Кривая А отвечает тому случаю, когда определяемое ве­ щество полярографически активно, а реагент, используемый при титровании, не дает полярографической волны.

Кривая Б отвечает полярографическому титрованию, когда определяемое соединение и реагент способны давать по­ лярографическую волну.

Кривая В относится к полярографически неактивному веществу, титруемому раствором полярографически активного реагента, дающему диффузионный ток.

Метод полярографического титрования обладает несо­ мненными преимуществами перед прямой полярографией. Этот метод требует более простой аппаратуры, а точность его выше метода прямой полярографии.

10. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В строительстве необходимо исследовать не только де­ терминированные, но и случайные вероятностные процессы. Те или иные события могут произойти или не произойти. В связи с этим приходится анализировать случайные и статистические связи, в которых каждому аргументу соответствует множество значений функций. Наблюдения показали, что, несмотря на слу­ чайный характер связи, рассеивание имеет вполне определенные закономерности.

Случайный характер событий подчиняется закономерно­ стям, рассматриваемым в теории вероятности. Теория вероятно­ сти базируется на следующих основных показателях:

Совокупность - множество однородных событий. Сово­ купность случайной величины х составляет первичный ста­

тистический материал. Совокупность, содержащая самые различные варианты массового явления называют большой выборкой N.

Вероятностью Р{х) события х называют отношение числа случаев N{x), которые приводят к наступлению события х к об­

щему числу случаев:

Р(х) = а д

м ’

Вероятность случайной величины - это количественная оценка возможности ее появления. Достоверное событие имеет вероятность Р = 1, невозможное событие - Р = 0. Следователь­ но, для случайного события 0< Р(х) < 1, а сумма вероятностей

о

В исследованиях иногда недостаточно знать одну функ­ цию распределения, необходимо еще иметь ее характеристики:

1.Среднеарифметическое значение - х

Пусть среди п событий случайная величина х\ повторяет­ ся П\ раз, величина х2- п2раза и т.д.

1п

2.Размах - можно использовать для ориентировочной

оценки вариации ряда событий:

R~~-^шах

3.Если вместо эмпирических частот у |, у2...уп применять их вероятности Р\, Р2 Рп, получим математическое ожида-

п

ние т{х) = Y .xi^i

1 Для непрерывных случайных величин математическое

+оо ожидание равно т(х) = fxP(x)dx.

-С О

4.Дисперсия - характеризует рассеивание случайной ве­

личины по отношению к математическому ожиданию:

д= ^ £ ( * ,- - * ) 2

2 1

5.Среднеквадратическое отклонение (стандарт):

9 (Х) = 4 Д М -

Стандарт является мерой точности измерений.

6. Коэффициент вариации

применяется для сравнения интенсивности рассеяния в различ­ ных совокупностях, определяется в относительных единицах Кв< 1 .

Выше были рассмотрены основные характеристики теоре­ тической кривой распределения, которые анализирует теория вероятности.

В статистике оперируют с эмпирическими распределе­ ниями.

Пусть в результате п измерений случайной величины по­ лучен вариационный ряд х и *з х„. Обработка сводится к

следующему:

1) группируют х, в интервалы и устанавливают для каж­ дого из них частоты у, и у ы;

2) по значениям х, и у oi строят ступенчатую гистограмму

частот; 3) вычисляют характеристики эмпирической кривой рас­

пределения.

Значениям х, Д, 5 эмпирического распределения соответ­ ствуют величины Д (х), 8 (х) теоретического распределения.

Рассмотрим основные теоретические кривые распреде­ ления.

Наиболее часто в исследованиях применяют закон нор­ мального распределения (рис. 13):

Это уравнение соответствует функции нормального рас­ пределения при т(х) Ф0. Если совместить ось ординат с точкой т, т.е. т(х) = 0, и принять 5 = 1, то закон нормального распреде­

ления описывается зависимостью (за единицу масштаба принята дисперсия 82).

Рис. 13. Общий вид кривой нормального распределения: а) т(х) Ф0; б) т(х) =0

Эта формула более проста и чаще применяется при анализе. Для оценки рассеяния обычно пользуются величиной 8.

Чем меньше 8, тем меньше рассеяние, т.е. большинство наблю­ дений мало отличается друг от друга (см. рис. 13).

С увеличением 8 рассеяние возрастает, вероятность появ­ ления больших погрешностей увеличивается, а максимум кри­ вой распределения (ордината),

зывают мерой точности.

Таким образом, чем меньше 8, тем больше сходимость ре­ зультатов измерений, а ряд измерений более точен. Как видно из уравнений, среднеквадратичное отклонение определяет закон распределения.

Среднеквадратичное отклонение +8 и -8 соответствует точкам перегиба кривой (заштрихованная площадь на рис. 14). Вероятность того, что случайные события не выйдут за эти пре­ делы, равна 0,683. Для предела е вероятность того, что событие

х попадает в данный предел, вычисляется по распределению Ла­

пласа:

/(* ) =

Функция J{x) табулирована и используется в исследо­

ваниях.

При анализе многих случайных дискретных процессов пользуются распределением Пуассона. Например, поток авто­ мобилей, прибывающих на асфальтобетонный завод, поток ав­ томобилей перед светофором и другие краткосрочные события,

хX

где х - число событий за данный отрезок времени /; X - плот­

ность, т.е. среднее число событий за единицу времени; Xt - среднее число событий за время (, Xt = т.

Распределение Пуассона относят к редким событиям, т.е. Р(х) - вероятность того, что событие в период какого-то испы­

тания произойдет х раз при очень большом числе событий т.

Для закона Пуассона дисперсия равна математическому ожида­ нию числа наступления события за время /, т.е. S2 = т. Как вид­

но из формулы, пуассоновский процесс можно задать двумя па­ раметрами х и т . Табличные значения вероятностей Р(х) для х от 0 до 25 и т от 0,1 до 18 составляет соответственно от 0,904

до 0,023.

Рассмотрим пример. С помощью наблюдений установле­ но, что за пять минут на погрузку под экскаватор поступает 6 автосамосвалов.

Какова вероятность поступления 10 автомобилей за 5 ми­ нут? В этом случае

б10^”6

JC= 10; 51/ = 6; Р(х) = — ?— = 0,041.

10

Как видно, эта вероятность очень мала.

Рассмотрим второй пример. Вероятность возникновения брака составляет 0,02. Какова вероятность того, что в партии из 100 единиц окажется пять бракованных изделий? Имеем

100 0,02 = 2;

2 " V 2

х = 5, тогда Р(х) = — -— = 0,036,

т.е. вероятность очень мала.

Для исследования количественных характеристик некото­ рых процессов (время обслуживания строительных машин в ре­ монтных мастерских и автомобилей на станции технического обслуживания, время отказов машин и изделий, длительность телефонных разговоров между диспетчером и передвижными оперативными пунктами т.д.) можно применять показательный закон распределения (рис. 16).

Плотность вероятности показательного закона выражается зависимостью

f( x ) = X e ^ ,

где X - плотность или интенсивность (среднее число) событий в

единицу времени.

В показательном законе плотность является величиной, обратной математическому ожиданию:

т(х)'

Кроме того, имеет место соотношение 82 = [m(.v)]2 В раз­ личных областях исследований широко применяется закон рас­ пределения Вейбулла (рис. 17).

/ ( х ) = щ1пхп-'е~>‘’х"

Здесь и, (I - параметры закона; х - аргумент, чаще прини­

маемый как время.

Исследуя процессы, связанные с постепенным снижением параметров (ухудшение свойств материалов во времени, дефор­ мация конструкций, процессы старения, износовые отказы в

/( * ) = Хе~и