962
.pdf
Рис. Расчетная схема процесса соударения
Достижение поставленной цели в задаче о столкновении двух тел с использованием аналитических зависимостей классической теории удара сводится к решению системы векторных уравнений [1].
m1(V1 −vr1) = S1 nr1 , |
|
|
|
|||||||
m2 (V2 −vr2 ) = S2 nr2 , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
J1 (Ω1 −ω1 ) |
= S1 (r1 ×n1 ) , |
|
||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
, |
J2 (Ω2 −ω2 ) |
= S2 (r2 |
×n2 ) |
||||||||
1+ |
1 |
r |
r |
|
|
|
|
|
||
S = |
|
ε |
(U |
1 |
nr +U |
2 |
nr |
) , |
||
|
|
|||||||||
|
D |
|
1 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
131
где vi – скорость i-го ТС до удара; Vi – скорость i-го ТС после удара; Ji – момент инерции i-го ТС;
ωi – угловая скорость вращения i-го ТС после удара вокруг вертикальной оси;
Ωi – угловая скорость вращения i-го ТС после удара вокруг вертикальной оси;
S – ударный импульс, действующий на ТС;
ri– радиус-вектор, имеющий начало в точке центра масс, конец – в точке приложения ударного импульса i-го ТС;
Ui, ui – относительные скорости точек в месте соударения тел после и до удара;
ε – коэффициент восстановления;
ni – единичный вектор, направленный по нормали (линии удара). Единичный вектор показывает направление действия ударного импульса S на транспортные средства.
На практике при решении подобных задач эксперт располагает ограниченным количеством исходных данных, а именно, могут быть известны значения следующих величин:
Vi – скорость i-го ТС после удара; Ji – момент инерции i-го ТС;
Ωi – угловая скорость вращения i-го ТС после удара вокруг вертикальной оси;
ri– радиус-вектор, имеющий начало в точке центра масс, конец – в точке приложения ударного импульса i-го ТС;
γ – угол между радиус векторами ri;
ni – единичный вектор, направленный по нормали.
С учетом ранее принятых допущений, а также при условии, что известно значение коэффициента восстановления, имеется пять неизвестных величин: v1, v2, S, ω1, ω2. Кроме того, неизвестным следует считать положение линии удара – задача не может быть решена без дополнительной информации о направлениях ударных импульсов.
Анализ характера соударений при большинстве ДТП показывает, что на момент соударения импульсы от линейных скоростей направлены вдоль продольных осей соответствующих транспортных средств – автомобили движутся прямолинейно, не вращаясь. Таким образом, можно считать известными значения скоростей вращения ТС в момент
132
перед столкновением: ω1 = ω2 = 0 . В этом случае становится возмож-
ным определение ориентации линии удара относительно транспортных средств.
Зная, что ударный импульс одинаково воздействует на транспортные средства, уравнения (3) и (4) можно свести к одному:
|
J |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
J |
|
|
r |
r |
|
|
||
|
(Ω −ω ) |
= |
|
(Ω −ω ) |
, |
||||||||||||||
|
1 |
|
r |
|
1 |
r |
|
1 |
|
|
2 r |
2 r |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(r1 |
|
×n1 ) |
|
|
|
|
(r2 ×n2 ) |
|
|
||||||||
или, после преобразований: |
|
Ω1 |
−ω1 |
|
|
|
|
rr×nr |
|
|
|||||||||
|
|
|
J1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
= |
|
r1 |
r1 |
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
J |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Ω |
|
−ω |
|
|
|
r2 ×n2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное произведение |
(rri |
×nri ) |
имеет |
свой геометрический |
|||||||||||||||
смысл в уравнениях (3) и (4): модуль произведения численно равен кратчайшему расстояниию от центра масс i-го ТС до линии действия ударного импульса (см. на рисунке 1 отрезки hi). Умножая модуль полученного произведения на скаляр импульса S, получаем момент им-
пульса, что соответствует численному значению левой части уравнения – Ji (Ωri −ωri ) .
|
r |
Считая |
|
ω1 = ω2 = 0 , |
легко |
найти |
соотношение |
|||||
J1 |
|
|
rr1 |
×nr1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω1 |
= |
|
|
= |
h |
, а значит, и положение линии удара. Точное поло- |
||||||
|
r |
|
r |
r |
|
1 |
||||||
|
|
|
||||||||||
J2 |
Ω2 |
|
r2 |
×n2 |
|
h2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
жение линии удара можно вычислить аналитическим или графическим способом. Предпочтение следует отдавать первому способу, как наиболее точному. Ниже представлена система уравнений, соответствующих геометрическим зависимостям величин в соответствии с рис. 1:
|
|
|
J1 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||
|
h |
= |
|
|
|
Ω1 |
|
|
, |
(7) |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
h2 |
J2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Ω2 |
|
|
|
|
|||||||
sin(χ) |
|
|
r1 |
|
|
|
|
= h1 , |
(8) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
sin(ψ) |
|
r2 |
|
|
|
= h2 , |
(9) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
χ+ψ+ γ =180 , |
(10) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133 |
Решение системы без труда позволит найти значения χ, ψ – углов ориентации линии удара относительно двух ТС.
Анализом установлено, что положение линии действия ударного импульса относительно сталкивающихся транспортных средств может быть найдено для всех случаев косого соударения, когда известно, что на момент соударения автомобили не совершали вращательного движения вокруг вертикальной оси (двигались линейно).
Список литературы
1.Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической ме-
ханики. – СПб.: Лань, 1998. – 736 с.
2.Иларионов В.А. Экспертиза дорожно-транспортных происшествий: учебник для вузов. – М.: Транспорт, 1989. – 255 с.
Получено 16.08.2010
134
Научное издание
ВЕСТНИК ПГТУ
ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ, ТРАНСПОРТ, БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ
№ 2
Редактор и корректор И.Н. Жеганина
За достоверность научных результатов ответственность несут авторы публикации
Подписано в печать 14.09.2010. Формат 70×100/16.
Усл. печ. л. 10,97. Тираж 100 экз. Заказ № 183/2010.
Издательство Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.