623

лучили методы обработки производственных данных методом пассивного эксперимента.

Для получения статистической модели на основе обработки данных пассивного эксперимента сбор данных производят с действующей установки и представляют их в виде, представленном в табл. 4.3.

Как было указано ранее, статистическая модель работает лишь в пределах варьирования параметров, поэтому сбор исходных данных необходимо производить для всех установившихся режимов работы установки в максимально широких пределах их варьирования. При этом сбор данных осуществляется с учетом методов, принятых в ПФЭ, так как данные методы позволяют получить максимальную информацию об объекте с минимальным количеством изменений параметров.

Кроме того, при сборе данных следует учитывать следующие особенности:

–чем больше собрано данных, тем лучше, поскольку значи-

тельное количество исходных данных обычно отсеивается при обработке данных;

–составить статистическую модель элемента технологической установки возможно лишь для стационарных режимов ее ра-

боты, поэтому необходимо учесть, что после изменения каких-либо параметров стационарный режим работы установки достигается только через определенное время. Более того, процесс достижения ею стационарного режима работы может тормозиться за счет переходных процессов, связанных с работой системы КИПиА. Именно поэтому перед началом сбора данных нужно максимально снизить влияние системы управления обследуемого элемента установки на

51

изменение режимов его работы, например переводом элемента установки на ручное управление;

– основным режимом работы любой технологической установки является динамический режим, т.е. установка постоянно находится в процессе перехода из одного состояния в другое (вопрос лишь заключается в скорости данного перехода), при сборе текущих технологических параметров необходимо по величинам расхода, темпе-

ратуры, состава и др. определить примерное время перехода установки к стационарному (псевдостационарному) режиму после изменения какого-либо параметра ее работы и начинать сбор данных только по истечении этого времени.

В соответствии с табл. 4.3 факторами называются входные переменные (ХKN), а откликом – выходной целевой параметр (YN). Например, откликом может быть концентрация вещества на выходе из реактора, а факторами – температура, давление, исходные концентрации реагентов, время пребывания и т.п. При наличии нескольких выходных параметров составляют несколько исходных таблиц и несколько регрессионных уравнений.

Уравнение, описывающее функцию отклика (Y), обычно представляется в виде ряда Тейлора для многомерной функции. Оно называется уравнением регрессии, например:

где YP – расчетное значение функции отклика; ХК – значения параметров, при которых рассчитывается функция отклика.

В связи с высокой сложностью регрессионного уравнения обработку экспериментальных данных начинают с использованием более простого уравнения, включающего в себя только линейные члены. Далее при неудовлетворительном результате переходят к более сложным уравнениям, включающим в себя квадратичные, перекрестные, кубические и более сложные члены. Однако при выборе вида уравнения следует учесть, что с увеличением сложности регрессионного уравнения снижается вероятность того, что в результате расчетов удастся получить гладкую зависимость даже в пределах варьирования параметров, поэтому обычно ограничиваются небольшим числом членов уравнения (4.23). Это связано с тем, что сложная регрессионная зависимость может иметь множество локальных мини-

52

мумов и максимумов в пределах варьирования параметров и может быть непригодна для целей оптимизации и анализа (рис. 4.14), поскольку данная зависимость противоречит физической природе реального объекта (в природе за редким исключением все свойства объектов имеют плавные зависимости).

Рис. 4.14. Недопустимый вид статистической модели

Вслучае, если количество параметров, реально влияющих на работу объекта, велико, необходимо рассмотреть физико-химичес- кую сущность объекта и провести его инженерный анализ. По результатам данного анализа объекта, т.е. по выявленным физикохимическим закономерностям и их характеру, необходимо провести комбинирование (объединение) факторов до минимального количества и перестроить таблицу факторов. Пример данного комбинирования параметров работы технологического агрегата представлен ниже (в конце текущего раздела) на примере создания статистической модели котла на газовом топливе.

Вобщем виде уравнение регрессии, включающее в себя линейные, перекрестные и квадратичные члены, для двух факторов запишется так:

При этом данное уравнение регрессии станет линейно относительно коэффициентов регрессии (bJ) в случае, если произвести замену факторов:

53

Более того, если условно ввести фактор х0 = 1 (умножаемый на коэффициент регрессии b0), то уравнение регрессии можно будет записать следующим образом:

j=k

YP = bj xj . (4.26)

j =0

Таким образом, в уравнение (4.26) факторы входят линейно, а под значением фактора ХJ могут быть скрыты и более сложные выражения, чем линейные (например, перекрестные, степенные или сложные комплексные члены), выбранные на основе теоретических соображений (например, уравнения (4.25)). Далее, расчет коэффициентов регрессионного уравнения bJ осуществляется методом наименьших квадратов, суть которого была описана выше.

После вычисления коэффициентов регрессии переходят к статистическому анализу этого уравнения, который состоит из следующих этапов:

–оценивается адекватность модели (способность достоверно описывать функцию отклика);

–оценивается значимость факторов, входящих в уравнение регрессии.

Проверка адекватности линейного регрессионного уравнения

осуществляется с помощью расчетного критерия Фишера (FP) и может производиться различными способами [14]. Например, рассмотрим сущность метода проверки адекватности регрессионного уравнения

сиспользованием коэффициента множественной детерминации (R2), который используется для расчета критерия Фишера (F-статистика

или F наблюдаемое значение) в MS Excel (функция ЛИНЕЙН).

При этом квадратный корень из коэффициента множественной детер-

минации равен коэффициенту множественной корреляции (R = R2 ). Коэффициент множественной детерминации показывает, какая доля дисперсии переменной отклика (Y) объясняется построенной моделью регрессии. Например, при R2, равным 0,8, регрессионная модель будет объяснять 80 % дисперсии переменной отклика, а остальные 20 % вариации переменной отклика будут объясняться неучтенными факторами. Таким образом, чем ближе величина R2 к 1, тем лучше регрессия аппроксимирует статистические данные и тем теснее связь между расчетными и экспериментальными значениями

функции отклика.

Коэффициент множественной детерминации может быть рассчитан по формуле

54

где SR – остаточная сумма квадратов отклонений между расчетными и экспериментальными значениями функции отклика, а ST – полная сумма квадратов отклонений между величинами функции отклика и средним арифметическим значением функции отклика:

здесь N – количество экспериментальных точек.

При этом критерий Фишера (FP) может быть рассчитан по формуле

где k – количество коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии будет считаться адекватным в случае, если расчетное значение критерия Фишера (FР) будет больше табличного значения FT = f(k–1, N–k), определяемого по таблицам (в MS Excel функция FРАСПОБР).

Кроме того, исходя из уравнения (4.31), чем больше будет массив исходных данных, собранных в табл. 4.3 (больше величина N) и проще будет вид регрессионного уравнения (меньше величина k), тем выше будет вероятность того, что получаемое уравнение регрессии будет адекватно. Отсюда следует, что недопустимы попытки получения сложного уравнения регрессии по небольшому количеству экспериментальных данных (например, расчет уравнения линии по одной или двум точкам или параболы по двум или трем точкам),

т.е. всегда должно соблюдаться условие: N > k. Причем чем боль-

ше будет разница между N и k, тем лучше.

55

Необходимо отметить, что существуют некоторые особенности данного метода оценки адекватности модели. Например, чем лучше уравнение регрессии будет описывать экспериментальные данные и величины отклонений между Yэксп и Yрасч будут меньше (см. рис. 4.12), тем меньше будет величина SR, значение R2 будет стремиться к единице, а FP – к бесконечности. Однако уравнение (4.27), кроме SR, также включает величину ST, являющуюся суммой квадратов отклонений экспериментальных значений от средней арифметической величины, а при расчете R2 просто оценивается соотношение между этими величинами. С математической точки зрения по этой причине могут возникать случаи, когда уравнение регрессии со значительной погрешностью описывает экспериментальные данные, но является адекватным. Например, если исходные данные будут иметь значительный разброс, то величины SR и ST будут иметь большие значения, но если SR < ST, то с математической точки зрения это может привести к высокому значению R2 и величине FP выше табличной, т.е. уравнение будет считаться адекватным. По этой причине при составлении статистической модели необходимо также анализировать разброс исходных данных и особое внимание обращать на среднюю погрешность описания экспериментальных данных уравнением регрессии.

Оценка значимости факторов, используемых при описании функции отклика, осуществляется с помощью критерия Стьюдента (tР) по условию

bj

tР = δ2 , (4.34)

bj

где bj – коэффициент регрессии при оцениваемом факторе; δ2bj – сред-

неквадратическое отклонение коэффициента регрессии.

Обычно величина критерия Стьюдента находится в пределах от 2 до 4, поэтому если среднеквадратическое отклонение коэффициента регрессии будет больше 25–50 % величины самого коэффициента регрессии (по модулю), то данный коэффициент будет считаться незначимым и может быть исключен из уравнения регрессии.

После исключения всех незначимых членов уравнение регрессии приобретает новый вид. Следовательно, на следующем шаге необходимо будет снова оценить коэффициенты регрессии и проверить их значимость. Данный цикл операций производится до тех пор,

56

пока не будет получено адекватное регрессионное уравнение, все факторы которого являются значимыми.

Следует отметить, что при моделировании ХТС допускается использовать только адекватные математические модели процессов во всем диапазоне изменения входных параметров вне зависимости от того, является модель физико-химической или статистической.

В качестве примера составления статистической модели реального технологического агрегата рассмотрим выбор параметров для определения зависимостей, лежащих в основе системы параметрического мониторинга выбросов энергетического котла, работающего на природном газе.

При работе котла на газовом топливе измеряемыми технологическими параметрами, определяющими режим работы котла, являются:

–давление топливного газа на горелках (Ргаза);

–давление воздуха на горелках (Рвоздуха);

–атмосферное давление (Ратм);

–температура дымовых газов после водяного экономайзера (ВЭК) в параллельных дымоходах (tВЭК-1…4);

–степень открытия заслонок нагнетания воздуха дутьевых вен-

тиляторов (% засл. воздух1…2);

– температура горячего воздуха после воздухоподогревателей

(tгор. воздух-1…2)

– степень открытия заслонок дымососов (% засл. ДС1…2).

Так как непосредственное использование данных факторов, их квадратов и парных произведений не позволяет получить адекватные зависимости, данные факторы комбинировались с учетом физического смысла в следующие комплексы:

57

Комбинирование технологических параметров в комплексы данного вида можно объяснить следующими соображениями:

–горелка котла, по сути, представляет собой сужающее устройство, следовательно, количество подаваемого на сжигание топлива

иколичество воздуха будут зависеть от температуры потока, давления перед горелкой и атмосферного давления. Таким образом, в комплек-

сы Х1 и Х2 включены параметры, позволяющие учесть отклонение параметров потоков от нормальных термодинамических условий (по атмосферному давлению и температуре потока, подаваемого в горелку);

–так как образование оксидов азота и недожог топлива зависят от КПД котла, определяющегося в основном температурой дымовых газов, вводят комплекс Х3 – среднюю температуру дымовых газов;

–на образование оксидов азота и недожог топлива также влияет вид факела горящего топлива, зависящий сложным образом от гидродинамических режимов течения потока воздуха и дымовых газов, на которые оказывает влияние степень открытия заслонок дутьевых вентиляторов и дымососов, объединенных в комплексы

Х4, Х5 и Х6 (данный вид комплексов был получен после нескольких неудачных попыток учесть влияние заслонок на содержание в дымовых газах загрязняющих веществ).

Необходимо отметить, что объединение факторов в указанные комплексы производилось с целью лучшего описания экспериментальных данных статистической моделью, повышения ее адекватности на основе эмпирик, характерных для энерготехнологических агрегатов.

Для других котлов, даже однотипных, или для данного котла после капитального ремонта топки, тракта дымовых газов или замены

горелок, вид комплексов (особенно Х4, Х5 и Х6) может быть другой. Кроме того, в качестве гипотез при составлении статистической модели могут быть использованы и другие параметры работы объекта, которые при обработке данных могут быть исключены из расчета как несущественные.

Объединение указанных факторов в комплексы позволило получить адекватные зависимости:

58

– концентрации NOX (ppm) в дымовых газах после дымососа:

– концентрации СО (ppm) в дымовых газах после дымососа:

Величины коэффициентов данных зависимостей представлены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Значения коэффициентов математических моделей для расчета состава дымовых газов при работе котла на газовом топливе

Результаты обработки экспериментальных данных представлены на графиках рис. 4.15 и 4.16, а параметры статистических моделей – в табл. 4.5. Параметры варьирования аргументов данных моделей будут определяться диапазонами изменения измеряемых технологических параметров, определяющих режим работы котла и используемых в качестве исходных данных для построенных моделей.

Табличный критерий Фишера для соответствующих степеней свободы составил 2,45, т.е. полученные статистические модели адекватны, а погрешности невелики, поэтому использовались для составления системы технолого-экологического мониторинга котла.

Необходимо отметить, что параметры и закономерности статистических моделей других технологических установок будут отличаться от представленной выше, но подходы к их созданию будут аналогичными.

59