773
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.Н. Лихачева, Л.М. Онискнв
Лекции по высшей математике
Часть 1
Пермь - 2011 г.
ББК 22Л4+22.151.5 В 152 УДК 517
Рецензент: к.ф-м.н. доцент каф. Прикладной математики ПГТУ Осечкина Т.А.
Лихачева Н.Н., Онискив Л.М.
В 152 Лекции по высшей математике. Часть 1.: Учебник/Перм.Нац.Иссл. Политехи. Ун-т.-Пермь, 2011.-132 с.
Настоящий курс лекций предназначен для студентов всех специальностей ПГТУ, изучающих высшую математику. Первая часть книги содержит необходимый материал по четырем разделам курса высшей математики: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Теоретический материал по всем разделам сопровождается рассмотрением примеров. Изложение теории ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Утверждено на заседании кафедры ПМ ПНИПУ Протокол № 1 от 23.09.2011г.
Утверждено на заседании Ученого Совета Строительного факультета ПНИПУ Протокол № 2 от 26.09.2011г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Элементы линейной алгебры.
§ 1. Матрицы........................................................................................................... |
6 |
1.1.Основные понятия.
1.2. |
Операции над матрицами и их свойства.................................................. |
7 |
§ 2. |
Определители................................................................................................ |
11 |
2.1. |
Понятие определителя. |
|
2.2. |
Свойства определителей........................................................................... |
12 |
§ 3. |
Невырожденные матрицы............................................................................ |
16 |
3.1. |
Понятие обратной матрицы. |
|
3.2. |
Вычисление обратной матрицы............................................................... |
18 |
3.3. Ранг матрицы.............................................................................................. |
20 |
|
§ 4. |
Системы линейных алгебраических уравнений....................................... |
23 |
4.1.Основные понятия.
4.2. Матричная запись системы линейных уравнений |
.................................24 |
|
4.3. |
Исследование системы s линейных уравнений |
|
|
с п неизвестными..................................................................................... |
25 |
§ 5. |
Решение систем линейныэ^равнений........................................................ |
27 |
5.1.Матричный способ решения системы линейных уравнений.
5.2. |
Правило Крамера....................................................................................... |
28 |
5.3. |
Метод Гаусса.............................................................................................. |
30 |
5.4. |
Решение однородных систем линейных уравнений............................. |
35 |
Глава 2. Векторная алгебра. |
|
|
§6. |
Векторы.......................................................................................................... |
39 |
6.1. |
Основные понятия. |
|
6.2. |
Линейные операции над векторами........................................................ |
40 |
6.3. |
Проекция вектора на ось............................................................................ |
43 |
6.4. |
Линейная зависимость векторов............................................................... |
44 |
6.5. |
Координаты вектора.................................................................................. |
48 |
§7. |
Скалярное произведение векторов............................................................. |
53 |
7.1.Определение скалярного произведения.
7.2. |
Алгебраические свойства скалярного произведения............................ |
54 |
7.3. |
Геометрические свойства скалярного произведения. |
|
7.4. |
Вычисление скалярного произведения в координатной форме......... |
55 |
7.5. |
Механический смысл скалярного произведения..................................... |
56 |
|
3 |
|
§ 8. |
Векторное произведение векторов.............................................................. |
57 |
8.1. |
Определение векторного произведения. |
|
8.2. |
Алгебраические свойства векторного произведения............................. |
59 |
8.3. |
Геометрические свойства векторного произведения............................ |
60 |
8.4. |
Вычисление векторного произведения в координатной форме............ |
61 |
8.5. |
Механический смысл векторного произведения..................................... |
62 |
§ 9. |
Смешанное произведение векторов............................................................ |
63 |
9.1.Определение смешанного произведения.
9.2.Геометрический смысл смешанного произведения.
9.3. |
Вычисление смешанного произведения в координатной форме......... |
65 |
||
Глава 3. |
Аналитическая геометрия на плоскости. |
|
||
§ 10. |
Прямая на плоскости................................................................................ |
67 |
||
10.1. |
|
Уравнение линии на плоскости. |
|
|
10.2. |
|
Прямая линия на плоскости..................................................................... |
68 |
|
10.3. |
|
Различные виды уравнения прямой на плоскости............................... |
69 |
|
10.4. |
|
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и |
|
|
|
|
перпендикулярности прямых................................................................ |
75 |
|
10.5. |
|
Расстояние от точки до прямой.............................................................. |
78 |
|
§11. |
Кривые второго порядка.......................................................................... |
79 |
||
11.1. |
Эллипс....................................................................................................... |
80 |
||
11.2. |
Гипербола................................................................................................. |
84 |
||
11.3. |
Парабола................................................................................................... |
89 |
||
11.4. |
Преобразование координат на плоскости и приведение общего |
|
||
|
|
уравнения второго порядка к каноническому виду.......................... |
92 |
|
§ 12. |
Параметрическое представление линии на плоскости....................... |
102 |
||
§ 13. |
Уравнение линии в полярной системе координат.............................. |
105 |
||
13.1. |
|
Полярная система координат. |
|
|
13.2. Некоторые линии, заданные в полярной системе координат......... |
107 |
|||
Глава 4. |
Аналитическая геометрия в пространстве. |
|
||
§ 14. |
Плоскость................................................................................................. |
112 |
||
14.1. |
|
Уравнение поверхности в пространстве. |
|
|
14.2. |
|
Плоскость............................................................................................. |
113 |
|
14.3. |
|
Различные виды уравнения плоскости............................................ |
115 |
|
14.4. |
|
Расстояние от точки до плоскости................................................... |
119 |
|
14.5. |
|
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности |
|
|
|
|
и перпендикулярности плоскостей.................................................. |
120 |
|
4
§15. |
Прямая в пространстве.......................................................................... |
121 |
15.1. |
Уравнения линии в пространстве. |
|
15.2. |
Различные виды уравнений прямой в пространстве..................... |
122 |
15.3. |
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности |
|
|
и перпендикулярности прямых.................................................... |
125 |
15.4. |
Взаимное расположение прямой и плоскости............................... |
126 |
§ 16. |
Поверхности второго порядка.......................................................... |
128 |
Глава 1. Элементы линейной алгебры.
§1. Матрицы.
1.1.Основные понятия.
Матрицей размерности (пхт) называется таблица, состоящая из п т чисел, расположенных в п строках и ш столбцах, где л,/и е N , N - множество
натуральных чисел. Обозначается матрица следующим образом: |
|
||||
Г°М |
67,2 |
ЯЬп" |
|
|
|
а2\ |
а22 |
а2т |
i = 1,2,...,п = 1,л, |
j = 12,...,т = 1 |
,т. |
|
|
|
|||
<°п\ |
ап2 |
апт j |
|
|
|
Числа ау называются элементами матрицы, i- номер строки, j - номер
столбца, на пересечении которых находится элемент alf.
Если л * т , то матрица называется прямоугольной, еслил = т , то -
квадратной.
Пусть В - квадратная матрица порядка п, т.е. размерности (пхп),
(Ьп |
*12 |
О |
|
hi |
*22 |
*2» = (Ьу), |
iyj = 1,л |
Jn] |
*„2 |
^ttn J |
|
Элементы матрицы |
в, стоящие на |
диагонали, идущей из левого |
|
верхнего угла в правый нижний, образуют главную диагональ квадратной матрицы. Элементы, стоящие на другой диагонали, образуют побочную диагональ.
Например, даны матрицы А и В.
А = |
прямоугольная матрица размерности (2x3), для |
которой а2з = 8, |
ап = - 2. |
5 =^ |
матрица 2-го порядка, главную диагональ которой |
образуют элементы: 2, 0; а побочную диагональ образуют элементы: 4, -1.
Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны, т.е. А - В <=>ау = Ъц.
Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю. Нулевая матрица необязательно квадратная.
Например,
О - |
- нулевая матрица2-го порядка; |
'О |
О' |
О - 0 |
0 - нулевая матрица размерности (3x2). |
Квадратная матрица называется единичной, если на ее главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
Например,
(\ |
0 |
0\ |
Е = 0 |
1 |
0 - единичная матрица 3-го порядка. |
,0 |
0 |
lj |
Рассмотрим операции над матрицами и их свойства.
1.2.Операции над матрицами и их свойства.
/. Сложение матриц.
Суммой двух матриц А и В одной размерности называется матрица С той же размерности, элементы которой получаются по закону: си =аи+Ьу, т.е.
А + В = С <z>Cjj = ay +by . Например,
9 |
7 |
4' |
-6 |
5 |
0 |
Сложение матриц обладает теми же свойствами, что и сложение чисел:
1)А+В=В+А (переместительный закон);
2)(А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон);
3)А+0=А, где О - нулевая матрица размерности матрицы А.
11.Умножение матрицы на действительное число.
Пусть Я действительное число.
Произведением матрицы А на число Я называется матрица С размерности матрицы А, элементы которой получаются по закону: с(/=Л о(/, т.е.
Я А =С <=>Су =Я • ау . Например,
' |
1 |
> |
' 5 4 |
|
5- |
-2 |
= |
-10 |
•С ’.М Г Л |
|
|
|
,1 5 , |
|
|
|
|
|
|
Свойства операции умножения матрицы на действительное число: |
|||||||
1) |
Если Я, к -действительные числа, то X• {к • А) - (X• к) -А (сочетательный |
|||||||
закон относительно числового множителя); |
|
|
|
|||||
2) |
(А + к) А = л |
л + к л |
(распределительный |
закон |
относительно |
суммы |
||
чисел); |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Х-(А + В) = Х-А + Х-В |
(распределительный |
закон |
относительно |
суммы |
|||
матриц); |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
Я • О = О , где о - |
нулевая матрица; |
|
|
|
|||
|
' X |
0 |
0 ^ |
|
|
|
|
|
5) >.•£ = 0 |
X |
0 |
, где Е -единичная матрица л-го |
порядка. |
|
|||
|
,0 |
0 |
* |
> |
|
|
|
|
Замечание. Разность матриц А и В определяется с помощью рассмотренных операций традиционным образом: А - В = А + (-\) В .
Например,
( \ |
_3 |
51_Г8 |
10 |
~ 13 |
51 |
[\0 |
-8 |
2) \2 |
-3 |
-5 |
6J |
III.Умножение матриц,
а) Умножение квадратных матриц.
|
Пусть А, В - матрицы л-го порядка. |
|
|
||
|
Произведением двух матриц А и В называется матрица С n-го порядка, |
||||
элементы |
которой |
вычисляются |
по |
закону: |
|
сч = |
' ьч = ал ' b\j +ал • ьг/ + ан • bij + |
+**,•£*> т.е. Для нахождения элемента |
|||
Cjj следует найти сумму произведений элементов /-ой строки матрицы А на соответствующие элементы у-го столбца матрицы В.
Рассмотрим примеры на вычисление произведения матриц.
Пример 1.1.
см = 1 (-1)н-2 5 = 9; |
с12 = 1 0 + 21 = 2; |
с21 = 3*(—1)+-4-5 = 17; |
с22 =3 0 + 4 1 = 4. |
8
Следовательно, |
|
|
|
Пример 1.2. |
|
|
|
(V ? № < № |
» Ь к- |
||
сп = (-1)*1 + 0-3 = -1; |
с12 = ( - 1) |
2+ 0 4 = - 2; |
|
с21 =51 + 1-3 = 8; |
с22 =5-2 |
+ 1-4 = 14. |
|
Замечание. Примеры 1.1 и 1.2 иллюстрируют следующее свойство операции умножения матриц: переместительный закон для умножения матриц не выполняется, т.е. А-В*В-А.
Пример 13.
сп = 2• 9 + (-3 ) 6 = 0; |
с12 = 2 - ( - 6 ) + (-3)• (-4 ) = 0; |
с21 = - 4 9 + 6 - 6 = 0; |
с22 = ~ 4 •(—6) + 6 •(—4) = 0. |
б) Умножение прямоугольных матриц.
Осуществляется по такому же правилу, что и для квадратных матриц. Но прямоугольную матрицу А можно умножить не на всякую
прямоугольную матрицу В. |
Чтобы |
существовало |
произведение |
А-В, |
необходимо, чтобы количество столбцов матрицы |
А было |
равно |
||
количеству строк матрицы В. |
|
|
|
|
Произведением матрицы |
A = (aik) |
на матрицу |
В = (bkj), где |
/ = 1,л, |
к = l,m, j = \,р , называется матрица С = (с,у), элементы которой вычисляются
|
т |
по закону: ctj= |
= V i ; + 0,2*2; + ~+aimbmj- |
*=1 Из определения следует: если матрица А имеет размерность (пхт), а
матрица В - (тх р) , то матрица С = А- В имеет размерность (п*р).
Пример 1.4.
А В = |
-1 |
3 |
; 0 |
-1 |
схх = -5 + 2 + 9 |
+ 4 = 10; |
с12 = 15-1 |
+ 0 + 1 = 15; |
с13 = 0 - 1 - 6 + 2 = -5; |
с2| = -2 + 0 - 3 |
+ 16 = 11; |
=6 + 0 |
+ 0 + 4 = 10; |
c j = 0 + 0 + 2 + 8 = 10. |
Заметим, что матрица А имеет размерность (2x4), матрица В - (4x3), следовательно, матрица А В имеет размерность (2x3).
Пример 1.5.
' 0 |
-3 |
1 ч |
' 3 |
' |
00 |
2 |
1 |
5 |
■ - 2 |
= |
14 |
,- 4 |
0 |
- 2, |
, 2 |
, |
-16, |
С|| —0 + 6 + 2 —8;
с2\ = 6 -2 + 10 = 14; с31=-12 + 0 - 4 = —16.
Пример 1.6. |
2 |
0> |
|
|
|
||
А В = (5 1 0 -3) |
1 |
-4 |
= (11 - 1), т.к. |
|
3 |
1 |
|
|
0 |
|
|
сп =10+1 + 0 + 0 = 11; |
с,2 = 0—4 + 0 + 3 = —1 |
||
|
*12 |
|
|
Отметим свойства операции умножения матриц: |
|||
1) А В ф В А\ |
|
|
|
2) (А В) С = А (в с) (сочетательный закон); |
|
||
3) (А+ в)-С = А-С + В-С(распределительный |
закон относительно суммы |
||
матриц); |
|
|
|
4)А Е = Е А = А, где А и Е - квадратные матрицы одного порядка. Продемонстрируем свойство 4) на конкретном примере.
Пусть А =
Тогда А Е =
( 0 2 -4
0 2
1
-3
1
0
1и> 1 О
Г
5 -2
5
1
Е - единичная матрица 3-го порядка.
|
о о |
' 0 |
-3 |
1 > |
|
0 |
1 0 |
= |
2 |
1 |
5 |
,0 |
о |
1, |
1 |
О |
(N 1 |
ю