всем аргументам, то теорему Осгуда можно доказать, например, методом последовательных приближений [11].

Физическое обоснование разрешимости нелинейной систе­

•закон сохранения заряда (электрохимический баланс реакции);

•закон сохранения массы и энергии реагирующих веществ;

•выполнение второго начала термодинамики и т.д.

Исходя из физического смысла переменных - времени и концентрации реагирующих веществ - накладываем следую­ щие ограничения на аргументы системы (3.6):

0 < х <Т 0 < y ] < l,0 < > ,2 ^1J 0^>,3-^

Тогда в качестве области W достаточно принять замкнутый параллепипед и рассмотреть в нем две точки с координатами

м ” (х ,у {, у 2, у 3) и М* (х,У1, у 2,Уз)-Тогда условие (3.9) мож­

но трактовать как некоторое расстояние между точками М

иМ * внутри заданного параллелепипеда.

3.2.Задачи, связанные с системами линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Задача 1. Провести исследование и определить кинетиче­ ские кривые для последовательной реакции первого порядка.

За основу выберем реакцию каталитического окислитель­ ного дегидрирования бутенов в дивинил. Она подробно рас­ смотрена в работе [17]:

где A - бутен-1; В - транс-бутен; С - цисбутен-2; D - дивинил. Кинетика реакций представляется следующей системой

линейных однородных дифференциальных уравнений:

dCA(t)

— — кз +k2^CA4* k^Cg + к

dГ

dCfl(Q

= — (kj + k5 + kg^Cg + k2C A+ k6Cc ,

где kj(i = 1,2, ..., 9) - константы скоростей псевдомолекулярных реакций; СА, Св, Q-, ..., Со - концентрации соответствую­ щих реагентов в газовой фазе.

Ставится задача определить кинетические кривые для из­ вестных констант скоростей реакций при заданной постоянной температуре Т.

Следуя работе [17], введём обозначения

CA(t) =y^x), CB(t) = y 2(x),

k \ = k \ - V , к2 =кg =1; к*9 =0,5 и зададим следующие начальные условия:

СДО) = 0,1; Сй(0) = 0,2; Сс(0) = 0,3; CD(0) = 0.

Учитывая, что CD(t) может быть определена интегрирова­ нием 4-го уравнения системы (3.10) после того, как найдены CA(t), CB(t), Cc (t), размерность системы (3.10) можно умень­ шить, исключив из неё 4-е уравнение.

Тогда система (3.10) запишется следующим образом:

dv.

—Т = -2,5у, +у2 + у3,

Система (3.13) имеет ненулевое решение, когда ее опреде­ литель Д = 0, то есть

Уравнение (3.14) называется характеристическим. Развернем определитель (3.14) по правилу Саррюса и, при­

ведя подобные члены, получим кубическое уравнение

Найдём корни гь г2, г3 из решения кубического уравне­ ния (3.15).

Любое кубическое уравнение ar3 + br2 +cr + d = 0 можно преобразовать к приведенному виду z3 +3pz + 2q =0 подста­

В зависимости от соотношений между р и q корни приве­ денного уравнения вычисляют с помощью тригонометрических или гиперболических функций на основании табл. 3.2.

Найдем теперь

z, = -2 • (-0,86602) • cos 13°6' = 2 • 0,86602 • 0.9739 = 1,6868,

z2 =2 (-0,86602)-cos(60°-13°6') = = -2 • 0,866027 • 0,68327 = -1,1835,

z3 =2- (-0,86602) • cos(60° + 13°6') = = -2 • 0,87 • 0,29070 = -0,5035.

По найденным значениям z\,z2и z3найдем r\, г2и ry.

Из решения системы (3.21) находим значения констант

dCA _ dt

dCя _

-

dt

(3.24)

dCs_ _ dt

dCи _

— k{CACB + k2CRCs,

l dt

где k\, k2 - константы скоростей соответственно прямой и об­ ратной реакций; СА, Св, Сд, Cs - концентрации соответствующих веществ.

Ставится задача определить кинетические кривые для из­

= у{х) = y \ t = x и учесть (3.25), то систему (3.24) можно преоб­

Уравнение (3.26) есть частный случай общего уравнения Риккати типа

Подставим исходные данные в уравнение (3.28): 7*i -к2 =70,5-0,75 = 0,35;

Получим с —JC= 1,43 - In У-0,4 у + 2,4

Найдем теперь постоянную С] из начальных условий у(0) = 1; отсюда С, = 1,43-lnO, 176 = -2,47.

Выражая у как функцию от х, получим

0,4 + 0,118-е~°’7*

1-0,49-е43'7-'

Сделаем окончательную замену

0,4 + 0,118-е~°'7'

1-0 ,49-е'0'7'

Взаключение отметим, что рассмотренные задачи п. 3.2 привели нас к трансцендентным функциям, взятым над полем

действительных чисел.

3.3. Некоторые нелинейные системы дифференциальных уравнений первого порядка

вприкладных задачах химической кинетики

Врамках этого пункта остановимся лишь на задачах, встречающихся в химической кинетике, которые классифициро­ ваны в табл. 3.1. При этом будем придерживаться общих заме­ чаний, сформулированных в п. 3.1.

Задача 1. Найти концентрации С|} С2, С3 реагирующих веществ для реакций типа I табл. 3.1 при постоянной температу­ ре Т =Т0 = const и приведенных скоростях реакций К* - К \ =

= К] = 1 для заданных начальных условий:

Л “ 1- * + — е - х - - * е - 2 * ,

ч

у 3=1-хе-х - - е ~ 2х

34

Сучетом обозначений кинетики химических реакций полу­ чаем ответ:

с,(0 = 1-0,5<Г',

c3(t) = 1-хе~‘ - 0 , 25е~2'

Задача 2. Задача о нахождении концентраций реагирую­ щих веществ как функций времени t при постоянной темпера­ туре и приведенных скоростях реакций (равных единице).

Остановимся на задаче второго типа системы (3.6) из табл. 3.1. Система имеет вид

а^у- = ф - с ) у 2у 3,

QX

время, а, Ь, с - некоторые действительные произвольные пос­

тоянные.

ешаем систему, как и в случае задачи 1, методом интегри­ руемых комбинаций. Система (3.34) удовлетворяет условиям теорем Пиано и Осгуда, следовательно, она разрешима. Умно­ жим первое уравнение системы (3.34) на у х, соответственно

второе ~на у 2 и третье - на у ъ и сложим. Приходим к первой комбинации

Составим теперь вторую интегрируемую комбинацию, для чего первое уравнение системы (3.34J умножим на а , второе

уравнение умножим на Ъ и третье уравнение умножим на с и сложим

Объединим полученные комбинации в систему

\ау2+Ьу\ +су2 =с„

(3.37)

\ a 2y 2+b ly 2 y c 2y l = c 2.

Для простоты дальнейшего изложения положим в системе (3.37) о = 1; b = - 1; с = 2. Тогда система имеет вид

у] - у 2+ 2у\ = с,,

(3.38)

у \ + у \ + *у\ =с2.

Решаем систему (3.38) относительно у 2 и у3. Складываем пер вое уравнение системы со вторым

Введем величину

g\

g l - v g l

и назовем ее абсолютным инвариантом.

Таким образом, мы показали, что уравнение (3.45) может

которое приводится к функции Вейерштрасса х(х)- Из этого уравнения вытекает, что

где у х= х(* + С*), х{х) - функция Вейерштрасса.

Интеграл (3.52), называется эллиптическим интегралом первого рода, рассмотрен нами в пункте Д. 2.4.

Зная решение у^ формулы (3.52), не составит труда найти у2 и уз системы (3.34). Таким образом, задача полностью решена. Отметим то обстоятельство, что функция у(М|) - есть многочлен четвёртой степени, не содержащий кратных корней.

В заключение этого пункта остановимся на частных слу­ чаях полученного уравнения (3.43)

Пусть —= b , тогда можно записать

и уравнение распадается на два уравнения (случай кратных корней)