540
.pdf
ности анализа, т.е. об отсутствии систематических ошибок. Тем не менее, расчет СКО анализов обеих лабораторий показывает следующее:
СКО анализов 1-й лаборатории:
S1 = |
|
64 10−4 + 25 10−4 + 1 10−4 + 36 10−4 +16 |
10−4 |
|
|
|
4 |
= 0,06. |
|
|
|
|
|
|
|
СКО анализов 2-й лаборатории: |
|
||
S2 |
= |
121 10−4 |
+16 10−4 +144 10−4 + 225 10−4 |
+121 10−4 |
|
4 |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,12. |
|
Во 2-й лаборатории СКО в 2 раза больше, чем в 1-й; вероятно, это является следствием более низкой квалификации исполнителей анализа.
Однако расхождение может быть вызвано и случайными ошибками, и, следовательно, тогда оба ряда результатов принадлежат к одной генеральной совокупности; иными словами, нет оснований считать, что расхождение СКО обеих лабораторий вызвано систематическими погрешностями одной из них.
Для решения этого вопроса используют F-критерий (критерий Фишера). Вычисляют отношение двух дисперсий:
F = |
S22 |
(S22 > S12 ), |
|
S 2 |
|||
|
|
||
|
1 |
|
и сравнивают это отношение с табличными данными для заданной доверительной вероятности (обычно принимают Р = 0,95) и данного числа параллельных проб. Вычисление критерия Фишера и сравнение с табличным значением (табл. 5.3) позволяет определить, значимо ли различие ме-
жду дисперсиями S12 и S22 . Если различие между дисперсиями значимо, то рассматриваемые выборки различаются
161
по воспроизводимости, а если не значимо, то различие
вдисперсии носит случайный характер.
Врассматриваемом примере F = 0,122/0,062 = 4, т.е. меньше 6,4 – табличного значения F, найденного по доверительной вероятности Р = 0,95 и величине степеней сво-
боды f1 = n1 – 1 = 4 и f2 = n2 – 1 = 4 для числа параллельных проб n1 = n2 = 5. Поэтому можно считать, что расхождение дисперсий незначимо, вызвано случайными погрешностями и оба ряда значений характеризуют одну и ту же генеральную совокупность.
Таблица 5.3
Значения критерия Фишера F для доверительной вероятности 0,95 (уровень значимости 0,05)
Число |
|
Число степеней свободы f1 (для числителя) |
|
||||||||
степе- |
|
|
|||||||||
ней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свобо- |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
12 |
24 |
|
∞ |
ды f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
164,4 |
199,5 |
215,7 |
224,6 |
230,2 |
234,0 |
244,9 |
249,0 |
254,3 |
||
2 |
18,5 |
|
19,2 |
19,2 |
19,3 |
19,3 |
19,3 |
19,4 |
19,5 |
|
19,5 |
3 |
10,1 |
|
9,6 |
9,3 |
9,1 |
9,0 |
8,9 |
8,7 |
8,6 |
|
8,5 |
4 |
7,7 |
|
6,9 |
6,6 |
6,4 |
6,3 |
6,2 |
5,9 |
5,8 |
|
5,6 |
5 |
6,6 |
|
5,8 |
5,4 |
5,2 |
5,1 |
5,0 |
4,7 |
4,5 |
|
4,4 |
6 |
6,0 |
|
5,1 |
4,8 |
4,5 |
4,4 |
4,3 |
4,0 |
3,8 |
|
3,7 |
7 |
5,6 |
|
4,7 |
4,4 |
4,1 |
4,0 |
3,9 |
3,6 |
3,4 |
|
3,2 |
8 |
5,3 |
|
4,5 |
4,1 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,3 |
3,1 |
|
2,9 |
9 |
5,1 |
|
4,3 |
3,9 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3,1 |
2,9 |
|
2,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5,0 |
|
4,1 |
3,7 |
3,5 |
3,3 |
3,2 |
2,9 |
2,7 |
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
4,8 |
|
4,0 |
3,6 |
3,4 |
3,2 |
3,1 |
2,8 |
2,6 |
|
2,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
4,8 |
|
3,9 |
3,5 |
3,3 |
3,1 |
3,0 |
2,7 |
2,5 |
|
2,3 |
13 |
4,7 |
|
3,8 |
3,4 |
3,2 |
3,0 |
2,9 |
2,6 |
2,4 |
|
2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
4,6 |
|
3,7 |
3,3 |
3,1 |
3,0 |
2,9 |
2,5 |
2,3 |
|
2,1 |
162
Окончание табл. 5.3
Число |
|
Число степеней свободы f1 (для числителя) |
|
||||||||
степе- |
|
|
|||||||||
ней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свобо- |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
12 |
24 |
|
∞ |
ды f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
4,5 |
|
3,7 |
3,3 |
3,1 |
2,9 |
2,8 |
2,5 |
2,3 |
|
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
4,5 |
|
3,6 |
3,2 |
3,0 |
2,9 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
|
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
4,5 |
|
3,6 |
3,2 |
3,0 |
2,8 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
|
2,0 |
18 |
4,4 |
|
3,6 |
3,2 |
2,9 |
2,8 |
2,7 |
2,3 |
2,1 |
|
1,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
4,4 |
|
3,5 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
|
1,9 |
20 |
4,4 |
|
3,5 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
|
1,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
4,3 |
|
3,4 |
3,1 |
2,8 |
2,7 |
2,6 |
2,2 |
2,0 |
|
1,8 |
24 |
4,3 |
|
3,4 |
3,0 |
2,8 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
|
1,7 |
26 |
4,2 |
|
3,4 |
3,0 |
2,7 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
|
1,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
4,2 |
|
3,3 |
3,0 |
2,7 |
2,6 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
|
1,7 |
30 |
4,2 |
|
3,3 |
2,9 |
2,7 |
2,5 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
|
1,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
4,1 |
|
3,2 |
2,9 |
2,6 |
2,5 |
2,3 |
2,0 |
1,8 |
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
3,9 |
|
3,1 |
2,7 |
2,5 |
2,3 |
2,2 |
1,8 |
1,6 |
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3,8 |
|
3,0 |
2,6 |
2,4 |
2,2 |
2,1 |
1,8 |
1,5 |
|
1,0 |
В общем случае среднеквадратичное отклонение малой выработки S может не совпадать со среднеквадратичным отклонением генеральной совокупности σ, т.е. S ≠ σ. Достаточно хорошее приближение S к величине σ получается уже в том случае, если количество измерений равно или больше 20.
,
5.4.Вычисление статистических характеристик
сиспользованием Microsoft Excel
Расчет статистических характеристик является трудоемкой процедурой. В связи с этим целесообразно использовать компьютерные программы. В данном разделе приве-
163
дено описание подпрограмм, входящих в состав пакета Microsoft Excel, предназначенного для решения сложных статистических и инженерных задач. В пакете представлено большое число статистических функций, обозначение и назначение которых приведено в табл. 5.4.
Таблица 5.4 Обозначение и назначение статистических функций
|
пакета Microsoft Excel |
||
|
|
|
|
№ |
Обозначение |
Назначение функции |
|
п/п |
функции |
||
|
|||
1 |
СРОТКЛ |
Вычисляет среднее абсолютных |
|
|
|
значений отклонений точек дан- |
|
|
|
ных от среднего. |
|
2 |
СРЗНАЧ |
Вычисляет среднее (арифмети- |
|
|
|
ческое) своих аргументов. |
|
3 |
СРЗНАЧА |
Вычисляет среднее (арифмети- |
|
|
|
ческое) своих аргументов, вклю- |
|
|
|
чая числа, текст и логические |
|
|
|
значения. |
|
4 |
ДОВЕРИТ |
Вычисляет доверительный ин- |
|
|
|
тервал для среднего генеральной |
|
|
|
совокупности. |
|
5 |
КОРРЕЛ |
Вычисляет коэффициент корре- |
|
|
|
ляции между двумя множества- |
|
|
|
ми данных. |
|
6 |
СЧЕТ |
Подсчитывает количество чисел |
|
|
|
в списке аргументов. |
|
7 |
СЧЕТЗ |
Подсчитывает количество зна- |
|
|
|
чений в списке аргументов. |
|
8 |
КОВАР |
Вычисляет ковариацию, среднее |
|
|
|
попарных произведений откло- |
|
|
|
нений. |
|
9 |
КВАДРОТКЛ |
Вычисляет сумму квадратов от- |
|
|
|
клонений. |
|
|
|
164 |
|
Продолжение табл. 5.4
№ |
Обозначение |
Назначение функции |
|||
п/п |
функции |
||||
|
|
|
|||
10 |
ЭКСПРАСП |
Вычисляет |
экспоненциальное |
||
|
|
распределение. |
|
||
11 |
ПРЕДСКАЗ |
Вычисляет |
значение |
линейного |
|
|
|
тренда. |
|
|
|
12 |
ЧАСТОТА |
Вычисляет |
распределение час- |
||
|
|
тот в виде вертикального масси- |
|||
|
|
ва. |
|
|
|
13 |
ФТЕСТ |
Вычисляет результат F-теста. |
|||
14 |
СРГЕОМ |
Вычисляет среднее геометриче- |
|||
|
|
ское. |
|
|
|
15 |
ОТРЕЗОК |
Вычисляет отрезок, отсекаемый |
|||
|
|
на оси линией линейной регрес- |
|||
|
|
сии. |
|
|
|
16 |
ЭКСЦЕСС |
Вычисляет |
эксцесс |
множества |
|
|
|
данных. |
|
|
|
17 |
НАИБОЛЬШИЙ |
Вычисляет k-е наибольшее зна- |
|||
|
|
чение из множества данных. |
|||
18 |
ЛИНЕЙН |
Вычисляет параметры линейно- |
|||
|
|
го тренда. |
|
|
|
19 |
МАКС |
Вычисляет максимальное значе- |
|||
|
|
ние из списка аргументов. |
|||
20 |
МАКСА |
Вычисляет максимальное значе- |
|||
|
|
ние из списка аргументов, вклю- |
|||
|
|
чая числа, текст и логические |
|||
|
|
значения. |
|
|
|
21 |
МЕДИАНА |
Вычисляет |
медиану |
заданных |
|
|
|
чисел. |
|
|
|
22 |
МИН |
Вычисляет минимальное значе- |
|||
|
|
ние из списка аргументов. |
|||
23 |
МИНА |
Вычисляет минимальное значе- |
|||
|
|
ние из списка аргументов, вклю- |
|||
|
|
чая числа, текст и логические |
|||
|
|
значения. |
|
|
|
|
|
165 |
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 5.4 |
||
|
|
|
|
|
№ |
Обозначение |
Назначение функции |
||
п/п |
функции |
|||
|
|
|||
24 |
МОДА |
Вычисляет значение моды мно- |
||
|
|
жества данных. |
||
25 |
НОРМРАСП |
Вычисляет |
нормальную функ- |
|
|
|
цию распределения. |
||
26 |
НОРМОБР |
Вычисляет обратное нормальное |
||
|
|
распределение. |
||
27 |
НОРМСТРАСП |
Вычисляет стандартное нормаль- |
||
|
|
ное интегральное распределение. |
||
28 |
НОРМСТОБР |
Вычисляет |
обратное значение |
|
|
|
стандартного нормального рас- |
||
|
|
пределения. |
|
|
29 |
ПИРСОН |
Вычисляет коэффициент корре- |
||
|
|
ляции Пирсона. |
||
30 |
ПЕРСЕНТИЛЬ |
Вычисляет k-ю персентиль для |
||
|
|
значений из интервала. |
||
31 |
ПРОЦЕНТРАНГ |
Вычисляет |
процентную норму |
|
|
|
значения в множестве данных. |
||
32 |
ВЕРОЯТНОСТЬ |
Вычисляет вероятность того, что |
||
|
|
значение из интервала находится |
||
|
|
внутри заданных пределов. |
||
33 |
КВАРТИЛЬ |
Вычисляет квартиль множества |
||
|
|
данных. |
|
|
34 |
СКОС |
Вычисляет асимметрию распре- |
||
|
|
деления. |
|
|
35 |
НАКЛОН |
Вычисляет наклон линии линей- |
||
|
|
ной регрессии. |
||
36 |
НАИМЕНЬШИЙ |
Вычисляет k-е наименьшее зна- |
||
|
|
чение в множестве данных. |
||
37 |
НОРМАЛИЗАЦИЯ |
Вычисляет |
нормализованное |
|
|
|
значение. |
|
|
38 |
СТАНДОТКЛОН |
Оценивает |
стандартное откло- |
|
|
|
нение по выборке. |
||
|
|
166 |
|
|
|
|
|
Окончание табл. 5.4 |
|
|
|
|
|
|
№ |
Обозначение |
Назначение функции |
||
п/п |
функции |
|||
|
|
|||
39 |
СТАНДОТКЛОНА |
Оценивает |
стандартное откло- |
|
|
|
нение по выборке, включая чис- |
||
|
|
ла, текст и логические значения. |
||
40 |
СТАНДОТКЛОНП |
Вычисляет |
стандартное откло- |
|
|
|
нение по генеральной совокуп- |
||
|
|
ности. |
|
|
41 |
СТАНДОТКЛОНПА |
Вычисляет |
стандартное откло- |
|
|
|
нение по генеральной совокуп- |
||
|
|
ности, включая числа, текст |
||
|
|
и логические значения. |
||
42 |
СТОШYX |
Вычисляет стандартную ошибку |
||
|
|
предсказанных значений y для |
||
|
|
каждого значения x в регрессии. |
||
43 |
СТЬЮДРАСП |
Вычисляет |
t-распределение |
|
|
|
Стьюдента. |
|
|
44 |
СТЬЮДРАСПОБР |
Вычисляет обратное t-распреде- |
||
|
|
ление Стьюдента. |
||
45 |
ТТЕСТ |
Вычисляет вероятность, связан- |
||
|
|
ную с t-условием Стьюдента. |
||
46 |
ДИСП |
Оценивает дисперсию по выбор- |
||
|
|
ке. |
|
|
47 |
ДИСПА |
Оценивает дисперсию по выбор- |
||
|
|
ке, включая числа, текст и логи- |
||
|
|
ческие значения. |
||
48 |
ДИСПР |
Вычисляет дисперсию для гене- |
||
|
|
ральной совокупности. |
||
49 |
ДИСПРА |
Вычисляет дисперсию для гене- |
||
|
|
ральной совокупности, включая |
||
|
|
числа, текст и логические значе- |
||
|
|
ния. |
|
|
|
|
167 |
|
|
Некоторые из указанных функций являются встроенными, другие доступны только после установки пакета анализа. Для установки пакета анализа (если нет строки «Анализ данных» в меню «Сервис») необходимо в меню «Сервис» загрузить «Надстройки» и напротив «Пакет анализа» поставить флажок.
Для анализа данных с помощью статистических функций следует выбрать пустую ячейку для записи результата расчета (например, нижнюю ячейку анализируемого столбца в электронной таблице), в командной строке набрать знак «=», далее написать заглавными буквами наименование функции, в скобках после наименования функции указать аргументы функции (числа, ссылки на ячейки, имена, текст) и нажать клавишу Enter. Анализ будет выполнен с помощью подходящей статистической или инженерной макрофункции, а результат будет помещен в выбранную пустую ячейку. Статистические функции наиболее удобно вычислять для больших массивов, сведенных в таблицы. Для распространения результатов расчета функции на анализируемые столбцы или строки таблицы полученный результат в выделенной ячейке тянут мышью вдоль строки или столбца электронной таблицы.
Примеры написания функций (синтаксис): =КВАДРОТКЛ (4;5;8;7;11;4;3); =КВАДРОТКЛ (А1:А7).
При написании формул придерживаются следующих правил. В формулах приводят только парное количество скобок, каждая скобка является частью пары открывающей и закрывающей скобок. При указании ссылки на диапазон ячеек используют двоеточие (:) в качестве разделителя между первой и последней ячейками диапазона. Допускается вложение в строку формул не более 7 функций. Если формула содержит ссылки на значения ячеек других листов или книг, а имя другой книги или листа содержит небуквенные знаки, это имя необходимо заключить в апострофы ('). Не задают формат для чисел, вводимых в формулы. Функции анализа данных можно применять только на одном листе. Если анализ данных проводят в группе, состоя-
168
щей из нескольких листов, то результаты будут выведены на первом листе, на остальных листах будут выведены пустые диапазоны, содержащие только форматы. Чтобы провести анализ данных на всех листах, повторяют процедуру для каждого листа в отдельности.
Ниже приведены примеры написания и расчета наиболее часто используемых статистических функций.
Среднеарифметическое значение.
Расчетная формула:
Y = ∑ii ==1nYin .
Пример написания формулы (синтаксис): =СРЗНАЧ (число 1; число 2;…). В качестве аргумента функции могут быть числа, ссылки на ячейки, имена, текст.
Пример 1. Для таблицы экспериментальных данных (табл. 5.5), занимающей ячейки в электронной таблице в диапазоне А2:F9, вычислить среднеарифметические значения для каждого из столбцов.
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.5 |
|
Электронная таблица экспериментальных данных |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Обо- |
|
|
|
|
|
|
|
значе- |
A |
B |
C |
D |
E |
|
F |
ние |
|
|
|
|
|
|
|
ячеек |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тем- |
Кон- |
Соот- |
Расход |
Давле- |
Степень |
|
1 |
пера- |
центра- |
ноше- |
газа, |
ние |
|
превра- |
тура, |
ция, % |
ние реа- |
м3/ч |
газа, |
|
щения, |
|
|
°С |
|
гентов |
|
МПа |
|
доли |
2 |
350 |
10 |
1 |
1000 |
25 |
|
0,82 |
3 |
349 |
8 |
1,2 |
1100 |
24 |
|
0,81 |
4 |
360 |
14 |
1,1 |
1050 |
24,5 |
|
0,87 |
5 |
355 |
11,5 |
0,9 |
980 |
25,6 |
|
0,85 |
6 |
357 |
11,6 |
0,85 |
990 |
23,5 |
|
0,86 |
7 |
358 |
11,7 |
1,05 |
1020 |
25,1 |
|
0,865 |
8 |
351 |
10,2 |
1,21 |
1010 |
25,4 |
|
0,815 |
9 |
356 |
11,6 |
0,99 |
1070 |
24,6 |
|
0,855 |
|
|
|
169 |
|
|
|
|
В соответствии с правилами, изложенными выше, выберем ниже первого столбца пустую ячейку А10 и запишем в строку формулу: = СРЗНАЧ(А2:А9).
После нажатия Enter в ячейке А10 появится результат расчета. Щелкнем мышью на ячейке А10 и при нажатой левой клавише за правый нижний уголок ячейки (квадратик) протащим по строке А10-F10 мышь. В 10-й строке таблицы (ячейках А10-F10) появятся вычисленные средние значения:
Обозна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чение |
|
A |
B |
|
C |
|
D |
|
E |
F |
|
ячеек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
354,5 |
11,075 |
|
1,0375 |
1027,5 |
|
24,7125 |
0,843125 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Среднеквадратичное отклонение (стандартное от- |
|||||||||||
клонение). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчетная формула: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Sy = |
∑ii ==1n |
(Yi −Y |
)2 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Синтаксис:=СТАНДОТКЛОН (число 1; число 2; …) В качестве аргументов можно использовать массив
или ссылку на массив.
Пример 2. Для таблицы экспериментальных данных (см. табл. 5.5), занимающей ячейки в электронной таблице в диапазоне А2:F9, вычислить среднеквадратичные отклонения для каждого из столбцов.
Выберем ниже первого столбца пустую ячейку А11 и запишем в строку формулу :=СТАНДОТКЛОН (А2:А9).
После нажатия Enter в ячейке А11 появится результат расчета. Щелкнем мышью на ячейке А11 и при нажатой левой клавише за правый нижний уголок ячейки (квадратик) протащим по строке А11-F11 мышь. В 11-й строке таблицы (ячейках А11-F11) появятся вычисленные среднеквадратичные отклонения от среднего:
170