, h (размерность Па) - параметр, характери­ зующий активное (деформационное) упрочнение, бор - символ Кронекера. Принятый в работе закон латентного упрочнения подтвержден экспери­ ментальными данными [150]. Для компланарных систем отношение ла­ тентного упрочения к деформационному упрочнению близко к 1, для не­ компланарныхизменяется в диапазоне от 1,0 до 1,4. При вычислениях для компланарных СС параметр <7 = 1, для некомпланарных q = 1,4.

Модель поликристалла

В цитируемой работе авторы рассматривают агрегат, состоящий из большого числа зерен. Отклик каждого зерна описывается ОС (7.42). Через Sou обозначается внешняя поверхность поликристалла, ограничи­ вающая представительный макрообъем V.

Рассматривается квазистатическое нагружение, массовыми силами пренебрегается, граничные условия в перемещениях принимаются та­ кими, что деформации являются однородными в образце. Переход от мезоуровня к макроуровню представляет собой осреднение по объему [102]. В предлагаемой модели условия совместности и равновесия вы­

Далее авторами работы принимается существенное допущение, лежащее в основе процедуры осреднения, которое состоит в том, что второе слагаемое левой части (7.51) пренебрежимо мало по отношению к остальным слагаемым. Отметим сомнительность этой гипотезы и от­ сутствие каких-либо попыток ее обоснования со стороны авторов цити­ руемой работы. Тогда (7.51) можно записать:

(7.52)

Полагая F однородным по всему объему поликристаллического агрегата, (7.52) приводится к виду:

(7.53)

Данная модель использовалась для вычисления напряженно-де­ формированного состояния упрочняющегося материала ГЦК-поликрис- талла. Авторы работы отмечают, что предлагаемая модель пригодна для описания формирования текстуры материала. Проанализировано влия­ ние упрочнения на текстуробразование и рассмотрено влияние пара­ метра скоростной чувствительности т на текстурообразование. Хоро­ шее согласование с экспериментами показывают результаты расчетов при принятой низкой скоростной чувствительности (использовано т = 0,005); уменьшение этого параметра приводит к более четко выра­ женной текстуре, что не так хорошо согласуется с экспериментальными данными. В работе представлены обратные полюсные фигуры при раз­ личных схемах нагружения (сжатие, растяжение) и на различных стади­ ях деформирования.

Подробно рассмотрена процедура численного решения. Исследо­ валось поведение поликристаллической меди (закон распределения на­ чальной ориентации зеренравномерный) при растяжении и сжатии в условиях осевой симметрии и плоскодеформированного состояния. Использовались смешанные граничные условия, объемными силами пренебрегалось, принята гипотеза Фойгта; в качестве процедуры опре­ деления осредненных напряжений для представительного объема поли­ кристалла принято осреднение по объему. Приведены результаты рас­

чета развития текстуры, отмечается существенное влияние на её эволю­ цию параметра латентного упрочнения. Представлены расчетные кри­ вые «интенсивность напряженийинтенсивность деформаций» для различных значений параметра латентного упрочнения. Отмечается достаточно быстрый (при е„ = 0 ,1) выход упрочнения на уровень насы­

щения; дальнейший рост интенсивности напряжений при больших де­ формациях (ен >0,4) связывается с формированием текстуры («геомет­

рическое упрочнение»).

Для случая комбинированного нагружения (растяжение - сжатие с одновременным сдвигом) при различных предварительных деформа­ циях растяжения и сжатия построены условные «поверхности текуче­ сти» с различным допуском на неупругие деформации. Из полученных расчетных кривых видно, что предлагаемая модель качественно описы­ вает образование «носика» на поверхности текучести в направлении на­ гружения, уплощение тыльной части поверхности, эффект Баушингера.

К работе [64] вплотную примыкает работа [114]. В работе рас­ сматривается упруговязкопластическая модель неупругого деформиро­ вания поликристалла. В отличие от более ранней работы [64] в [114] учитывается термоактивируемое движение дислокаций; законы упроче­ ния основаны на модели «механического порогового напряжения» (MTS - mechanical threshold stress), предложенной Фоллансби и Куксом [93]. Отмечается, что модель способна описывать отклик материала на макроуровне и эволюцию кристаллографической текстуры. Численное моделирование проводилось для поликристалла тантала (ОЦК-решетка) коммерческой чистоты при деформациях около 60 %; скорость нагру­ жения варьировалась в широких пределах от квазистатического нагру­ жения до скорости деформирования 30 с-1; изменения температуры бы­ ли в диапазоне от 200 до 525 °С.

В цитируемой работе также используется мультипликативное разложение деформационного градиента (транспонированного гради­

гая составляющая, описывающая эффективное движение дислокаций по СС. В силу изохоричности неупругих деформаций det (f”) = 1, det (f) >0.

намических нагружений, в связи с чем предлагается модифицировать это соотношение, опираясь на уравнение Орована.

Скорость сдвига Jt-й СС может определяться соотношением Оро­ вана [147], которое отражает физическую картину движения дислока­ ций при плотности подвижных дислокаций p(i) с модулем вектора Бюргерса Ь:

где v(i) - величина средней скорости движения дислокаций по к-й СС, которая в общем виде является функцией сдвиговых напряжения т(*\

Отмечается, что критические напряжениясдвига характеризуют силу взаимодействия подвижных дислокаций и препятствий, плотность и взаиморасположение этих препятствий:

Для средней скорости движения дислокаций по к-й СС при сдви­ говых напряжениях принимается:

Здесь т(к) (0) - критические напряжения сдвига при абсолютной температуре, равной нулевой, при этом полагается, что превышение сдвиговыми напряжениями на СС значения (0) невозможно.

Сопротивление сдвигу х[к) (0) при абсолютном нуле температуры

называется «механическим пороговым напряжением» (MTS - mechani­ cal threshold stress) [93, 112]. Авторы работы отмечают, что в реальны* материалах в силу флуктуаций микроструктуры скорость дислокаций не

будет изменяться скачком, как в соотношении (7.62), однако «порого­ вый» характер будет проявляться.

При температуре 0 > 0 неупругое деформирование может проте­ кать посредством нескольких физических механизмов. Во-первых, по­ скольку основным механизмом, определяющим величину критического

напряжения , является упругое взаимодействие атомов, то повыше­

ние температуры, которое сопровождается уменьшением модулей упру­

гости, приводит к снижению величины т ^ , поэтому при 0>О

т?> (9) < *{ск) (0) • Во-вторых, что, вероятно, более важно, с повышением

температуры локальные близкодействующие барьеры движению дисло­ каций (с характерным размером менее 10 атомных диаметров) могут быть преодолены при достаточно низких напряжениях сдвига за счет тепловых флуктуаций.

Таким образом, по утверждению авторов, можно разделить барье­ ры для движения дислокаций на два типа: 1) которые могут быть пре­ одолены с помощью термической флуктуаций, и 2) которые непреодо­ лимы за счет термических флуктуаций. Соответственно критическое напряжение сдвига предлагается разложить на две составляющие - тер­ мическую и атермическую:

т(*) _ т(*) (0,микроструктура) + х(к)(0,микроструктура), (7.63)

где xi« - описывает вклад в упрочнение барьеров 1-го типа, х(к>- барь­

ерами 2-го типа. Типичные примерами атермических барьеров являются группы дислокаций, большие некогерентные включения. Напряжения Пайерлса, примесные атомы, лесовые дислокации - барьеры l-ro типа. Следует заметить, что в цитируемой работе не обсуждается вопрос о приемлемости гипотезы об аддитивности вкладов от двух указанных типов барьеров. Также вызывает вопросы явная зависимость атермической составляющей от температуры, возможно, авторы имели в виду косвенное влияние на критические атермические напряжения упругих

ипрочностных свойств дальнодействующих барьеров.

Врассмотрение вводятся эффективные сдвиговые напряжения Тф

определяемые соотношением

где j (0k) = p(k)bl(k)v . Полагается, что для упрощения модели множитель у(0*} можно принять одинаковым на всех СС, обозначив его как у0, вели­ чина у0 имеет порядок у0 * 106 ...107 с '1 Следует заметить, что в общем случае у0 является функцией приложенных напряжений и температуры

[112], однако в цитируемой работе эта зависимость не учитывается.

В работе [112] конкретизируется выражение для свободной эн­

где A - свободная энергия активации, требуемая для преодоления барьеров скольжением без помощи приложенных сдвиговых напряже­ ний, которая в анализируемой работе полагается одинаковой для всех СС и не изменяющейся в случае, если вид препятствий не меняется. Энергия активации AF, лежит в диапазоне:

ДF

0,05<-^-f <2, (7.70)

р.Ъг

где ц - модуль сдвига, Ъ- модуль вектора Бюргерса. Параметры р и q могут принимать значения: 0 < /? < 1, 1<д<2.

При неупругом деформировании кристаллита предлагается ис­ пользовать соотношение:

при 0 = 0Сполучаем Z= 0. Таким образом, делается вывод, что темпера­ тура, превышающая значение 0С, является достаточной для преодоле­

ния дислокацией препятствия посредством термической флуктуации (без приложенных сдвиговых напряжений). Отметим, что соотношение (7.71) представляется несколько непонятным, поскольку действующие касательное напряжение определяется параметрами материала; вероят­ но, подразумевалось критическое напряжение сдвига.

Законы упрочнения

Сдвиговые напряжения k-vi СС определяются согласно соотношению

Последнее соотношение можно преобразовать к более привычно­ му виду, часто используемому в законе Шмида:

О(к)

п(*) = f е_т • п - ортонормированные векторы к-й СС в актуальной кон­ фигурации.

В работе используется закон упрочнения стандартного типа:

где у(Р) - скорость сдвига по (3-й СС, И® - матрица модулей упрочнения (описывает деформационное и латентное упрочнение). Использование модуля скоростей сдвигов ■ДР) отражает то обстоятельство, что упроч-

нение незначительно зависит от направления сдвига. Каждый элемент матрицы Иа^ зависит от истории деформирования.

Поскольку в работе используется разложение на атермическую и термическую составляющую (7.63), то ключевым моментом является определение эволюционных соотношения для внутренних переменных По мнению авторов, для ОЦК-кристаллов, в которых х[к) ха­

рактеризует напряжения Пайерлса, можно принять:

И

р

Следует заметить, что вывод о том, что термические составляю­ щие критических напряжений т*** могут быть постоянными, вызывает

некоторые сомнения, так как к этой составляющей авторы также отно­ сят дислокации леса, конфигурация и плотность которых не могут счи­ таться постоянными.

Матрица модулей упрочнения принимается в виде [150]

где /г*3- параметр деформационного упрочнения, q\ - параметр латент­ ного упрочнения. Отмечается, что q\ не обязательно должен быть по­ стоянным и может, как и h^ зависеть от истории нагружения.

Основной целью данной работы является формулировка конститу­ тивной модели для описания неупругого деформирования поликристал­ лов при сложном нагружения. В связи с этим авторы предлагают ус­ ложнить эволюционное соотношение для параметра $ [76]:

В качестве определяющего соотношения для монокристалла в ци­ тируемой работе выступают термоупругий закон Гука, записанный в разгруженной конфигурации Кх:

где П - тензор 4-го ранга упругих свойств в разгруженной конфигура­ ции, Ь - анизотропный тензор 2-го ранга теплового расширения в Кх, А0 - изменение абсолютной температуры.

Для поликристалла использовались гипотезы, предложенные в ра­ боте Тейлора [164], в соответствии с которыми градиент деформации каждого зерна равен макроскопическому градиенту (расширенная гипо­ теза Фойгта). Для такой модели, подробно рассмотренной в [64], тензор напряжений Коши макроуровня можно записать в виде

где р(п)- объемная доля каждого зерна в представительном объеме по­ ликристалла. Принимая все зерна агрегата одинаковыми по объему, тен­ зор напряжений Коши представим как

Авторы внедрили представленную конститутивную модель в ком­ мерческий конечно-элементный комплекс ABAQUS и провели ряд рас­ четов для изотермического и адиабатического случаев.

7.2. К р а т к и й о б зо р р а б о т

ПО УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ

Одной из первой работ, в которой представлены теоретические результаты, полученные с применением физической упруговязко­ пластической модели, удовлетворительно согласующиеся с экспе­ риментальными данными, была статья [170]. Модель, предложенная в цитируемой работе, базируется на теории термоактивируемого

движения дислокаций (Kroner&Teodosiu (1972), Kratochvil&de Angelis (1971)) и модели Линя.

В предлагаемой модели приняты все гипотезы модели Линя, за ис­ ключением соотношений для определения скоростей (или приращений) сдвигов: предполагается, что скорости сдвигов связаны с касательными напряжениями на кристаллографических системах скольжения вязко­ пластическими соотношениями вида:

у(к) = у0 ехр[-Н0 /(^0)] sinh|V (т(*}- т ^ )],

(7.82)

T(*)> TW, £ = П Т ,

где у0—константа материала, Новеличина энергетического барьера

(Пайерлса); кь - константа Больцмана; 0 - температура (К); v* - кон­ станта, относящаяся к объему препятствий (так называемый активаци­

онный объем); - касательное напряжение и критическое на­

пряжение сдвига в к-й системе скольжения, причем х[к) характеризует сопротивление сдвигу на препятствиях, не преодолеваемых за счет тер­ мической активации, и связано с дальнодействующими полями напря­ жений; К - число систем скольжения (для рассматриваемых в работе ГЦК-кристаллов принято К = 24, т.е. удвоенное число кристаллографи­ ческих систем скольжения); при т(к) < т(ск)скорость сдвига в к-й СС равна нулю. Предлагается эволюционное уравнение для т**’, представ­ ляющее собой модификацию закона упрочнения Тейлора:

*?>= л | ] у <М ^ * , - У Г е х р [ - й ,/(* ,0 )]> к = \ X (7.83) ;=1

где А, В, т, тс - материальные константы, QD - энергия активации

диффузии.

В качестве основы конститутивной модели, как и в модели Линя, используется (изотропный) закон Гука, записанный в скоростях. Чис­ ленная процедура реализуется пошагово, задается история осредненных скоростей полных деформаций (используется гипотеза Фойгта).

Предлагаемая модель была апробирована для случая простого и сложного (на двухзвенных траекториях с изломами на углы 30, 60, 90,

120, 150 и 180°) нагружений поликристаллического алюминия при изо­ термическом деформировании при температуре 200 °С и скоростях де­ формирования от 3x10-5 до 3x10_3 Результаты расчетов находятся

вудовлетворительном соответствии с экспериментальными данными;

вчастности, хорошо описывается эффект «нырка» (резкого падения ин­ тенсивности напряжений в окрестности точки излома траектории де­ формации; с описанием эффекта можно познакомиться в [51]).

Крассмотренной выше работе вплотную примыкает статья [171],

вкоторой более детально рассматривается процедура ориентационного осреднения тензора напряжений. Рассмотрена также модификация мо­ дели для реализации процесса нагружения в пространстве напряжений. Отмечается возможность использования вместо гипотезы Фойгта само­ согласованной модели Кренера.

Вработе [70] рассматривается вариант упруговязкопластической модели со степенным законом течения вида (7.44) и комбинированным (изотропным и кинематическим) законом упрочнения. Используется ад­ дитивное разложение тензоров деформации скорости и вихря на упру­ гую и неупругую составляющие

неупругие деформации осуществляются сдвигом (в силу чего изохоричны); неупругие составляющие в (7.84) определяются соотношениями (7.6) (т.е. для неупругих ротаций принимается полностью стесненная модель Тейлора). Полагается, что скорость ротации решетки определя­ ется упругим спином we В качестве ОС для упругой составляющей принимается изотропный закон Гука в скоростной форме; в качестве меры скорости напряжений используется производная яуманновского типа тензора напряжений Коши:

<rJ = <т + а ■w e- we ■ а .

Предложенная модель встроена в конечно-элементную программу и использована для анализа образования полос сдвига в монокристалле при высокоскоростном деформировании (скорость деформации 103 с-1).

Модификация упруговязкопластической модели, учитывающая наряду со сдвиговой модой деформирование двойникованием, предло­ жена в [107]. Для скоростей сдвигов и скорости изменения объемной

доли двойников использован степенной закон с одинаковым показате­ лем степени; для двойникования предполагается наличие предельной доли двойников, запрещен обратный переход. Градиент скорости пере­ мещений для зерна определяется как сумма трех составляющих: скоро­ сти сдвига в исходной матрице, скорости двойникования и скорости сдвига в сдвойникованной области, взвешенных с объемными долями каждой зоны. Для упрощения процедуры интегрирования соотношения записываются в неизменной отсчетной конфигурации. Приведены при­ меры расчета текстуры для ГЦК- и ОЦК-поликристаллов; из сопостав­ ления с экспериментальными данными следует, что неучет двойникова­ ния ведет к качественно неверным результатам. В [108] описанная мо­ дель расширена включением еще одной моды деформирования - микрополос сдвига. Применение данной модели к ГЦК-поликристаллам с низкой энергией дефекта упаковки позволило описать четыре стадии кривой упрочнения; отмечается необходимость учета образования мик­ рополос сдвига для корректного предсказания эволюции текстуры.

В последние годы физические теории вязкопластичности все шире применяются для решения реальных прикладных задач МДТТ. В работе [71] вязкопластическая самосогласованная модель использована для анализа процесса равноканального углового прессования (РКУ). В каче­ стве представительного объема макроуровня рассматривается совокуп­ ность 500 зерен, которое в каждом проходе подвергается однородной сдвиговой деформации, определяемой углом излома канала. Материал - поликристаллический алюминий, начальные ориентации зерен полага­ ются случайными, распределенными по равномерному закону. Каждое зерно эллипсоидальной формы, окруженное матрицей с эффективными характеристиками, описывается вязкопластической моделью. Предло­ жена простая геометрическая модель дробления зерен, согласно кото­ рой в зависимости от отношения длин большой оси к наименьшей и средней к наименьшей зерно дробится на две или четыре одинаковые части. Ориентация после дробления сохраняется. Приведены результа­ ты расчета напряженно-деформированного состояния, полюсные фи­ гуры, распределение размеров зерен по проходам. Отмечается удов­ летворительное соответствие полученных результатов эксперимен­ тальным данным.

Детальное изложение модели пластичности монокристалла содер­ жится в работе [79]. Приведен общий вид условия текучести на СС:

где р0 - плотность материала, ф(/ \ ф^ \ V P ~ составляющие свобод­

ной энергии на к-й СС, являющиеся явными функциями соответствую­ щих термодинамических параметров состояния R{k), Т(к), Р(к). Из нера­ венства Клаузиуса-Дюгема с учетом независимости термодинамиче­ ских параметров состояния R(k),T {k),P (k) непосредственно следует общий вид эволюционных уравнений для г(к), т**\ р(*’:

Эф' _ Эф(/ }

Р

Э Р{к) ~ д Р(к)'

Далее для построения в рамках термодинамического подхода тео­ рии вязкопластичности монокристалла вводится вязкопластический по­ тенциал:

П = £П *(ф<‘>), где<|)«*» = ф<‘»(х<‘>>г<‘>,т«*»,р<*>,е). (7.89)

С использованием вязкопластического потенциала, учитывая, что пластические деформации реализуются сдвигом по СС, получают сле­ дующее соотношение:

Суммирование в записанных вьцце соотношениях осуществляется по всем активным системам скольжения.

Функция диссипации Ф определяется разностью между мощно­ стью работы напряжений на пластических деформациях и мощностью работы на квазистатическом (или вязком) и кинематическом упрочне­ нии, чему соответствуют два представления функции диссипации:

Относительно соотношения (7.91) необходимо отметить следую­ щее: по сути дела, считается, что часть энергии не диссипирует, а запа­ сается в виде внутренней энергии упругих искажений решетки, энергии взаимодействующих дислокаций, что и описывают 2-й и 3-й члены пра­ вой части. Соотношение (7.92) в этом смысле менее понятно: как пра­ вило, вязкостное трение приводит к рассеянию энергии; вероятно, в данном случае следует помнить о вязкопластичности, т.е. повышение вязкого сопротивления приводит к повышению запасенной упругой энергии, реализуемой при разгрузке.

Приведенная формулировка модели, обозначаемая как ЕВ-модель (Е. Busso), далее сопоставляется с другими известными соотношениями пластичности монокристаллов. В рассмотрение включены модели G. Calletaud и L. Meric е.а. (обозначенные как GC), L. Anand с соавтора­ ми (LA), D. McDowell&R. McGinty (DM). Все указанные модели отно­ сятся к классу упруговязкопластических, однако в рамках моделей GC и LA рассматриваются также варианты с исключением вязких членов. В табл. 7.1 и 7.2 приведена достаточно полная информация обо всех со­ отношениях анализируемых моделей. В табл. 7.1 приведены функции, описывающие вязкопластичность, выражения составляющих свободной энергии, соотношения для сопряженных термодинамических перемен­ ных, характеризующих различные виды упрочнения. В табл. 7.2 содер­ жатся сведения об эволюционных уравнениях для критического напря­ жения сдвига, вязкого сопротивления и остаточных микронапряжений.

Реализация всех рассматриваемых моделей осуществлялась с ис­ пользованием МКЭ и неявной схемы интегрирования по времени. Сопос­ тавление результатов расчета осуществлено для ГЦК-монокристаллов (12 потенциально активных систем скольжения). Идентификация парамет­ ров модели проводилась для случая одноосного нагружения по направле­ нию (ЮО) при квазистатическом нагружении и использовании закона уп­

рочнения Тейлора. Калибровка проводилась таким образом, чтобы влия­ ние вязкостных членов в интервале скоростей деформации 1(Г1-1(Г3 сч было весьма малым. Во всех моделях при калибровке пренебрегалось ки­ нематическим упрочнением (т.е. р* = 0). Все коэффициенты моделей све­ дены в табл. 7.3.

Функции, используемые в моделях пластичности кристаллов

Таблица 7.2

Эволюционные уравнения для различных моделей

i(k) =

LC(EB)

Результаты расчета кривой о - е при растяжении ГЦК-моно- кристалла в направлении [10 0] при скорости деформации 10~3 с-1 для всех четырех вязкопластических моделей обнаруживают удовлетвори­ тельное соответствие.

Анализируются результаты расчетов с использованием указанных вязкопластических моделей при двухосном деформировании монокри­ сталлов. Кристаллографическое направление [10 0] совпадает во всех численных экспериментах с одной из осей главных деформаций^. Для

вторичные СС.

В экспериментах на растяжение-сдвиг использовались оба закона упрочнения - Тейлора и деформационного (Aw= qh=0,0). Здесь отме­

чается существенное отличие результатов, полученных, с одной сторо­ ны, с помощью моделей ЕВ и GC, с другой - LA и DM; в двух послед­ них при напряжениях оп = 210 и 350 МПа соответственно резко акти­

визировались вторичные СС. Данное обстоятельство связано с тем, что в моделях LA и DM учтен разворот кристаллической решетки, что от­ сутствует в моделях ЕВ и GC. Для проверки этой гипотезы были прове­ дены расчеты с использованием модели DM, в которой были отключены

в моделях различные схемы решения нелинейных уравнений, основан­ ные на методе Ньютона-Рафсона; исследованию данного вопроса авто­ ры собираются посвятить будущие работы.

Аналогичное сопоставление осуществлено для всех пяти программ нагружения при использовании упругопластических моделей LA и GC. Во всех расчетах принят закон упрочнения Тейлора (hkl = qh=1,0, p(i) =0). Для случая двухосного растяжения-сжатия траектории нагружения ап - о 22 оказываются близкими; кроме того, обнаруживается их малое от­ личие от траекторий, полученных с помощью вязкопластических моделей LA и GC. Для варианта еп / г 22= 5,33 приведены результаты расчета сум­ марной скорости сдвигов как функции напряжения стп и времени. Для обеих моделей при о,, = 270 и 285 МПа наблюдаются осцилляции сум­ марной скорости сдвига, что авторы связывают с неустойчивостью алго­ ритма в окрестности точек активизации вторичных СС. Проведено также сопоставление номеров четырех первичных и вторичных активируемых систем скольжения и накопленных сдвигов на них; за исключением на­ гружения по траектории еп / е22 = -0,95, где в модели GC не активирова­ лась ни одна из вторичных систем; соответствие результатов следует при-

знать удовлетворительным, учитывая некоторое отличие траекторий на­ гружения (в модели LA в отличие от модели GC напряжение сти достига­

ло в момент активизации вторичных СС нулевого значения). Аналогичное удовлетворительное соответствие получено для программ нагружения рас­ тяжение-сдвиг.

Весьма подробно вопросы построения и применения физических моделей упруговязкопластичности для описания поведения поликристал­ лов в широком диапазоне скоростей деформации (1(Г3-102 с-1) при боль­ ших деформациях (порядка 100 %) и относительно низких гомологиче­ ских температурах (Гг< 0,3) рассмотрены в статье [68]. Как и в большин­ стве рассмотренных выше работ, использовано мультипликативное разложение градиента места и ОС анизотропной гиперупругости (с уче­ том температурной деформации), в котором в качестве мер напряженного и деформированного состояния приняты соответственно второй тензор Пиола-Кирхгоффа и тензор деформаций Коши-Грина, определенные в терминах разгруженной конфигурации.

Пластическое деформирование полагается реализующимся сколь­ жением краевых дислокаций; следует отметить, что, как и во многих других работах последнего десятилетнего периода, закон вязкопластичности выводится на основе уравнения Орована:

где р ^ - плотность мобильных дислокаций, vw - средняя скорость движения дислокаций в к-й СС, причем v{k) равна нулю при |т(*)|<т(с*>

Критическое напряжение сдвига полагается равным сумме двух состав­ ляющих: сопротивления близкодействующих барьеров, которые могут быть преодолены за счет термических флуктуаций даже при напряжениях ниже барьера Пайерлса-Набарро (называемого термической составляю­ щей) т™ и сопротивления дальнодействующих барьеров (называемого

атермической составляющей) (см., например, [93]). Для модуля сред­ ней скорости движения дислокаций принимается соотношение:

где Ax(i) =|т(Лг) - т ^ , 1<к) - средняя длина свободного пробега дислока­

ций, V - характеристический частотный параметр (порядка 1012 с-1),

- свободная энтальпия активации (или свободная энергия актива­

ции Гиббса); направление движения совпадает с направлением сдвиго­ вых напряжений. Предлагается модификация закона упрочнения, рас­ смотренного выше [64], для учета влияния температуры и скорости де­ формации.

Для определения макронапряжений используется процедура осред­ нения Тейлора по представительному объему, включающему 400 зерен. Предлагаемая модель встроена в конечно-элементный пакет ABAQUS. Подробно описаны процедура и результаты идентификации модели, вы­ полненной для чистого (99,987 %) алюминия и алюминиевого сплава (ГЦК-решетка). Для идентификации использованы известные в литерату­ ре экспериментальные данные по одноосному растяжению образцов при нескольких значениях постоянных скоростей деформаций и температур. Полученные параметры были далее приняты для теоретического пред­ сказания поведения материала при одноосном нагружении со скачками по скорости деформаций и температуре; режимы изменения скоростей деформаций и температур выбраны аналогичными реализуемым в из­ вестных из литературы экспериментах. Сравнение расчетных и экспери­ ментальных данных по зависимостям «напряжение - деформация» пока­ зывает хорошее соответствие.

Одним из недостатков моделей поликристаллов, основанных на физических теориях, является необходимость рассмотрения большого количества (сотни и тысячи) зерен со своими ориентациями, что требует существенных затрат процессорного времени. Возможным вариантом уменьшения вычислительных затрат является модель «текстурных ком­ понентов», представленная в статье [75]. Под текстурным компонентом понимается ориентация кристаллической решетки, для которой функция распределения ориентаций (ФРО) имеет локальный максимум. Вместо расчетов для большого числа зерен рассматриваются несколько (в дан­ ной работе - пять, четыре из которых соответствуют указанным локаль­ ным максимумам ФРО, пятый характеризует распределение остальных ориентаций) элементов («псевдозерен»). Для каждого из псевдозерен используется модель упруговязкопластичности со степенным законом течения и изотропным законом упрочнения. Для аппроксимации ФРО

вблизи текстурных компонент принят закон распределения МизесаФишера. Вычисления искомых параметров (скоростей пластических деформаций и напряжений) производятся далее для текстурных компонен­ тов, после чего осуществляется ориентационное осреднение параметров с локальными ФРО. На двух примерах для ГЦК-поликристаллов показано удовлетворительное соответствие результатов, полученных с помощью предлагаемой модели (5 элементов) и модели Тейлора (1000 зерен).

Модификация упруговязкопластической модели, учитывающая поврежденность материала, предложена в [152]. Классическое мультиплика­ тивное разложение градиента места дополнено составляющей, отвечаю­ щей за порообразование и переводящей пластически деформированную конфигурацию в разгруженную. Приведены кинетические уравнения, опи­ сывающие эволюцию пор, связанную с наличием начальных пор, образо­ ванием пор от включений вторичной фазы и коалесценцией. Скорости сдвигов по СС определяются степенным законом; использован гиперупру­ гий закон, связывающий тензор деформаций Коши-Грина и второй тензор Пиола-Кирхгоффа, определенные в разгруженной конфигурации. Для случая одноосного нагружения проанализировано влияние ориентации монокристаллических зерен на процесс накопления поврежденности и кривые «напряжение - деформация». Для поликристаллического агрега­ та меры напряженного и деформированного состояния определяются ос­ реднением по объему; сопоставление кривых а-е при растяжении поли­ кристаллического образца для трех алюминиевых сплавов обнаруживает хорошее соответствие экспериментальным данным.

Результаты применения упруговязкопластической модели для ана­ лиза особенностей деформирования двухфазного сплава (титан + алю­ миний) содержатся в статье [134]. Подробно рассмотрены физические механизмы деформирования и упрочнения двухфазного сплава, основ­ ной объем которого составляет a-фаза с ГПУ-решеткой, остальная часть имеет слоистую структуру из а + P-фаз ф-фаза - кристаллиты с ОЦКрешеткой). Анализируется деформирование представительного объема поликристаллического агрегата; для решения на макроуровне использо­ ван пакет ABAQUS. Особое внимание уделяется идентификации физи­ ческой модели, для чего авторами осуществлены три серии численных экспериментов.

Модели обобщенных континуумов (в особенности - градиентные теории) все чаще применяются исследователями в последние годы для модификации различных физических теорий. Остановимся детальнее на

Тензор скорости полных микродеформаций в 8V полагается ли­ нейной функцией микрокоординат х. Тогда мощность напряжений на единицу объема можно представить соотношением:

(7.98)

В дальнейшем полагается, что

осредненный по 8Vтензор скорости микродеформаций (d) равен тензо­

ру скорости макродеформаций D в точке X, D (X) = (d), a dV = (ц).

Уравнения равновесия и статические граничные условия макроуровня получены на основе принципа виртуальной мощности. В качестве опре­ деляющих соотношений макроуровня использован закон Гука в скоро­ стной форме как для напряжений, так и для парных напряжений:

(7.99)

где 1е- параметр, имеющий размерность длины и связанный с размером области 6V («упругий масштаб»), П - обычный тензор упругих характе­ ристик (4-го ранга).

На микроуровне используется модифицированная модель вязко-

в себя соответственно градиенты скоростей сдвигов и парные напряже­ ния, с помощью масштабных коэффициентов приведенные к размерно­ сти скорости сдвига и обычного напряжения. Закон упрочнения по СС определяется в терминах эффективной скорости сдвига. Принимается степенной закон зависимости эффективной скорости сдвига от эффек­ тивного сдвигового напряжения на каждой СС. Модель замыкается ги­ потезой о равенстве отношений средних по СС скоростей сдвигов и их градиентов (последние умножаются на масштабные факторы) и соот­ ветствующих энергетически сопряженных силовых факторов на каждой СС, причем это отношение равно отношению эффективной скорости сдвига к эффективному напряжению сдвига в каждой СС. Приведены результаты решения модельной плоской задачи о деформировании бик-

ристалла; анализируется влияние на результаты параметров модели (в частности, масштабных факторов).

Отдельную группу составляют модели, являющиеся, по сути, раз­ витием теории скольжения Батдорфа-Будянского [2, 3] и которые пред­ ставляется возможным назвать «квазифизическими». Остановимся на одной из последних работ [157], содержащей краткий обзор моделей данной группы.

В цитируемой работе предполагается, что механическое поведение поликристаллического материала с хорошей точностью может быть описано небольшим (от 5 до 10) числом структурных элементов (СЭ), называемых авторами «зернами» (следует подчеркнуть, что в общем случае СЭ не являются зернами в обычном смысле, каждый СЭ может описывать поведение конгломерата зерен). СЭ выбираются в форме ку­ ба (хотя форма особого значения не имеет), в котором назначаются 6 независимых «систем скольжения»; заметим, что к СС в монокристал­ лах в общем случае (если СЭ действительно не представляет собой зер­ но) эти «системы скольжения» никакого отношения не имеют. Как и в физических теориях упруговязкопластичности, пластические де­ формации полагаются изохорическими, реализующимися сдвигом по введенным «системам скольжения». Используется неизотропный закон упрочнения (деформационное и латентное упрочнение определяются отличающимися модулями упрочнения); кроме того, для «систем скольжения» СЭ учитывается кинематическое упрочнение.

Модель ориентирована на совместное использование с МКЭ с вы­ сокой степенью аппроксимации и применением численного интегриро­ вания по конечным элементам. Каждой точке интегрирования «припи­ сывается» один или несколько (с использованием процедуры осредне­ ния) СЭ с определенной ориентацией; ориентации СЭ устанавливаются в соответствии с полюсными фигурами материала исследуемой области. На уровне конечных элементов (макроуровень) в качестве ОС использу­ ется закон Гука в релаксационной скоростной форме; скорости пласти­ ческой деформации определяются в каждой точке интегрирования из упомянутых выше вязкопластических соотношений для соответствую­ щих (одного или нескольких) СЭ.

Предложенная модель использована для решения нескольких тес­ товых задач (растяжение и простой сдвиг образцов, растяжение тонкой пластины с круговым отверстием). Сопоставление результатов с экспе­ риментальными данными и результатами, полученными с помощью

классической теории течения и физической теории упруговязкопластичности (40 зерен на КЭ), показывает их хорошее соответствие. При этом время расчетов по предлагаемой модели сопоставимо (превосхо­ дит не более чем на порядок при использовании 7 СЭ на точку интегри­ рования) со временем решения по теории течения и в 10-15 раз меньше времени расчета по физической теории.

Во п р о с ы к главе 7

1.Какие модели физических теорий пластичности можно отнести

кклассу упруговязкопластических?

2.Проведите анализ мультипликативного разложения градиента места Ли с позиций преобразования материальных бесконечно малых отрезков из отсчетной конфигурации. Как определяется промежуточная конфигурация?

3.Запишите соотношения для определения неупругих составляю­ щих тензоров деформации скорости и вихря через скорости сдвигов.

4.Выведите соотношение для связи упругих составляющих тензо­ ров деформации скорости и скорости деформаций Коши-Грина.

5.Какие материалы называются упругими по Грину? Каков физи­ ческий смысл упругого потенциала?

6.Приведите определение операции позиционного умножения. Докажите, что объект, получаемый с помощью этой операции, является тензором, определите его ранг.

7.Проверьте выполнение аксиом ТОС для соотношения (7.39).

8.Приведите физические соотношения для скоростей сдвигов (за счет скольжения дислокаций).

9.Приведите кинематические и определяющие соотношения для кристаллита, применяемые в упруговязкопластических моделях.

10.Предложите алгоритм численной реализации упруговязкопла­ стической модели кристаллита.

11.Проанализируйте известные вам законы упрочнения. Проведи­ те их сравнительный анализ.

12.Приведите соотношения для связи тензора напряжений Коши, взвешенного тензора Кирхгоффа, первого и второго тензоров ПиолаКирхгоффа, установите их физический (энергетический) смысл.

13.Приведите соотношения, используемые для осреднения на­ пряжений в модели [64], проведите их анализ.

14.Какие гипотезы могут быть использованы для удовлетворения условий совместности деформаций кристаллитов?

15.Проанализируйте модель «механического порогового напря­ жения» (MTS - mechanical threshold stress), предложенной Фоллансби и Куксом. Укажите недостатки этой модели.

16.Перечислите известные вам модели ротации решетки. Как со­ гласно им преобразуются векторы, задающие СС (n(A), Ь№)? Используя какое предположение, можно записать соотношения:

о(*) о<*) b(i)= f e b ,nw =n Г 1?

17.Проведите физический анализ соотношения для определения скоростей сдвигов (7.82).

18.На основе какого подхода построена модель Е.Р. Busso & G. Cailletaud?

19.Изложите суть модели «текстурных компонентов».

20.В чем состоят основные отличия градиентных физических тео­ рий от классических?

21.Сформулируйте основные положения модели «структурных элементов».

ГЛАВА 8. СТРУКТУРА И АЛГОРИТМЫ

РЕАЛИЗАЦИИ МНОГОУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

8.1. Н а и б о л е е р а с п р о с т р а н е н н а я с х е м а

ПОСТРОЕНИЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЕЙ,

ИХ СТРУКТУРА И КЛАССИФИКАЦИЯ

С конца 70-х - начала 80-х годов прошлого столетия начинаются интенсивные исследования текстурообразования и влияния текстуры на свойства материалов с применением как физических теорий пластично­ сти, так и экспериментальных методов [9, 77, 175 и др.]; краткий обзор способов описания текстуры и современные эффективные методы опи­ сания интересующийся читатель может найти, например, в [153]. Об­ ширный обзор экспериментальных данных, теоретических методов и результатов анализа текстурообразования (главным образом - в про­ цессах прокатки) с 60-х годов XX века по настоящее время содержится в статье [123]; особое внимание уделяется механизмам формирования в ГЦК-металлах двух типов текстуры прокатки - «текстуры меди» и «текстуры латуни».

Классификационными признаками для подразделения многоуров­ невых моделей на классы могут быть выбраны: а) число уровней, вклю­ ченных в рассмотрение, и связанный с уровнями выбор «элементарной ячейки» (в дальнейшем будем называть ее «элементом»); б) модель (ги­ потеза) связи однотипных характеристик различных уровней; в) физи­ ческие теории, положенные в основу нижних масштабных уровней. В настоящее время подавляющее большинство используемых много­ уровневых моделей относится к двухуровневым (макро- и мезоуровни), в качестве элемента мезоуровня в таких моделях, как правило, выбира­ ется зерно; в последние годы появляются трехуровневые модели (с до­ бавлением микроуровня).

При моделировании конкретного процесса число рассматриваемых уровней определяется исследователем. Например, при моделировании неупругого деформирования поликристаллических металлов иерархию масштабных уровней можно определить следующим образом: макроуро­ вень - мезоуровень (уровень кристаллита (зерна, субзерна, фрагмента)) - микроуровень (дислокационная структура) (рис. 8.1). Следует отметить,

иной модели связи уровней может вести к качественно отличающимся результатам; так, в работе [123] указывается, что применение гипотезы Фойгта при исследовании процесса прокатки дает текстуру меди, а ги­ потезы Рейсса - текстуру латуни. Конечно, ни одна их этих гипотез не отражает реальные взаимодействия зерен в поликристалле. При этом в таких моделях обычно не учитывается взаиморасположение элемен­ тов-зерен в поликристалле. В связи с этим значительное число статей посвящено поиску новых способов соединения подмоделей монокри­ сталлов в модель поликристалла. Согласно одному из таких способов параметры процесса предлагается усреднять по результатам расчета

сприменением каждой из указанных гипотез по отдельности. В работе

[139]вводится взвешенное осреднение всех параметров процесса (на­ пряжений, деформаций скорости, скорости поворота решетки), полу­ ченных при применении указанных гипотез. Весовой коэффициент w полагается назначаемой величиной в пределах от 0 (соответствует гипо­ тезе Фойгта) до 1 (гипотезе Рейса). Наряду с взвешенным осреднением полученных по отдельности результатов с использованием гипотез Фойгта и Рейса (линейная модель) предлагается более сложная нели­ нейная модель осреднения. Последняя основана на минимизации функ­

ции г = (1 - w)rd + wra, где гй и г0 соответственно отклонения нормы ло­ кальной деформации скорости от средней и локальных напряжений (в зернах) от средних по поликристаллическому агрегату. Минимизация функции г позволяет определить нелинейную зависимость локальных скорости деформаций и напряжений от соответствующих осредненных величин. В статье отсутствует обоснование выбора критерия «опти­ мального решения».

Е. Кренером было предложено линейное соотношение, связываю­ щее локальные отклонения девиаторов напряжений s(n) и пластических деформаций е(и)р от осредненных (s), (ер^:

(s)-s<M) = т(н)(е<")/’-(ер» , Y

где т(п) - константа материала для и-го зерна. Нетрудно видеть, что по­

лученное соотношение может быть проиллюстрировано структурно­ механической моделью, состоящей из параллельно соединенных «цепо­

чек», каждая из которых содержит последовательно соединенные упру­ гий и пластический элементы с различными характеристиками.

В ФТП используются и более сложные подходы к объединению кристаллитов в поликристаллический агрегат. Один из них, называемый «самосогласованной моделью» (или «моделью среднего поля»), основан на решении краевой задачи об одиночном включении (зерне) в матрице, имеющей осредненные («эффективные») характеристики поликристалла. Аналитические решения подобной задачи возможны только для включе­ ний канонической формы. Известные самосогласованные модели требу­ ют весьма существенных вычислительных ресурсов, в связи с чем боль­ шая часть исследователей предпочитает более простые подходы. С со­ временными самосогласованными моделями можно познакомиться, например, в статье [132]; вариант самосогласованной модели для упруго­ вязкопластической физической теории предложен в работе [154].

Дальнейшим развитием самосогласованных моделей являются так называемые «прямые модели», в которых каждое зерно представляется совокупностью одного или нескольких конечных элементов, для каждо­ го из элементов напрямую используется та или иная физическая теория. Понятно, что в этом случае вопроса о «согласовании» полей перемеще­ ний и вектора напряжений не возникает, непрерывность полей обеспе­ чивается автоматически. Однако модели этого класса являются еще бо­ лее ресурсоемкими, чем самосогласованные.

В связи с тем, что ограничения, накладываемые гипотезой Фойгта, являются слишком жесткими, в начале 80-х годов прошлого века появи­ лись работы по модификации модели Тейлора, основанные на «релакса­ ции» («смягчении») геометрических ограничений [175, 177-180]; рас­ сматриваемые модели относятся к классу «промежуточных» (между моделями, основанными на простых гипотезах (Фойгта, Рейсса), и само­ согласованными моделями).

В связи с отмеченными выше недостатками моделей, в которых принимается та или иная гипотеза однородности, появились «многозеренные» модели, предельным случаем которых являются прямые моде­ ли, основанные на МКЭ. К числу этих моделей относятся следующие [177]: LAMEL, оперирующая с 2 зернами, GLA (8 зерен), новая модифи­ цированная модель ALAMEL (advanced LAMEL). В этих моделях поля деформаций теперь не являются однородными. Тем не менее во всех этих трех моделях осредненные скорости деформаций приравниваются средним предписанным скоростям деформации.

Интересный подход в развитие многозеренных моделей предлага­ ется в [131], названный автором иерархической моделью. Для построе­ ния модели используется так называемое «бинарное дерево», представ­ ляющее собой совокупность узлов и ветвей, причем из каждого узла ис­ ходят две ветви нижележащего иерархического уровня. Высший узел иерархии представляет модель поликристаллического агрегата; элемен­ тами низшего уровня («листьями») являются зерна, для элементов ниж­ него уровня применяется вязкопластическая теория [64].

В работе [97] рассматривается двухуровневая упругопластическая модель. На мезоуровне применяется закон Гука в скоростной релакса­ ционной форме; в качестве меры скорости напряжений использована коротационная «решеточная» производная тензора напряжений Коши. Скорость поворота решетки определяется упругой составляющей тензо­ ра вихря. Коэффициенты упрочнения по СС определяются плотностью накопленных дислокаций; приведено эволюционное уравнение для плотности дислокаций, учитывающее генерацию и аннигиляцию дисло­ каций. Для связи переменных мезо- и макроуровня принимается само­ согласованная схема, основанная на решении Эшелби для эллиптиче­ ского включения.

Представляется необходимым упомянуть о двухуровневом под­ ходе, подробно изложенном в статьях [82, 120, 137, 143, 160], в основу которого положено мультипликативное разложение градиента места мезоуровня, и введен новый градиент места, который авторы называют «тензором мезонесовместности» и полагают его ответственным за не­ однородность упругопластических деформаций в представительном макрообъеме.

В последние годы появились двухуровневые модели, в которых делается попытка учета движения и взаимодействия дискретного мно­ жества дислокаций [86 и др.].

Для процессов деформирования поликристаллических тел, в част­ ности, в процессах обработки металлов давлением, характерна сущест­ венная неоднородность распределения напряжений и деформаций по области деформирования и, как следствие, значительное различие исто­ рий деформирования различных материальных подобластей, их мезо- и микроструктуры.

При использовании многоуровневого подхода исследуемая область на макроуровне заменяется кусочно-однородным с точки зрения историй нагружения аналогом, объем однородных подобластей не должен быть

меньше представительного объема (ПО) макроуровня. Для поликристаллических материалов в качестве ПО макроуровня [36, 37, 39, 51] обычно принимается конгломерат, включающий не менее 7 структурных элемен­ тов мезоуровня по стороне куба (т.е. не менее 343 таких элементов).

В качестве структурных элементов мезоуровня можно рассматри­ вать кристаллиты, представляющие собой модельный однородный ма­ териал. Под кристаллитом здесь понимается идеальный кристалл (с той или иной решеткой), обладающий соответствующими анизотропными упругими свойствами и набором систем скольжения: зерно, субзерно, фрагмент зерна. Совокупность кристаллитов, образующих элемент мак­ роуровня, будем называть поликристаллическим агрегатом (ПКА) [1, 36, 37]. Для моделирования взаимодействия элементов ПКА можно ввести дополнительные структурные элементы, описывающие границы зерен. Ориентацию кристаллической решетки кристаллита удобно опи­ сывать тремя углами Эйлера (или кватернионом), задающими ориента­ цию кристаллографической системы координат (КСК) элемента относи­ тельно лабораторной системы координат (ЛСК), вводимой при поста­ новке макрозадачи.

Поведение представительного объема макроуровня описывается моделью макроуровня, учитывающей геометрические особенности мак­ розадачи и (или) особенности истории макровоздействий. Для ПКА раз­ рабатывается соответствующая модель мезоуровня, учитывающая рас­ пределение ориентаций КСК кристаллитов, особенности границ между кристаллитами (зернами, субзернами, фрагментами), число и располо­ жение в решетке систем скольжения и т.п. В зависимости от поведения материала на макроуровне может понадобиться несколько различных моделей мезоуровня (например, только упругие, упругопластические и/или упруговязкопластические модели).

Рассмотрим более подробно особенности макромодели. Парамет­ рами процесса на макроуровне являются предписанные условия нагру­ жения, которые и определяют эволюцию макронапряжений Е (X, /) и/или макродеформаций, задаваемых некоторой мерой деформации М (X, t), и их скоростей. В качестве определяющих соотношений мак­ роуровня удобно использовать анизотропный закон Гука в скоростной релаксационной форме

где П - тензор модулей упругости, D, Dp - тензор деформации скоро­ сти и его пластическая составляющая, индекс г означает коротационную производную на макроуровне. Пластическая составляющая скорости

деформации Dp и анизотропные упругие свойства П в каждый момент деформирования зависят от микроструктуры (а через нее - от истории нагружения), являясь явными внутренними переменными модели мак­ роуровня [38, 51]. Параметры элементов мезоуровня (ориентации КСК, сопротивление сдвигу по системам скольжения (СС), скорости и накоп­ ленные сдвиги по СС) выступают в качестве неявных внутренних пере­ менных макроуровня, а в качестве замыкающих уравнений, связываю­ щих макро- и мезоуровень, используются соответствующие гипотезы (Фойгта, Рейса, Кренера и др.).

В силу случайного (по тому или иному закону, определяемому по экспериментальным данным) распределения начальных ориентаций КСК кристаллитов набор значений неявных внутренних переменных (например, ориентаций КСК), фигурирующих в модели ПКА, можно считать выборкой случайных чисел. Тогда правила взаимодействия макро- и мезоуровней сводятся к оценке математических ожиданий со­ ответствующего параметра по имеющейся выборке. Например, скорость пластических деформаций (X, t) представительного объема X вычис­ ляется (ориентационным) осреднением выборки скоростей пластиче­ ских мезодеформаций dp для момента времени t по всем кристаллитам, содержащимся в данном ПО [1]. При этом предполагается одинаковость хода времени на макро- и мезоуровнях.

Для определения тензора упругих свойств П на макроуровне можно использовать выборку ориентаций Ф (X, t) КСК кристаллитов ПКА. Преобразуя компоненты тензорВ упругих свойств кристаллитов из КСК в ЛСК, получаем выборку упругих свойств в ЛСК. Затем по одной из моделей (Фойгта, Рейса или ХашИйа-Штрикмана [58]) нахо­ дятся эффективные упругие свойства ПО в ЛСК, которые без дополни­ тельных преобразований, связанных С Поворотами, можно использо­ вать в макрозадаче. По выборке Ф (Л-, t) ориентаций КСК кристаллитов ПКА можно построить функцию распределения ориентаций (ФРО), являющуюся функцией плотности распределения случайной величины (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Схема двухуровневой модели

Как любая методика, двухуровневый подход имеет свои достоин­ ства и недостатки. К достоинствам подхода можно отнести:

♦возможность моделирования мезоструктуры поликристалла (распределение ориентаций КСК зерен, их размер и форму);

♦моделирование макросвойств, существенно зависящих от мезо­ структуры, в частности, анизотропию упругих, пластических и прочно­ стных свойств;

♦относительно простой вид определяющих соотношений макро­ уровня (например, анизотропный закон Гука в релаксационной скорост­ ной форме);

♦возможность распараллеливания вычислений;

♦применимость к решению существенно нелинейных задач. Среди недостатков данного подхода можно отметить:

♦невозможность получения аналитического решения задачи;

♦большое количество неявных внутренних переменных для опи­ сания мезоуровня;

♦большие запросы по ресурсам памяти и времени ЭВМ;

♦высокую трудоемкость разработки программ для ЭВМ. Многие из отмеченных недостатков носят непринципиальный ха­

рактер, особенно в свете развития вычислительных технологий. Напри­ мер, затраты машинного времени можно значительно снизить, исполь­ зуя распараллеливание алгоритма. При этом процедура распараллелива­ ния может быть осуществлена как по отдельным элементам мезоуровня (зернам, фрагментам и т.д.), так и по ПО макроуровня. Для распаралле-

<<т> + < ат >•<«?> + < я 1' ■<т' > + < < т > < а > + < а • я >=

(8.7)

= < П > : (< d > - < d'" >) + < п ':(d' - d'" ) >.

Примем, что согласование напряженно-деформированного состоя­ ния на различных уровнях заключается в равенствах:

Соотношение (8.8) устанавливает, что эффективные свойства и ха­ рактеристики напряженно-деформированного на верхнем масштабном уровне должны быть в точности равны осредненным характеристикам нижнего масштабного уровня.

При условии (8.8) соотношение (8.7) представляется в виде

£ + < ат > £ + £ < а > + < ат' V > + <</ а' >=

(8.9)

= П : (D- < d'” >) + < n ':(d '- d ' )> .

Сравнивая (8.9) с формой определяющего уравнения на верхнем уровне (8.2), можно получить уравнения, связывающие параметры верхнего уровня A, D"’ с параметрами нижнего уровня, обеспечиваю­ щие выполнение условий согласования (8.8). При этом возникают, по крайней мере, два возможных варианта определения A, D'”

В первом случае напрямую сопоставляются левые и правые части соотношений (8.9) и (8.2), откуда следует связи параметров уровней:

Тензор А, определенный согласно (8.10), в общем случае не явля­ ется антисимметричным, -А ФАт В этом случае левую часть опреде­ ляющего соотношения верхнего уровня (8.2) следует трактовать как конвективную производную тензора напряжений Коши. Для рассматри­ ваемых многоуровневых моделей можно показать, что полученная кон­

вективная производная является индифферентной по отношению к на­ ложенному жесткому движению.

Необходимым и достаточным условием антисимметричности А (при условии антисимметричности тензора а и симметрии тензоров на­ пряжений макро- и мезоуровня) является следующее:

производная выродится в коротационную производную. Для получения

Отметим, что трактовка движения подвижной системы координат, определяемой (8.10), достаточно сложна: во-первых, в данной системе координат меняются длины базисных векторов и углы между ними, вовторых, характеризующий движение тензор А явно зависит от Е.

Всоотношении (8.11) к собственно неупругим деформациям до­ бавляется член, характеризующий коррелированные (с флуктуациями компонент тензора упругих характеристик) напряжения.

Вслучае использования в статистических моделях для передачи на

нижний уровень условий нагружения гипотезы Фойгта (d = D, d' = 0) связи (8.10)—(8.11) принимают вид:

При использовании гипотезы Рейсса о = Е , о ’ = О соотношения (8.10)—<8.11) принимают вид:

При антисимметричных тензорах а , т.е. при коротационных про­ изводных на нижнем масштабном уровне в законе (8.3), помимо выше­ изложенного подхода для определения зависимостей A, Dm от парамет-

При использовании гипотезы Рейсса о = L , <т' = 0 соотношения (8.190)-{8.20) принимают вид:

Отметим, что несмотря на различные связи параметров (и разли­ чие в используемых физических трактовках), соотношения (8.13)—(8Л4) и соотношения (8.19)—(8.20) приводят к одному и тому же определяю­

щему уравнению для напряжения £ на верхнем уровне и выполнению условий согласования (8.8).

Таким образом, условие согласования определяющих уравнений различных масштабных уровней приводит к конкретизации вида опре­ деляющего соотношения на макроуровне (и, в частности, - вида незави­ сящей от выбора системы отсчета производной). По существу, соотно­ шения низшего уровня «транспортируются» на верхний, разрешая во­ прос корректной их формулировки для геометрически и физически нелинейной задачи. Действительно, параметры определяющего соотно­ шения верхнего уровня определены с целью выполнения (8.8), и при реализации модели отсутствует необходимость интегрирования опреде­ ляющего уравнения верхнего уровня - достаточно напрямую восполь­ зоваться связью П =< П >, £ =< о >, D =< d >. В то же время следует отметить, что определяющие соотношения верхнего масштабного уров­ ня необходимы для постановки и решения соответствующей краевой задачи исследования деформирования макроскопического тела (детали, конструкции).

При подобном подходе (как и при применении многоуровневого подхода в целом), конечно, возникает вопрос о степени корректности модели низшего уровня, восходящий к известной проблеме замыкания эволюционных и определяющих уравнений (наиболее известным при­ мером может служить проблема замыкания в теории турбулентности). Суть проблемы состоит в том, что при формулировке физических урав­ нений для представительного объема некоторого уровня возникает не­ обходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них и так далее - вниз по «лестнице масштабов». Можно отметить два наиболее употребительных подхода к ее решению. В первом - феноменологическом - параметры, характе­

8.3. К л а с с и ф и к а ц и я вн у т ре н н и х перем енны х и уравнений к о н с т и т у т и в н о й м о де л и н а п рим ере двухуровн ево й

УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

На макроуровне рассматривается представительный объем поликристаллического металла, состоящий из совокупности кристаллитов - элементов мезоуровня.

Конститутивная модель материала на макроуровне принимает­ ся в виде:

Г = £ + ftT -L + E ft = n:D e= n:(D -D “ ),

ft = ft (w (i), П( ) ), / = 1,...,N,

(8.29)

П = П(п(1), o(i)),i =l,...,N,

Din=Din(dJ), n(l,),/ = l,...,tf,

где £ - тензор напряжений Коши, П - тензор модулей упругости, D, De,Dmтензор деформации скорости, его упругая и неупругая состав­ ляющая соответственно, индекс г означает независящую от выбора систе­ мы отсчета производную, ft - тензор, описывающий движение подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно де­ формационное движение [31] на макроуровне. Стоит акцентировать вни­ мание на том, что вопрос однозначного введения независящей от выбора системы отсчета производной, т.е. корректного разложения движения на квазитвердое и собственно деформационное - один из наиболее трудных в нелинейной механике деформируемого твердого тела [31] и, по мнению авторов, не решен до сих пор. Для определения ft предлагается использо­ вать условие согласования определяющих соотношений на различных мас­ штабных уровнях.

Таким образом, неупругая составляющая деформации скорости Dm, эффективные анизотропные упругие свойства П и описывающий движе­ ние подвижной системы координат тензор ft являются явными внутрен­ ними переменными модели макроуровня, в каждый момент зависят от структуры на низших масштабных уровнях (а через нее - от истории нагружения) и определяются с помощью модели мезоуровня (N- число элементов мезоуровня, необходимых для статистического описания представительного объема макроуровня, далее индекс элемента мезо-

скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям <110> [42], у0,п - константы материала: харак­ терная скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений на СС критическим и константа скоростной чувствительности материала [68],

т(к) —действующее в к-й системе скольжения касательное напряжение,

х(к) = b (t)n(*) :<т, #(•) - функция Хэвисайда, К - число систем сколь­

жения для рассматриваемого типа решетки. Отметим, что число систем скольжения в данном случае равно удвоенному числу кристаллографи­ ческих систем (в каждой плоскости противоположным направлениям вектора Бюргерса соответствуют разные системы скольжения), т.е., на­ пример, для ГЦК-кристалла рассматривается 24 системы скольжения, о - тензор текущей ориентации кристаллографической системы коорди­ нат кристаллита относительно фиксированной лабораторной системы координат. Скорости сдвигов, накопленные сдвиги, критические напря­ жения систем скольжения, ориентационный тензор КСК кристаллита являются неявными внутренними переменными мезоуровня.

В качестве определяющего соотношения (уравнения состояния) на мезоуровне выступает закон Гука в скоростной форме (8.30)ь при этом учитывается геометрическая нелинейность: квазитвердое движение [31] связывается с поворотом решетки (кристаллографической системы ко­

ординат); в коротационной производной тензора напряжений Коши <Г фигурирует тензор спина со, характеризующий скорость вращения кри­ сталлической решетки. Таким образом, напряжения характеризуют именно упругие связи в зерне, связанные с изменением расстояний ме­ жду соседними атомами. Различные модели поворота решетки подроб­ но рассмотрены в п. 3.4 (см. также [57]).

Уравнение (8.30)г - кинематическое соотношение, согласно кото­ рому неупругое деформирование кристаллита осуществляется за счет сдвигов по системам скольжения.

Для определения скорости неупругого деформирования dm в мо­ делях поликристаллических металлов может быть использована [52, 53] либо упругопластическая модель на базе модели Линя [21, 38, 42], либо применяемая в настоящей работе упруговязкопластическая модель (8.30)з, в которых dm (как и со) связывается со скрытыми внутренними переменными мезоуровня, характеризующими дислокационное сколь-

жение—скоростями сдвигов Y по системам скольжения, к =1,..., К

(К —число систем скольжения для рассматриваемого типа решетки), критическими напряжениями т[к), тензором о текущей ориентации кри­ сталлографической системы координат зерна относительно фиксиро­ ванной лабораторной системы координат. Уравнение (8.30)4, описывает эволюцию критических напряжений сдвига по системам скольжения.

Для передачи воздействия, производимого на макроуровне, на низшие масштабные уровни в модели применяется гипотеза Фойгта, со­ гласно которой тензоры деформации скорости для каждого кристаллита совпадают с тензором деформации скорости макроуровня d = D .

В конститутивной модели мезоуровня соотношения (8.30)i - урав­ нение состояния, ( 8 .3 0 ) з- ( 8 . 3 0 ) 4 - эволюционные уравнения, в качестве замыкающих выступают уравнения (8.30)2, (8.30)5. Классификация внутренних переменных макро- и мезоуровня сведена в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Параметры конститутивной модели поликристаллических металлов на разных масштабах

8.4. М о д е л ь п о в о р о т о в к р и с т а л л и ч е с к о й р е ш е т к и ,

УЧИТЫВАЮЩАЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МЕЗОУРОВНЯ

Как уже отмечалось выше (см. п. 3.4), наиболее распространенны­ ми среди исследователей моделями повоторов кристаллической решет­ ки зерен (далее используется термин «ротации») являются две: модель «полностью стесненного» поворота по Тейлору (3.18) и модель так на­ зываемого «материального поворота» (3.22). В качестве серьезного недос­ татка этих моделей следует отметить отсутствие в них учета микровзаимо­ действий соседних зерен в поликристалле; по существу, взаимодействие кристаллитов осуществляется на макроуровне за счет используемой гипо­

тезы связи уровней (Фойгта, Рейсса и др.). При рассмотрении поликристаллических материалов, для которых можно пренебречь взаимодействи­ ем дислокаций в соседних зернах, например, при наличии «толстых» границ аморфного строения в полимерных полукристаллических мате­ риалах, применение данных моделей достаточно обоснованно. Однако для металлов экспериментально подтверждено (например, в работах В.Е. Панина [54], В.В. Рыбина [34]), что существенную роль в поворотах решетки играет несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах.

Вообще говоря, в литературе можно найти достаточно много работ по физическим теориям (в иностранной литературе - crystal plasticity), в которых так или иначе вводятся вращательные степени свободы для кристаллической решетки и строятся кинетические уравнения для пово­ ротов. К принципиальным сложностям таких моделей следует отнести как физическую непрозрачность описания поворотов и причин, приво­ дящих к ним, так и неучет влияния на разворот данного зерна несовме­ стности движения дислокаций в рассматриваемом и в соседних зернах. К одной из немногих работ по физическим теориям пластичности, в ко­ торых рассматривается вопрос описания разворотов в поликристалле при помощи явного введения моментных напряжений, относится работа [111], кратко изложенная в п. 3.3. Анализируя рассмотренную работу, остановимся на тех моментах, которые не позволяют использовать ее

вданном исследовании:

♦в работе не приводится физическое обоснование соотношения (3.16) для моментных напряжений, неявно предполагается независи­ мость моментных напряжений от несовместности пластических дефор­ маций в соседних зернах, не указывается физический объем, к которому приложены моментные напряжения;

♦рассматривается поворот, связанный с мгновенной скоростью вращения материальных отрезков, в данный момент образующих орто­ гональную тройку, совпадающую с главными осями меры скорости де­ формации, пренебрегается упругими искажениями решетки;

♦не учитывается пороговость необратимых разворотов, что при­ водит к появлению поворотов элементов уже при малых деформациях.

Введем дополнительные термины, необходимые для описания эво­ люционирующей структуры поликристалла, которые будут использо­ ваться в дальнейшем. Под «элементом ротации» (ЭР) будем понимать любую структурную составляющую микроструктуры (зерно, субзерно, фрагмент) или их совокупность, способную к разворотам как целое, с со­

хранением (с приемлемой точностью) правильного кристаллического строения решетки составляющих, их взаиморасположения и взаимоориентации (рис. 8.3). Здесь следует отметить, что, вообще говоря, размер ЭР, претерпевающего разворот, заранее не известен. Более того, экспе­ рименты показывают, что с увеличением интенсивности деформаций ха­ рактерные размеры разворачивающихся элементов структуры изменяют­ ся [10, 28, 34]. Для определения ЭР в каждый момент деформирования в работе вводится еще один тип структурных элементов, которые в каж­ дый момент деформирования могут образовывать ЭР (по определенному алгоритму, о котором будет изложено ниже). Под «зерном» будем пони­ мать наименьший объем материала, который (по крайней мере, на на­ чальный момент деформирования) с приемлемой точностью можно счи­ тать монокристаллическим телом. Под «фрагментами зерна» будем по­ нимать микрообласти материала, разориентированные относительно друг друга на углы порядка нескольких минут или градусов [34]. Надо отме­ тить, что введение понятия «элемент ротации» не подменяет понятий «зерно» и «фрагмент зерна», так как, вообще говоря, в произвольный мо­ мент деформирования в качестве ЭР могут выступать и фрагмент, и группа фрагментов, и зерно (и даже совокупность зерен).

Рис. 8.3. К выделению структурных элементов

В работах [40, 41] одной из причин разворотов решетки зерен (кроме так называемого «материального» поворота) считается несовме­ стность сдвигов по системам скольжения в соседних зернах (модели­ рующих, в свою очередь, движение дислокаций). Тогда скорость изме­ нения вектора поверхностного момента, действующего на часть грани­ цы анализируемого зерна (фрагмента зерна) в результате сопротивления

переходу дислокаций из анализируемого зерна (фрагмента) в соседние ( т = 1 , М ), можно определить как сумму

где ( )г - соответствующая коротационная производная (вопрос о ее вы-

\ш

( m l - составляющая скорости вектора момен­

та, обусловленная несовместностью сдвига в данном фрагменте со сдви­ гами в соседнем т-м фрагменте, М - число соседних фрагментов.

Эволюция вектора-момента т шопределяется следующим соот­

где X - экспериментально определяемый (в Па • м ) параметр, N - внешняя для анализируемого фрагмента единичная нормаль к границе

с соседним фрагментом, [lpT] - скачок пластической составляющей градиента скорости, определяемый согласно соотношению

'j

где у ', уЯт) - скорости сдвигов, Ь', ЬЛш) - единичные векторы по на­

правлениям векторов Бюргерса, п ', пл'") - нормали для систем сколь­ жения в исследуемом и соседнем фрагментах соответственно, К - число систем скольжения (для ГЦК-кристалла с учетом удвоения - 24).

Вкратце проанализируем соотношение, следующее из (8.32)—(8.33):

'j 12

1)В соотношении (8.34) явно учитываются несовместность сдви­ гов и ориентация границы.

2)Рассмотрим случай отсутствия сдвигов в соседнем зерне (что согласно модели эквивалентно нахождению зерна в жесткой оболочке).

разность пластических составляющих деформаций в зернах п и п\ Однако имеется ряд отличий между предлагаемым соотношением (8.34) и содержа­ щимся в цитируемой работе (8.35):

- в соотношении (8.35) используется симметричный тензор де­ формации, что представляется не совсем корректным с точки зрения описания движения дислокаций (вторая часть ориентационного тензора не соответствует реальной СС),

— соотношение (8.35) не предполагает пороговости: изменение вектора начинается, как только начинается пластическое деформирова­ ние в соседних зернах, что также не соответствует физике процесса. Для обеспечения пороговости «решеточного» поворота вводится силовой фактормоментные напряжения, чтобы затем явно задать критерий реализуемости решеточного поворота в замыкающем уравнении для связи спина решетки с моментными напряжениями.

При этом стоит отметить, что в работе [34] делается попытка обоснования соотношения (8.35) на основе физических и математиче­ ских посылок: вводятся дислокации ориентационного несоответствия, тензор их плотности ДВ(|Ш>), выводится уравнение для изменения В(ш0

в зависимости от деформации, затем автор приходит к соотношению (8.35). Соответствующие выкладки были проведены как для соотноше­ ния (8.35), так и для соотношения (8.34). Несмотря на ряд возникших при этом вопросов, такой путь - построение феноменологических моде­ лей путем анализа физики процесса на меньших масштабных уровнях - представляется продуктивным.

Определим вид коротационной производной, которую необхо­ димо применить в соотношениях (8.31)—(8.32) для соблюдения прин­ ципа материальной индифферентности. Пусть на элемент ротации, а также на все фрагменты, которые его окружают, накладывается пово­ рот как жесткого целого. В этом случае очевидно, что и вектор (тен­ зор) моментных напряжений испытает такой же поворот. Также от­ метим, что при расчетах для отдельного фрагмента все величины (деформации скорости, напряжения, тензор упругих свойств, сдвиги по системам скольжения, моменты) определяются с точки зрения на­ блюдателя, находящегося в кристаллографической системе координат; к этой же системе координат жестко «привязан» материал фрагмента. Поскольку вращение КСК осуществляется по отношению к лабора-

торной системе координат (ЛСК) как жесткого целого (вместе с мате­ риалом), то для удовлетворения принципа материальной индиффе­ рентности необходимо выбрать тип коротационной производной, «привязанной» к угловой скорости вращения кристаллической ре­ шетки, следовательно,

где ft - тензор спина кристаллической решетки фрагмента, определяе­ мый в каждый момент деформирования как тензор, ассоциированный с вектором угловой скорости вращения решетки <о, ft = —в о , G - тензор Леви-Чивита.

Тогда окончательно для поверхностных моментов имеем:

т=1

где по индексу т нумеруются составляющие момента на отдельных фасетках данного элемента ротации (кристаллита).

Скорость поворота (спин) решетки о представляется суммой двух составляющих. Первая составляющая ю, описывает поворот решетки вместе с материалом зерна при наложенном кинематическом воздейст­ вии, назовем эту составляющую «материальным поворотом». Связывая материальный поворот с ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию, данную составляющую предлагается определять как ojj = wr, . Вторая составляющая скорости поворота to2 («решеточ­

ный поворот») характеризует ротацию собственно решетки кристалли­ та, обусловленную взаимодействием с окружением.

Составляющая спина решетки ю2 определяется соотношением:

т=0

критическое моментное напряжение, определяемое экспериментально, рс=Цс(^/)- Тензор моментных напряжений ц ассоциирован с вектором

поверхностного момента ш ( ш = ^ - € : ц , р = - € т ) .

Согласно (8.39) составляющая спина решетки со, характеризует вращение решетки кристаллита, инициированное несовместностью движения дислокаций в соседствующих кристаллитах.

8.5. Ал г о р и т м реали зац и и двухуровневой

УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Рассмотрим алгоритм численной реализации двухуровневой моде­ ли, представленной в п. 8.3; для определенности в качестве связей ис­ пользуются соотношения (8.27)-(8.28), рассматривается кинематическое

нагружение представительного объема, т.е. VV(/) задан (при моделиро­

вании процесса одноосного или двухосного нагружения в процедуру добавляется корректировка D для обеспечения соответствующего на­ пряженного состояния [48]).

Математически задача сводится к интегрированию системы обык­ новенных дифференциальных уравнений. Для интегрирования выбрана неявная схема Адамса-Моултона второго порядка. Известно, что неяв­ ные схемы обладают большей устойчивостью по сравнению с явными схемами; при этом схема Адамса-Моултона хорошо подходит для ре­ шения обыкновенных дифференциальных уравнений с сильно нелиней­ ными правыми частями, что имеет место в рассматриваемом случае.

Разностный аналог метода Адамса-Моултона второго порядка для

dy

дифференциального уравнения — = f ( x , y ) на шаге te[tk,tk+l],h =tk+l- t k dx

реализуется согласно следующему уравнению [5]:

h

Поскольку для рассматриваемой системы уравнений аналитиче­ ское решение системы типа (8.40), как правило, не существует, то у к+1

предлагается находить с помощью итерационного процесса вида:

Завершение итерационного процесса производится при выполнении условия Ь С ’ - < £, е >0 - заданное малое число. Сходимость про-

2

цесса наблюдается при малых шагах интегрирования h <— , К - кон-

К

станта в условии Липшица для правой части исходного дифференциаль­ ного уравнения.

В качестве начального приближения выбирается у^\ - ук . Тогда на первой итерации получаем решение

Уш=Ук + ^ [ f ( x k,yk)+f ( x k+ltyk) ] « y k +h -f(:

соответствующее использованию явной схемы Эйлера, имеющей первый порядок аппроксимации. Далее,

= Ук + 2 [ Л хк’Ук) + / { хк+1’У к + Ь -/{хк’Ук))]’

что для рассматриваемого одномерного случая соответствует схеме Рунге-Кутта второго порядка

16) Находятся скорости критических напряжений и критические напряжения на конец шага:

стей и значений на конец шага остальных переменных мезоуровня для первой итерации (индекс кристаллита опущен). Разделение на два цикла выполнено для реализации предлагаемой модели поворота, где спин решетки кристаллита зависит как от скоростей неупругих сдвигов в нем так и от скоростей неупругих сдвигов в соседних зернах.

2а) Определяется скорость моментных напряжений относитель­

(^ )'п(‘Х1)= - е - ( т гГ (*х,),/н = 1,..,М,

м

( | . Т Х1)= 2 > ')

т=1

26) Находится «решеточная» составляющая поворота со,:

где О™* - компоненты О в лабораторной системе координат.

Аналогичные преобразования для компонент произвольного тен­ зора второго ранга Т на R3*принимают вид:

грКС К _Q JICK ЛСКQ JICK __ х-^ЛСК0 Я С К у»ЛСК

2и) Определяются значения b[*+Ixl),n[*)+lxl),m[*+l)(1),c(*+1)(l),B(*+1)(1)

(по 0 (i+lxl) и известным компонентам в кристаллографической системе координат с использованием вышеприведенных соотношений).

2к) Находятся скорости напряжений и напряжения:

в<*Х1) = <о(*Х1) • «(4) - <у<*>• o (iX,) +п(*) :(D -d“(*xl)) ,

<y( * + i X i ) = < J ( * ) + A / < j ( * X i )

3. Вычисления на макроуровне

За) Определяются значения внутренних переменных макроуровня: - тензор спина

а ( * Х 1 ) = < ю ( * Х 1 ) > ?

- тензор эффективных упругих свойств, его флуктуаций, флуктуа­ ций деформации скорости, спина и напряжений:

П(Л) =<n(i) >,

p t * ) 7 _ р ( * ) _ < р < * ) j ' " ( * X i / _ j ' " ( * X i ) _ < j '" ( * X i ) >

Ю(*Х1/ = Ю(*Х1)_ < ю(*хп > , <,(*>' = „(*>_ < 9т >,

- неупругая составляющая тензора деформации скорости

1ул(*х1) =< ) 1• < п(Аг)/: d/w(*xl)/ > —

£(*+1X1) = £(*) + д t £(*XD

И. Вьшолняется вторая итерация схемы Адамса-Моултона, нахо­ дятся значения переменных на конец шага.

Вычисления на мезоуровне

1. В цикле по кристаллитам осуществляются вычисления скоро­ стей сдвигов, скоростей критических напряжений, определяются сдвиги и критические напряжения на конец шага для второй итерации (индекс кристаллита опущен).

1а) Определяются скорости сдвигов, скорость деформации и сдви­ ги на конец шага:

2. В цикле по кристаллитам осуществляются вычисления скоро­ стей и значений на конец шага остальных переменных мезоуровня для первой итерации (индекс кристаллита опущен).

- неупругая составляющая тензора деформации скорости

] У » ( * Х 2 ) = < d <«(*X2) > + ^ р |(* + 1 Х 1 ) j _ 1 . < П (* + 1 Х 1 / . d < » (* X 2 )' > _

- (n (i+lxl) )"*:(< © (*Х2)/ • о(*+1Х1>' > - < в (*+»Х1/. Ю(*Х2У- > у

36) Находятся скорости напряжений и напряжения после второй итерации.

Таким образом, в результате вышеприведенных операций будут определены значения всех необходимых переменных на конец шага.

Отметим, что затраты машинного времени можно снизить при ис­ пользовании параллельных вычислений: разбивать всю выборку кри­ сталлитов, соответствующую представительному объему макроуровня, на несколько частей, расчеты на текущем шаге для которых проводить на отдельных вычислительных узлах.

Во п р о с ы к г л а в е 8

1.Назовите основные классификационные признаки многоуровне­ вых моделей.

2.Какие гипотезы применяются в многоуровневых моделях для связи переменных различных уровней? Проведите их анализ.

3.Опишите элементы мезоуровня, используемые в многоуровне­ вых моделях, приведите их основные характеристики.

4.Какое физическое уравнение обычно используется в качестве определяющего соотношения на макро- и мезоуровне?

5.Приведите схему построения двухуровневой модели, перечис­

лите ее достоинства и недостатки.

6. Опишите процедуру согласования определяющих соотношений двухуровневой модели.

7. Приведите основные понятия, используемые при построении модели ротации решетки. В чем состоит отличие предлагаемой модели

«решеточного поворота» от известных моделей ротации (Тейлора, «ма­ териального поворота»)?

8.Запишите соотношение для определения вектора моментных напряжений, проведите его физический анализ для случая одиночного скольжения дислокаций при различной ориентации СС и границ кри­ сталлита.

9.Приведите и проанализируйте соотношение для скорости «ре­ шеточного поворота».

10.Приведите алгоритм реализации метода Адамса-Моултона для ОДУ с векторными переменными.

11.Опишите алгоритм реализации двухуровневой упруговязко­ пластической модели.

12.Предложите модификацию вышеуказанного алгоритма для ис­ следования неизотермических процессов деформирования.