521
.pdfОтказы, как правило, являются случайными событиями, а момент появления как постепенного, так и внезапного отказа может быть определен только как случайная величина.
Алгоритм обработки информации при отказах системы
1.Строится вариационный ряд случайной величины и определяется его размах. Под случайной величиной в этом случае понимается наработка на отказ.
2.Вычерчивается гистограмма и полигон частостей.
3.Определяется эмпирическая функция вероятности отказа.
4.Вычисляется среднее значение, дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации случайной величины.
5. Находятся ошибки определения среднего значения
иошибка стандартного отклонения.
6.Высказывается предположение о виде (законе) распределения случайной величины.
7.Проверяется предположение, высказанное о законе распределения, и формируется аналитическое выражение для параметров потока отказов.
8.Записываются аппроксимирующие математические выражения: для плотности вероятности данного распределения, функции вероятности отказов и функции вероятности безотказной работы объекта.
9.Строятся аппроксимирующие графики функций вероятности отказов и вероятности безотказной работы объекта.
10.Составляется таблица, содержащая основные показатели надежности функционирования объекта.
11.Выполняется сравнительный анализ основных показателей надежности функционирования объектов и принимается соответствующее управляющее решение.
5.2.Порядок выполнения лабораторной работы
Вжурнале эксплуатации имеются данные об отказах по пяти объектам, которые функционировали в течение недели:
51
elib.pstu.ru
Номер |
Время отказа, мин |
объекта |
|
32, 52, 142, 262, 322, 502, 542, 822, 832, 891, 1007, 1086,
11326, 1356, 1367, 1389, 1416, 1480, 1605, 1615 43, 48, 67, 76, 142, 203, 285, 420, 508, 566, 783, 809, 1052,
21052, 1098, 1101, 1155, 1180, 1319, 1331, 1417
330, 108, 179, 248, 281, 358, 409, 511, 592, 663, 895, 937, 957, 980, 1144, 1168, 1301, 1450, 1501, 1531
4135, 170, 253, 271, 325, 406, 507, 595, 689, 713, 750, 907, 1016, 1081, 1229, 1350, 1371, 1387, 1430, 1460
583, 121, 231, 359, 411, 489, 507, 565, 701, 790, 905, 936, 1033, 1091, 1206, 1289, 1291, 1341, 1433, 1517
1.Определяем значения случайных величин и размах. Случайной величиной является наработка на отказ, т.е. чистое время работы системы между отказами. Для этого необходимо вычесть из каждого предыдущего значения момента времени отказа каждое последующее. Первые значения моментов времени отказов для каждого из пяти объектов остаются без изменений, поскольку предыдущих значений нет:
Номер |
Наработка, мин |
|
объекта |
||
|
132, 20, 90, 120, 60, 170, 40, 280, 10, 59, 116, 79, 240, 30, 11, 22, 27, 64, 125, 10
243, 5, 19, 9, 66, 61, 82, 135, 88, 58, 217, 26, 243, 46, 3, 54, 25, 139, 12, 86
330, 79, 69, 33, 77, 51, 102, 81, 71, 232, 42, 20, 22, 23, 164, 24, 133, 149, 51, 30
4135, 35, 83, 18, 54, 84, 98, 88, 94, 24, 37, 157, 109, 65, 148, 121, 21, 16, 43, 30
583, 38, 110, 128, 52, 78, 18, 58, 136, 89, 115, 31, 97, 58, 115, 83, 2, 50, 92, 84
Для определения размаха строим вариационный ряд случайной величины, мин:
52
elib.pstu.ru
2 |
3 |
5 |
9 |
10 |
10 |
11 |
12 |
16 |
18 |
18 |
19 |
20 |
20 |
21 |
22 |
22 |
23 |
24 |
24 |
25 |
26 |
27 |
30 |
30 |
30 |
30 |
31 |
32 |
33 |
35 |
37 |
38 |
40 |
42 |
43 |
43 |
46 |
50 |
51 |
51 |
52 |
54 |
54 |
58 |
58 |
58 |
59 |
60 |
61 |
64 |
65 |
66 |
69 |
71 |
77 |
78 |
79 |
79 |
81 |
82 |
83 |
83 |
83 |
84 |
84 |
86 |
88 |
88 |
89 |
90 |
92 |
94 |
97 |
98 |
102 |
109 |
110 |
115 |
115 |
116 |
120 |
121 |
125 |
128 |
133 |
135 |
135 |
136 |
139 |
148 |
149 |
157 |
164 |
180 |
217 |
232 |
240 |
243 |
280 |
Максимальное значение случайной величины 280 мин, а минимальное значение 2 мин. Следовательно, размах вариационного ряда R = 280 – 2 = 278 мин.
2. Для построения гистограммы и полигона частостей случайной величины делим размах варьирования случайной величины на равные интервалы и определяем частоту попадания значений случайной величины в каждый интервал. Количество
интервалов определяем по выражению: |
|
r ≈ 1+ 3,332 lg n , |
(5.1) |
где r – число равных интервалов разбиения вариационного ряда; n – число значений случайной величины, составляющих ва-
риационный ряд.
r = 1+ 3,332 lg100 ≈ 8.
Эта выражение дает 8 интервалов, следовательно, размах каждого интервала
R = 278
8 = 34,75.
Округляемполученнуювеличинудоцелогочисла, получаем35. 3. Составляем таблицу распределения частоты и частостей
по интервалам (табл. 5.1).
Если значения случайных величин попадают на границу интервала, то необходимо разделить их между двумя соседними интервалами пополам.
53
elib.pstu.ru
Таблица 5.1
Распределение наработки на отказ
Границы |
|
|
Накопленная |
Накопленная |
интервалов |
Частота ni |
Частость ni/n |
частота, ni |
частость, |
|
|
|
|
ni/n |
2–37 |
31,5 |
0,315 |
31,5 |
0,315 |
37–72 |
223,5 |
0,235 |
55 |
0,550 |
72–107 |
21 |
0,210 |
76 |
0,760 |
107–142 |
14 |
0,140 |
90 |
0,900 |
142–177 |
4 |
0,040 |
94 |
0,940 |
177–212 |
1 |
0,010 |
95 |
0,950 |
212–247 |
4 |
0,040 |
99 |
0,990 |
247–280 |
1 |
0,010 |
100 |
1,000 |
По данным табл. 5.1 (1-й, 5-й столбцы) строим гистограмму и полигон частостей, т.е. график вероятности появления случайной величины (рис. 5.1). Затем строим эмпирическую функцию вероятности отказов (1-й, 3-й столбцы) (рис. 5.2).
Рис. 5.1. Гистограмма и полигон частостей наработки на отказ
54
elib.pstu.ru
Рис. 5.2. Эмпирическая функция вероятности отказов
4. Используя данные табл. 5.1, определяем среднее значение случайной величины:
n |
T |
, |
(5.2) |
Tcp = i |
|||
i=1 |
n |
|
|
где Тi – наработка на отказ;
n – число учитываемых наработок до отказа (число величин, составляющих вариационный ряд наработки на отказ).
Если в формулу (5.2) подставить числовые значения для данного примера, то получим Тср = 74,88 мин.
5. Определяем значение дисперсии распределения случайной величины:
n
(Ti − Tcp )2
D(t) = |
i=1 |
|
. |
(5.3) |
|
n |
|||
|
|
|
|
Вданном случае D(t) = 3132,5 мин2.
6.Рассчитываем значение стандартного отклонения распределения случайной величины:
55
elib.pstu.ru
s = D(t) = 3132,5 = 56 мин.
7. Рассчитываем значение коэффициента вариации случайной величины:
r = |
s |
= |
56 |
= 0,75 мин. |
|
74,88 |
|||
|
Тср |
|
||
8. Находим ошибку в определение стандартного отклонения распределения случайной величины:
s = |
s |
= |
56 |
= 5,6 мин. |
|
|
|||
t |
n |
|
100 |
|
|
|
|
Тогда Тср = 74,88 ± 5,6 мин, или, округляя, 69 < Тср< 81.
9.Ломаная кривая на рис. 5.1 близка к экспоненте, а коэффициент вариации близок к единице, поэтому можно сделать предположение, что эмпирическое распределение является экспоненциальным.
10.Проверяем предположение о виде эмпирического распределения случайной величины на основе его линеаризации.
Проверка состоит в том, что по результатам испытаний гипотеза относительно вида распределения должна быть принята
как истинная или отброшена как ложная. Таким образом, здесь говорится о согласованности теоретического распределения с экспериментальными данными.
На координатной плоскости, соответствующей предполагаемому экспоненциальному распределению, наносим по данным табл. 5.1 экспериментальные точки функции надежности. Затем убеждаемся в возможности линейного аппроксимирования. Проводим прямую линию так, чтобы отклонения экспериментальных точек от этой линии были минимальными (рис. 5.3).
56
elib.pstu.ru
Рис. 5.3. Эмпирическая функция вероятности отказов, соответствующая экспоненциальному распределению
Соответствие теоретического распределения экспериментальным данным можно проверить с помощью критерия согласия Колмогорова. Теоретическое распределение не противоре-
чит экспериментальным данным, если D n ≤ 1, где D – макси-
мальное значение модуля отклонения теоретической функции распределения от экспериментальной, n – число испытаний (т.е. число величин, составляющих вариационный ряд), n ≥ 40...50. Величина D измеряется в долях ординаты как расстояние между наиболее удаленными точкой и прямой.
В нашем случае D = 0,01. Вычисляем значение D n = 0,01 100 = 0,1. Это значение меньше 1, поэтому можно
считать, что экспоненциальное распределение наработки до отказа не противоречит экспериментальным данным.
Параметр потока отказов определяется из выражения
λ = |
1 |
. |
(5.4) |
|
|||
|
Тср |
|
|
Подставляя в эту формулу значение Тср = 74,88 мин, получаем λ = 13 10−3 мин–1.
11. Аппроксимирующие математические выражения для плотности распределения по экспоненциальному закону
57
elib.pstu.ru
f = λ exp(−λ),
для функции «вероятность отказов»
F(t) = 1− exp(−λt),
для функции «вероятность безотказной работы»
P(t) = exp(−λt).
Подставляя параметр потока отказов и различное значение времени в эти выражения, получим вероятности отказа и безотказной работы технологической системы (табл. 5.2).
Таблица 5.2
Вероятности отказа и безотказной работы технологической системы
Время t, ч |
F(t) |
P(t) |
0 |
0 |
1 |
25 |
0,28 |
0,72 |
50 |
0,50 |
0,50 |
75 |
0,60 |
0,40 |
100 |
0,70 |
0,30 |
150 |
0,80 |
0,14 |
200 |
0,93 |
0,07 |
250 |
0,96 |
0,04 |
300 |
0,98 |
0,02 |
12.Построим графики F(t) и P(t) (рис. 5.4). Из графиков следует, что технологическая подсистема имеет весьма низкую надежность, поскольку вероятность безотказной работы P(t) = 0,72
при t = 25 ч, а P(t) = 0,5 при t = 50 ч.
13.Основные показатели надежности оцениваемой подсистемы сводим в таблицу:
58
elib.pstu.ru
Показатели надежности |
Значение показателей |
P(t = 50) |
0,50 |
P(t = 100) |
0,30 |
P(t = 150) |
0,14 |
λ |
13 10–3 мин–1 |
Tcp |
74,88 ± 5,6 мин |
Рис. 5.4. График функции вероятности отказов F(t) и вероятности безотказной работы P(t) технологической системы
14. Составим отчет по проделанной работе, в который должны войти следующие разделы:
–название и цель работы;
–краткие теоретические сведения с основными соотношениями;
–вычисление вероятности отказов F(t) и вероятности безотказной работы P(t) технологической системы;
–выводы по проделанной работе.
5.3. Пример расчета показателей надежности функционирования технологического процесса
В журнале эксплуатации имеются данные об отказах по пяти объектам, которые функционировали в течение недели:
59
elib.pstu.ru
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
Время отказа, сут |
|
|||||||
объекта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
1,3 |
4,2 |
|
5,6 |
7,4 |
8,9 |
|
9,2 |
10,5 |
|
|
||||
1 |
11,3 |
12,5 |
13,8 |
14,6 |
15,7 |
16,3 |
18,4 |
19,6 |
|||||||||
|
20,5 |
24,8 |
26,7 |
28,9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0,5 |
|
1,4 |
2,6 |
|
3,7 |
4,3 |
5,1 |
|
6,7 |
7,3 |
|
|
||||
2 |
8,2 |
|
9,5 |
10,2 |
|
11,6 |
12,5 |
|
13,9 |
14,3 |
15,9 |
||||||
|
16,7 |
17,3 |
18,6 |
19,4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2,1 |
2,9 |
3,6 |
4,3 |
|
5,8 |
|
6,2 |
7,4 |
|
|
|
||||
3 |
8,5 |
|
9,6 |
10,2 |
|
11,6 |
12 |
13,1 |
14,6 |
|
16,7 |
|
|||||
|
17,4 |
18,3 |
19,6 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,2 |
|
1 |
2,5 |
3,6 |
4,8 |
|
5,2 |
|
6 |
6,7 |
|
|
|
|||
4 |
7,8 |
|
8,9 |
9,2 |
10,3 |
11,8 |
12,9 |
13,4 |
14,5 |
||||||||
|
15,7 |
16,8 |
17,9 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0,9 |
|
1,4 |
2,7 |
|
3,6 |
4,9 |
5,2 |
|
6,7 |
7,9 |
|
|
||||
5 |
8,3 |
|
9,4 |
10,3 |
|
11,5 |
12,9 |
|
13,7 |
14,5 |
15 |
|
|||||
|
16,4 |
17,3 |
20 |
23,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Определяем значения случайных величин и размах. Наработки на отказ по всем объектам:
Номер |
|
|
|
|
Наработка, мин |
|
|
|
|
|||
объекта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,7 |
0,6 |
2,9 |
1,4 |
1,8 |
1,5 |
0,3 |
1,3 |
0,8 |
1,2 |
1,3 |
0,8 |
1,1 |
0,6 |
2,1 |
1,2 |
0,9 |
4,3 |
1,9 |
2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
0,5 |
0,9 |
1,2 |
1,1 |
0,6 |
0,8 |
1,6 |
0,6 |
0,9 |
1,3 |
0,7 |
1,4 |
0,9 |
1,4 |
0,4 |
1,6 |
0,8 |
0,6 |
1,3 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
1 |
1,1 |
0,8 |
0,7 |
0,7 |
1,5 |
0,4 |
1,2 |
1,1 |
1,1 |
0,6 |
1,4 |
0,4 |
1,1 |
1,5 |
2,1 |
0,7 |
0,9 |
1,3 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
0,2 |
0,8 |
1,5 |
1,1 |
1,2 |
0,4 |
0,8 |
0,7 |
1,1 |
1,1 |
0,3 |
1,1 |
1,5 |
1,1 |
0,5 |
1,1 |
1,2 |
1,1 |
1,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
0,9 |
0,5 |
1,3 |
0,9 |
1,3 |
0,3 |
1,5 |
1,2 |
0,4 |
1,1 |
0,9 |
1,2 |
1,4 |
0,8 |
0,8 |
0,5 |
1,4 |
0,9 |
2,7 |
3,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для определения размаха строим вариационный ряд случайной величины:
60
elib.pstu.ru