773
.pdfт.е. при вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются; —►
при умножении |
вектора |
а |
|
на число |
Я |
каждая координата вектора |
||||||||||||
умножается |
на Я: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А а = Ах, I+ Ау, у+ Az, £ |
о |
|
Я а = { |
Я х;; Я |
Я Z/}. |
|
||||||||||
Если векторы |
—► |
и |
—► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а |
|
Ь заданы в координатной форме, то векторное |
||||||||||||||||
равенство |
|
а =Ь |
эквивалентно равенству соответствующих координат этих |
|||||||||||||||
векторов, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
- . |
О |
h |
= |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а = Ь |
j |
у, = |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
—► |
|
—> |
|
I г.= г2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
векторы |
|
и |
|
коллинеарны, |
то |
их соответствующие |
|||||||||||
|
а |
|
ь |
|
||||||||||||||
координаты пропорциональны и наоборот, так как |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
_ |
_ |
|
|
|
fjt, = AJC, |
|
|
|
Я = — |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Я = * |
« |
|
= = |
|
||||||
|
|
b - Ха |
|
о |
|
<У2 = Ay, |
|
<=> |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
-Лг, |
|
|
|
|
Ух |
|
х\ |
Ух |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я = — |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
Замечание. |
В знаменателях |
последних |
равенств могут стоять нули, |
|||||||||||||||
поэтому |
любую пропорцию |
- =— |
будем понимать в смысле выполнения |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенства |
ad = bc. Тогда равенство нулю какой-либо координаты вектора |
|||||||||||||||||
- > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—> |
тоже равна нулю. |
|||
а означает, что соответствующая координата вектора |
ь |
|||||||||||||||||
Например, |
векторы |
{ - 2;0; 3 } |
и |
{4;0; -6 } |
коллинеарны |
(Я = - 2); а |
||||||||||||
векторы |
{- 2; 0; 5 } . и |
{5; 0; - 2 } |
не коллинеарны. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Введем для |
вектора |
|
понятие |
орта |
(единичного |
вектора) |
(рис. |
13). |
||||||||||
Ортом |
вектора |
—► |
называется |
вектор |
—► |
|
|
|
|
условиям: |
||||||||
d |
d0, удовлетворяющий |
|||||||||||||||||
d0\\d , <^TTd, |
|rfo|=l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из данного определения следует, что векторы |
у , к являются |
||
ортами декартовой прямоугольной системы координат. |
При |
этом |
|
7 = { 1 ;0 ;0 } , |
7 = { 0 ;1 ;0 } , * = { 0;0;1}. |
|
_ |
Если |
М - любая точка пространства, то координаты вектора |
ОМ, |
|
точка приложения которого совпадает с началом координат о , равны
координатам |
конечной |
его точки |
|
м |
и |
наоборот: |
м (х ;у , z) о |
Ш? = {х\у\-). |
Вектор ОМ |
называется |
радиус-вектором |
||
точки м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если известны координаты точек |
||||
|
|
М |
и |
М2(*2; у2; z2), |
то |
|
|
|
координаты вектора |
|
—► |
||
|
|
м{м2 |
||||
|
|
определяются следующим |
|
|||
|
|
образом: М |
\ М 2 = {*2 ~Х \ \ У 2 ~ у \ > 2 2 ~ -i}* |
|||
|
|
Это следует из соотношения |
|
|||
|
|
МХМ 2=ОМ2 - ОМ\, где ОМI , ОМг - |
||||
|
|
радиус-векторы точек |
М{ и |
М2 |
||
|
|
(рис. 14). |
|
|
|
|
Рис. 14.
Пример 63. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(1;- 2;3), В(3;2;1), С(б;4; 4) . Найти его четвертую вершину D.
|
Решение. |
Обозначим координаты вершины D через х, |
у, z т.с. |
|||||
D(x,ytz). Т.к. ABCD- параллелограмм, то |
B C =A D . |
Находим координаты |
||||||
|
—► |
—> |
|
|
|
|
|
|
векторов вс и |
AD: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ВС = {б —3;4 —2;4 —1} , Т.е. ЯС = {3;2;3}, |
AD = (x-l',y + 2;z-i). |
|
|||||
Из |
равенства |
|
—> |
—► |
|
*-1 = 3, у +2 = 2, z - 3 = 3. |
||
векторов вс и |
AD следует, что |
|||||||
Отсюда получим: * = 4, у = 0, z = 6. |
Итак, |
£>(4;0;6). |
|
|
|
|||
|
Пример |
6.4. |
Разложить |
вектор |
с={9;4} |
по |
векторам |
а={1;2} и |
Т = {2;-3}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Требуется представить вектор с в виде с =я, |
ь , где я, |
|||||
и я2 |
- некоторые числа. Найдем я, и я2 из определения равенства векторов. |
|||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
с = 9 i + 4 j , a = / + 2 j , 6 = 2 i - 3 j
Тогда
97+47 =Я1(7 +2 7 )+ Я2(2? - з 7 ),Т.е. 9 ? + 4 y =(Л1+2Я2)7+(2Я1-ЗЛ,)} Отсюда следует
Следовательно, с =5 а + 2Ь .
Пример 6.5. Дан вектор силы F =^4;4;—4л/2}. Найти величину и
направление силы F
—>
Решение. Величину силы F находим, используя формулу (6.7):
Направление вектора F определяется
-4>/2 _ - V 2
8 " 2
Итак, сила F величины 8 действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы а =бО°,/?=бО°,^=135°
§7. Скалярное произведение векторов
7.1. Определение скалярного произведения
Скалярным произведением векторов а и Ь называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла <р между ними.
Скалярное произведение обозначается символом
Согласно определению |
|
|
|
|
|
а • b =|a|-|d|cosp. |
|
(7.1) |
|
—> |
—> |
—♦ |
—» |
формулу (7.1) |
Учитывая, ЧТО I а I cos<p = Tip-* а И |
| Ъ| COS(р - |
пр_ b , |
||
|
ь |
|
|
|
можно написать в виде:
7.2.Алгебраические свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1.а - ь = Ь а (перестановочность сомножителей);
2.(д+ b ) c = a c + b c (распределительность относительно суммы
векторов);
3. |
—► |
—► |
—►—► |
|
|
относительно |
а (Х ь ) = Х( о- ь ), где X - число (сочетательность |
||||||
числового множителя); |
|
|
|
|||
4. |
Если |
—> |
|
- » - » - * |
если |
—► |
а - ненулевой вектор, то |
а а = а 2>0; |
а - нулевой |
||||
вектор, то а 2 = 0 .
Свойство 1 вытекает непосредственно из формулы (7.1).
Для доказательства свойства 2 воспользуемся формулой (7.2) и свойством проекции суммы векторов на ось:
( а + Ь )• с =| с |пр_>(а+ Ь) —\ с |(пр_+ а + п р b ) —|с |пр_+ |
а +| с \ пр_> |
b —с- а + с |
|||
с |
с |
с |
с |
с |
|
Свойство 3 докажите самостоятельно, |
используя формулу (7.2) и |
|||
|
|
—► |
|
|
свойство проекции вектора ХЬ |
на ось. |
|
||
Доказательство |
|
свойства |
4 вытекает |
из очевидного утверждения: |
скалярный квадрат |
-*• 2 |
|
|
|
а |
вектора а равен квадрату длины этого вектора, т.е. |
|||
7.3. Геометрические свойства скалярного произведения
Сформулируем геометрические свойства скалярного произведения в виде двух теорем, доказательство которых предлагается провести самостоятельно.
Теорема 7.1. |
Необходимым |
и достаточным |
условием |
|||
ортогональности векторов |
— > |
и |
—> |
является равенство |
нулю их |
|
а |
Ь |
|||||
скалярного произведения: |
—> |
—► |
—»—» |
|
|
|
а ± ь о |
а |
Ь = 0. |
|
|||
Замечание. Базисные векторы |
i , у , к |
попарно ортогональны, значит, |
||||
i 7 = 0 , 1 •к - 0 , j •к = 0.
Теорема 7.2. |
Два ненулевых вектора |
а и |
ъ составляют острый |
(тупой) угол тогда |
и только тогда, когда |
их |
скалярное произведение |
положительно (отрицательно): |
|
|
Ф - острый угол о |
а |
ь > 0; |
ф - тупой угол |
a |
ь < 0. |
Замечание. Из алгебраических свойств скалярного произведения следует, что векторные многочлены скалярно перемножаются по тем же законам, что и алгебраические многочлены.
Например,
( а +2 Ь ) • ( с - d ) - а■с +2 b- с - a- d -2 b d ;
(а-Ъь) = а -6ад+9Ь
7.4. Вычисление скалярного произведения в координатной форме
Теорема 7.3. |
Если векторы |
—► —► |
|
|
|
|
—► |
|||||||||||
a |
w |
ь |
заданы своими координатами а |
= |
||||||||||||||
Уь г,}, |
~Ь = {х2; у 2; гг}, |
то |
а ■i |
= х,х2 + у,у2 +ztz2. |
|
|
|
|||||||||||
Доказательство. |
|
Запишем |
разложение |
векторов |
а |
и Ь |
по |
|||||||||||
базису |
у , к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—> |
—► |
|
—> |
—► |
|
—> |
|
—► |
t |
—> |
—► |
+ |
z 2 k |
|
|
|
||
о = |
X i |
I |
1+ j У + Z ;] |
к Ь = |
x 2 |
|
+ y |
2 j |
|
|
|
|||||||
Согласно свойствам скалярного произведения получим |
|
|
|
|||||||||||||||
а |
Т |
= |
( х , 7 |
+ |
y , ~ * j(х 2+ 7 z +, ~ у k 2 1+) |
г 2 ~ к ) |
= |
|
|
|
||||||||
=X,X2(i.~j) + X,y2(j.~j) + X,Z2(j.~k)+ yiX2(j.~i)+ y iy 2(j-~j)+ yiZ2( j - k ) + |
ZjX2(k. 7) + |
|||||||||||||||||
+ziy2(k-Ъ + z,z2(k■k) = x,x2 + 0 + 0 + 0 + y,y2 + 0 + 0 + 0 + z,z2, |
m.e. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
—►—> |
x jx 2 + У1У2+ ziz2. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a b = |
|
|
|
|
(7 .3 ) |
||||||||
Следствие |
|
7.L |
|
|
Необходимым |
и |
достаточным |
условием |
||||||||||
ортогональности |
векторов |
—► |
{JC/; |
у }; Z/} |
—> |
{х2; у 2; z2} |
является |
|||||||||||
a |
- |
и |
Ь= |
|||||||||||||||
равенство: xjx2 +у у 2 +zjz2 =0 |
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
а ± Ь |
<=> |
X j X 2 + |
yiy2 4- z t Z 2 = 0 . |
|
|
|
|||||||
Следствие 7.1 вытекает из теоремы 7.1 и формулы (7.3).
Следствие 7.2. |
|
Угол |
<р |
между |
ненулевыми |
векторами |
|||||
—> |
и |
—► |
{х2; .у2; ^2} вычисляется по формуле: |
|
|
||||||
а = {JC/,* y t; zy} |
b = |
|
|
||||||||
|
|
cos<p = |
|
Х\* 1 |
+ УхУ2 + z,z, |
|
|
(7.4) |
|||
|
|
|
л1А + У? + А •7^2+ у \ + А |
|
|
|
|
||||
Действительно, |
из |
формулы (7.1) |
имеем |
cos^ = |
д • А -, |
что в |
|||||
координатной |
форме |
и дает |
|
формулу (7.4). |
|
М - |2 | |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
Следствие |
7.3. |
|
Проекция |
вектора а = |
{xj; yj; zj} на вектор |
||||||
ь = {х2; у 2; z2) |
определяется |
равенством: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
.x,x2 + yly 2 + Z\Z1 |
|
|
(7.5) |
||
|
|
|
|
пр_ а - - |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
I А + у1 + А |
|
|
|
||
В самом |
|
деле, |
из |
формулы |
(7.2) |
получим |
пр„ а = а-Ь , |
что в |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
й |
|
координатной |
форме |
эквивалентно |
равенству (7.5). |
|
|
||||||
Замечание. |
Известную |
формулу |
вычисления длины |
вектора |
|||||||
—► |
можно |
доказать с помощью скалярного квадрата вектора. |
|||||||||
а= {xj; у г, z,} |
|||||||||||
Действительно, |
|
так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
а 2 = \ а \ 2, ТО | а |= Vfl |
ИЛИ |
|
| а |= ^ х ,2 + у,2 + Z,2 |
|
|
|
|||||
7.5.Механический смысл скалярного произведения
Если / |
|
вектор, изображающий |
силу, |
точка |
приложения которой |
|||||||||
перемещается из начала в конец вектора |
—► |
, то работа А |
этой силы при |
|||||||||||
s |
||||||||||||||
перемещении S |
равна скалярному произведению векторов / |
и |
s , |
т.е. |
А |
|||||||||
= /• 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
7.1. |
Даны |
два |
единичных |
вектора |
т и |
п , |
угол |
между |
|||||
которыми |
120° |
Найти: |
а) |
острый |
угол |
между |
диагоналями |
|||||||
параллелограмма, |
построенного на |
|
|
|
—> |
—► |
—► |
—► |
—> |
—► |
||||
векторах a=- 4m+2n |
и ь = т + 3 п ; |
|||||||||||||
б) проекцию |
вектора а |
на вектор |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение, |
а) |
Искомый угол <р определим по формуле |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
coscp= -► |
|
-> |
, где |
|
|
|
|
АС |
DB |
|
|
|
|
АС = а+ Ъ - ( - 4 т+ 2 л ) + ( т + 3 п) =-3т+ 5 л , |
||||||
|
—> |
—> —> |
—> —> |
—► |
—> |
—> |
—► |
|
DB = а - Ъ = ( - 4 т + 2 л ) - ( т + 3 л ) = - 5 / я - л |
||||||
- » - ♦ |
- ► - * |
-*2 |
|
_>2 |
_ 2 |
||
АС-DB = (-Ът+5п)(-5т- л) = 1 5 т |
-22т- п - 5 п |
= 15т -22 от cos120' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
- t f - |
=1 5 1 J - 2 2 |
1 l ( - i j - 5 ! J =21 . |
|
|
|
|
||
ЛС |
= (-Зот+5л)г = 9о т |
-30тл+25и |
= 9 - 1J-30 |
! 1- ^ - i j +25 = 49. |
|||
D/? |
- { а - b )2 = (-5т - |
л ) 2 = 2 5 т |
+ 1 0 т л + л |
= 25• I 2 +• 10-1 • 1 |
|||
.4С = )мс = V49 =7. D B = iD B = V21 .
Следовательно, |
21 |
IT |
и |
= |
/з" |
||
cos<p = |
= |
у - |
arccos J — |
||||
|
—> |
на вектор |
_ |
найдем по формуле: |
|||
б) Проекцию вектора а |
Л |
||||||
|
|
|
|
—> —> |
|
|
|
|
пр~+ а =■ |
А- 6 |
|
|
|
||
|
—> |
|
|
|
|||
|
|
ъ |
|
ь |
|
|
|
а £ = ( - 4 / л + 2 л Х т + З л ) = - 4 т - 1 0 т - л + 6 л |
= - 4 1 2 - 1 0 Ы |
c o sl2 0 ° + 6 - 1 2 =7. |
|||||
="/fc” = -J(m+ З л )2 = Vm + 6 т - л + 9 л |
= Vl2 + 6 1 1 c o s l 2 0 ° |
+ 9 1 2 = V 7 . |
|||||
Следовательно, |
7 |
|
|
|
|
|
|
пр_ а = Л~ = -Л. |
|
|
|
|
|||
§ 8. Векторное произведение векторов
8.1.Определение векторного произведения
Три |
некомпланарных |
вектора |
л , 7 |
и с , |
взятые |
в указанном |
||
порядке, |
образуют |
правую |
(левую) |
тройку |
векторов, |
если |
кратчайший |
|
поворот от вектора |
—► |
—► |
|
|
-> |
|
__ |
|
а к вектору ь с конца вектора |
с |
виден против хода |
||||||
(походу) |
часовой |
стрелки |
(см. рис. 15) |
|
|
|
|
|
а,Ь9с - правая тройка векторов |
|
a ,b ,c - левая тройка векторов |
||||
|
|
Рис. 15 |
|
|
||
Например, векторы |
у , к |
образуют правую тройку векторов, так как |
||||
кратчайший поворот от вектора |
|
к вектору у |
с конца вектора к виден |
|||
против хода часовой стрелки, а тройка векторов |
у , |
к является левой, |
||||
|
—> |
к |
—> |
—> |
виден по ходу часовой |
|
так как кратчайший поворот от |
у |
с конца |
к |
|||
стрелки (рис. 16).
Рис. 16. |
|
|
|
|
|
|
Векторным произведением |
|
—► |
—► |
|
|
—> |
векторов а и Ь называется |
вектор с , |
|||||
обозначаемый |
удовлетворяющий |
следующим трем |
||||
условиям: |
|
|
|
-> |
-> |
|
—» |
|
|
|
на синус |
||
1) длина вектора с равна произведению длин векторов а |
и ь |
|||||
угла <р между ними: |
|
|
|
|
|
|
|c | = | - | |
I * |sin ф ; |
—+ |
—► —> |
|
(8.1) |
|
—> |
- > —> |
—► |
|
|||
2) вектор с ортогонален векторам а и ь |
с |
L а , с |
1 |
ь ; |
|
|
3) вектор с направлен таким образом, что тройка векторов а , ь и с является правой.
8.2.Алгебраические свойства векторного произведения
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
-► -> -►-*
1.АхЛ= - / ) ха - антиперестановочность сомножителей;
2.Ха х h = Ц а х ь)= а хХь, где X - некоторое число, - сочетательность относительно числового множителя;
3 . ( а |
+ ь ) х с = а х с + Ь х с |
(распределительность относительно |
суммы векторов); |
—* |
|
—> |
-* |
|
4.а х а = 0 для любого вектора а .
Рассмотрим доказательство свойства 1 (рис. 17). |
|
|
|
|
Введем обозначения: а |
х |
ь - с х \ |
|
|
£хя = с2 . Если векторы |
а |
и |
Ь |
|
коллинеарны, |
—► |
и |
-4 |
в |
то q = 0 |
с2 = 0 |
|||
силу формулы |
(8.1), и |
свойство |
1 |
|
доказано. |
|
|
|
|
Если |
же векторы а и Ъ не коллинеарны, то согласно формуле (8.1) |
\с{\ |
|||||||
= | сг | , при этом с, || с2 , так как оба вектора q и ?2 |
ортогональны плоскости, |
||||||||
определяемой векторами |
а и |
А . Однако, |
векторы q и |
с2 |
имеют |
||||
противоположные направления, потому что обе тройки векторов |
а , Ъ,с, и |
||||||||
—►—> —► |
являются |
правыми. |
Следовательно, |
векторы |
—► |
и |
—> |
||
Ь уа ,с 2 |
с, |
с2 |
|||||||
противоположны, т.е. |
—> |
—♦ |
и свойство 1 |
доказано. |
|
|
|
||
с1= - с 1, |
|
|
|
||||||
Замечание. Перечисленные свойства позволяют при векторном
перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, но
при этом сохранять порядок векторных множителей либо при изменении
этого порядка менять знак на противоположный.
Пример 8.1. Найти векторное произведение / х j .
Решение. Учитывая, что базисные векторы |
/ , j , к |
ортогональны и имеют единичную длину, получим |
- -» -♦ и |
' ХУ —/ Г |
взаимно
sin 90° = 1 .
Так как вектор |
/ х j ортогонален плоскости |
хОу |
(/ |
х д |
/, i |
х j ± j |
) и |
его длина равна единице, то он равен либо |
к , |
либо |
- к . Из этих двух |
||||
возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы |
7 ,7 , к |
||||||
образуют правую тройку векторов ( а векторы |
/, j , - к |
левую). |
|||||
Следовательно, |
/ х j = к . |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что из антиперестановочности векторного произведения |
|||||||
следует, что j x |
/ - - к . Аналогично вычисляются векторные произведения |
||||||
других возможных пар базисных векторов. Например, |
j x k = i , |
к х j |
= - i |
||||
к х i = j , /■ x к - - j . |
|
|
|
|
|
|
|
8.3.Геометрические свойства векторного произведения
Теорема |
8.1. |
|
Необходимым и достаточным условием коллинеарности |
векторов |
—> |
—► |
|
а и |
ь |
является равенство нулю их векторного произведения: |
|
а || Ь О а х b = 0.
Доказательство теоремы предлагается провести самостоятельно.
Геометрический смысл векторного произведения раскрывает |
|
||||
Теорема |
8. 2. Длина векторного |
произведения а х ь |
равна площади |
S |
|
параллелограмма, построенного на |
—► |
—► |
|
|
|
векторах а |
и ь , приведенных к общему |
||||
началу: |
S = | а х ь . |
|
|
|
|
Доказательство теоремы вытекает из формулы вычисления площади |
|||||
параллелограмма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—► |
—► |
Замечание. Площадь треугольника, построенного на векторах а и |
ь , |
||||
равна половине длины векторного произведения |
o x j , |
т.е. 5Д=^| а х ? |. |
|
||