М.Ю. Егоров

аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется численно. Основная трудность здесь состоит в разрешении краевой задачи для системы высокого порядка. Метод интегральных соотношений предназначен для эллиптических уравнений.

Конечно-оазностные методы. Так обобщённо называется достаточно широкий класс разностных схем. Это название в ряде случаев не совсем корректно, так как в принципе все численные методы, реализуемые на электронных цифровых (т.е. дискретных, а не аналоговых) вычислительных машинах, используют конечные разности (в том числе упомянутые выше метод характеристик и метод интегральных соотношений и т.п.). Конечно-разностные численные подходы используются для решения нелинейных уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов [5, 6, 7, 14, 37, 79, 80, 81, 94, 97, 99, 100, 108, 109, 111, 112, 113-116 и др.]. Область интегрирования здесь разбивается на расчётные ячейки (узлы) с помощью некоторой (как правило, прямоугольной) фиксированной сетки. Производные функции по всем направлениям заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений. Приёмы построения разностных уравнений самые разнообразные. Используются как явные, так и неявные разностные схемы. Много внимания уделяется исследованию свойств разностных уравнений (точность аппроксимации, условия устойчивости, диссипативные эффекты схем и т.п.). Главное достоинство конечно­ разностных методов - относительная простота численных алгоритмов.

В отличие от методов, в которых используется выделение разрывов и других особенностей, часть конечно-разностных методов, называемых методами сквозного счёта, даёт возможность проводить сквозной счёт через ударные волны и другие особенности путём «размазывания» разрывов решений на несколько расчётных узлов [108, 141 и др.]. При этом они в целом позволяют с достаточной дая практики точностью установить распределение параметров в расчётной области.

Наиболее простыми конечно-разностными методами, применявшимися ранее для решения в основном газодинамических задач, являются методы В. В. Русанова [7, 112] и Лакса [108, 137]. Применение их ограничено в связи с тем, что точность решения задач по алгоритмам этих методов зависит от правильного выбора числа Куранта. Кроме того, устойчивость численного решения обеспечивается введением искусственной вязкости, которая оказывает дополнительное негативное влияние на точность вычислений. Из методов, использующих искусственную вязкость, можно также отметить методы Лакса - Вендроффа [108, 138] и Мак-Кормака [81,

97, 139]. Они нашли применение для решения газодинамических задач, в том числе и для решения задач двигателестроения. К недостаткам всех этих методов следует отнести необходимость применения искусственной вязкости. Использование искусственной вязкости характерно для идеологии численных методов 1950-х годов (например, искусственная вязкость Landshoffa 1955 года), когда ещё не была разработана нелинейная теория разностных схем и не было известно о существовании аппроксимационной (схемной) вязкости. 6 методе Мак-Кормака, например, структура искусственной вязкости нефизична (как обычно и в других методах), что в ряде случаев может быть решающим фактором, существенно ограничивающим применение этого метода. Второй порядок точности схем метода Мак­ Кормака позволил его примененятъ для решения ряда задач о течении идеального и вязкого газа. Применение этого метода особенно оправдано при решении задач, в которых отсутствуют какие-либо разрывы по параметрам.

ВИнституте прикладной математики АН СССР Ю.П. Поповым

иА.А. Самарским было предложено семейство полностью консервативных конечно-разностных схем [107, 113, 116, и др.]. Наиболее эффективными из них являются неявные схемы, разностные уравнения для которых решаются различными вариантами метода прогонки (скалярной, матричной, потоковой и др.). Данные схемы используются при решении задач магнитной гидродинамики, теории горения конденсированных систем и в других областях. К недостаткам схем следует отнести высокую трудоёмкость при решении пространственных задач. Кроме того, следует отметить плохую адаптацию данных неявных схем к архитектуре современных ЭВМ.

М.А Ильгамовым, В.А Ивановым и Б.В. Гулиным был предложен ряд явных и неявных конечно-разностных схем для решения задач механики деформированного твёрдого тела [79, 80]. Данные схемы, в частности, при решении задач динамики оболочек с упругим заполнителем обладают достаточно высокой точностью и вычислительной устойчивостью в широком диапазоне значений коэффициента Пуассона материала заполнителя. Это свойство является особенно важным, так как определяет выбор конечно­ разностной схемы для рассматриваемого класса задач.

Метод конечных элементов. Ряд задач в нелинейной механике сплошных сред решено методом конечных элементов [16, 87,106, 118

идр.]. Исходные уравнения и динамические краевые условия удовлетворяются здесь только в некотором осредйённом смысле для выбранного типового конечного объёма («элемента») среды. При этом аппроксимация различных полей производится на конечном элементе

локально и независимо от его положения в общей модели. Основная сфера приложения указанного подхода - это механика твёрдого деформируемого тела [106, 118]. Имеются публикации с применением метода конечных и граничных элементов в газовой динамике [16, 87]. Однако данные публикации посвящены расчёту течений газа только с малыми скоростями движения.

Методики этого типа имеют свою область применения и свои характерные трудности. По способу представления приближённого решения такие подходы более приспособлены для нахождения решения задач эллиптического и параболического типов. При решении гиперболических задач метод конечных элементов нельзя считать достаточно эффективным. Основная причина заключается в том, что здесь полностью отсутствует использование такого фундаментального свойства гиперболических задач, как конечность области влияния. Это приводит к неестественному «завязыванию» всех узлов расчётной области, следствием чего являются неоправданно высокие требования к объёму используемой памяти ЭВМ.

Метод распада разрыва. В начале 1950-годов С.К. Годуновым был предложен численный метод [10, 12-14 и др.], базирующийся на формулах распада произвольного разрыва, Ьолученных Н.Е. Кочиным [91, 136]. Этот метод не представляет собой генерального направления в вычислительной гидродинамике (он даже не упомянут ни в одном издании Математического энциклопедического словаря). Метод был создан в то время, когда ещё не существовала современная нелинейная теория разностных схем. Поэтому данный метод обладает многими недостатками, и представляет интерес, в основном, в историческом плане (см. также: Годунов С.К. Воспоминание о разностных схемах. - Новосибирск: Научная книга, 1997 - 40 с.). Период «расцвета» этого метода - 1960-е годы. Основная область его применения - внутрикамерная и внешняя газовая динамика. Суть метода состоит в построении консервативной коиечпо-разпостиой схемы, учитывающей физические закономерности исследуемого процесса. Так, при расчёте газодинамических задач конечно­ разностная аппроксимация дивергентных членов дифференциальных уравнений сохранения выполняется с учётом решения задачи о распаде произвольного разрыва газодинамических параметров.

Использование дополнительных физических посылок обеспечивает возможность применения метода для решения некоторых других классов задач. Однако у метода есть существенные недостатки и ограничения на использование. Так, использование алгоритмов такого топа при расчёте течений вязкого газа приводит к накоплению ошибок. Не удаётся единым алгоритмом выполнить

расчёт двухфазного и тем более многофазного течения. В ряде случаев метод распада разрыва дает не только количественно большие ошибки (десятой процентов), но приводит к принципиально (качественно!) неправильному решению (например, в задачах по обжатию конуса). Время счёта задачи методом распада разрыва существенно превышает время счёта по другим методам (например, более чем в 10 раз по сравнению с методом крупных частиц).

Методы расщепления. Идея расщепления сложных исходных операторов на совокупность более простых составляющих получила распространение во 2-й половине XX века. В настоящее время широко развиваются методы, основанные на однородных и неоднородных аппроксимациях. В случае неоднородной аппроксимации каждая из вспомогательных (промежуточных) задач может и не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место. Эти методы называются методами расщепления (или методами дробных шагов) [98, 101, 102, 133].

По существу расщепление сложного исходного дифферен­ циального (или интегрального) оператора может осуществляться либо по времени, либо по пространственным координатам, либо по физическим процессам, либо совместно и по времени и по пространству и т.д. Методы расщепления развиты в работах Ю М Давыдова [27], Е.Г. Дьяконова [74, 75], Г.И. Марчука [101, 140], Ю.П. Попова [116], А.А. Самарского [113], В.К. Саульева [117], Н.Н. Яненко [131,132] и др.

Методы расщепления нашли широкое применение для разнообразных по своему характеру задач и стимулировали формирование более общего подхода к решению задач математической физики на основе метода слабой аппроксимации, разработанного Н.Н. Яненко [130, 132], А.А.Самарским [113]. Метод расщепления можно трактовать как метод слабой аппроксимации исходного уравнения некоторым другим, более простым. Метод слабой аппроксимации нашёл естественное применение в задачах гидродинамики, метеорологии, теории переноса излучения и в ряде других прикладных задач.

Метод Давыдова ("метод крупных частиц"), В конце 1960-х годов Ю.М. Давыдов предложил метод крупных частиц [18, 20, 21 и др.]. Первой работой по методу крупных частиц является написанный Ю.М. Давыдовым в 1968 году отчёт Вычислительного центра АН

СССР и Московского физико-технического института [18]. Этому методу были посвящены дипломная работа Ю.М. Давыдова (1969) [19], его кандидатская диссертация (1970) [20] и его докторская диссертация (1981). В дальнейшем Ю.М. Давыдов и ученики его

школы глубоко развили [22-25, 27-31, 34-47, 49-56, 58-65 и др.] метод крупных частиц - метод численного эксперимента нового поколения.

Дадим, следуя [20, 30], формальное описание метода Давыдова (метода крупных частиц) для задач газовой динамики. Основная идея метода состоит в расщеплении по физическим процессам исходной нестационарной системы дифференциальных уравнений (например, системы уравнений Эйлера), записанной в форме законов сохранения. Среда здесь моделируется системой из жидких (или газообразных) элементов крупных частиц, по форме совпадающих в данный момент времени с ячейкой эйлеровой сетки. Стационарное решение задачи, если оно существует (если оно не существует физически - в расчетах реализуется устойчивое нестационарное решение, адекватное физике (механике) исследуемого процесса), получается в результате установления, поэтому весь процесс вычислений состоит из многократного повторения шагов по времени. Расчёт каждого временного шага (вычислительного цикла) в свою очередь разбивается на три этапа: эйлеров, лагранжев и заключительный. Рассмотрим каждый из этих этапов в отдельности:

•эйлеров этап, когда пренебрегаем всеми эффектами, связанными с перемещением элементарной ячейки (потока массы через границы ячеек нет), и учитываем эффекты ускорения жидкости лишь за счёт сил давления; здесь для крупной частицы определяются промежуточные значения искомых параметров потока («эйлеровы» скорость и энергия);

•лагранжев этап, где при движении жидкости вычисляются потоки массы через границы эйлеровых ячеек;

•заключительный этап - определяются в новый момент времени окончательные значения всех газодинамических параметров потока на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для каждой ячейки и всей системы в целом на фиксированной

расчётной сетке.

По существу на первом этапе метода проводится чисто лагранжев расчёт - рассматривается изменение за время л/ импульса и энергии лагранжева элементарного объёма жидкости (крупной частицы), заключённого внутри данной эйлеровой ячейки (при этом граница объёма смещается относительно начального расположения). Второй этап характеризует перемещение расчётных ячеек относительно жидкости - здесь вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку (моделируется движение потока массы через границы эйлеровых ячеек и находятся смещения расчётных точек). На третьем этапе метода происходит соответствующее перераспределение массы, импульса и энергии по пространству, что

позволяет определить новое распределение гидродинамических параметров на первоначальной эйлеровой сетке (находятся изменения за время ы параметров потока в элементарной эйлеровой ячейке, полученной возвращением лагранжева объема в исходное положение).

Указанный процесс построения разностных схем метода Давыдова (метода крупных частиц) можно использовать и для других моделей среды (для уравнений Навье-Стокса, уравнений Больцмана, уравнений радиационной газовой динамики, задач физики плазмы, задач теории твёрдого деформируемого тела, теории сыпучих сред и др.). Метод позволяет проводить численный эксперимент в наиболее общей постановке: пространственно - трехмерном нестационарном случае. При этом может учитываться многофазность и многокомпонентность, а также любая физико-химия исследуемого процесса (горение, излучение и т.п.).

В методе крупных частиц успешно могут использоваться элементы других методов (например, метода интегральных соотношений [20], метода распада разрыва [65] и др.).

Современное понимание метода Давыдова состоит в рассмотрении многопараметрических классов разностных схем расщепления с широкой оптимизацией их по параметрам [27, 37, 41 и др.]. Алгоритмы метода конструируются в том числе и с учётом архитектуры высокопроизводительных супер ЭВМ [49, 66-70]. Исследованию и оптимизации многопараметрических классов разностных схем метода крупных частиц посвящены многие работы Ю.М. Давыдова и его учеников [27, 37, 41, 85, 86 и др.]. Значительное развитие получило исследование дифференциальных приближений и представлений разностных схем метода крупных частиц, анализ устойчивости, изучение групповых и других глубоко нелинейных свойств разностных схем метода (диссипации, дисперсии, бивязкости, бидисперсии, тривязкости и т.п., солитонных эффектов, полной консервативности, К-свойства, сильного К-свойства, М-свойства и т.п.) [2,29, 31,41, 51, 59,60, 62, 124,129 и др.].

Следует отметить широкий круг рассматриваемых с помощью метода Давыдова физических процессов и явлений. К ним относятся задачи внешней и внутренней аэрогидродинамики (струйные и срывные течения, распространение и взаимодействие ударных волн, турбулентные течения, течения слабосжимаемых сред и пр.) [20, 24, 41, 63,120 и др.], механики многофазных дисперсных сред [36,41, 48, 57, 103 и др.], физики плазмы и электродинамики [35, 78, 90, 93], теплообмена [40, 56], теории фильтрации [3, 123, 135 и др.], механики сыпучих сред (например, грунтов) [41] и др. Методом крупных частиц эффективно решаются задачи оптимизации [119 и др.], он успешно используется в системах автоматического проектирования (САПР) [82

основные схемы метода крупных частей обладают свойством дивергентносте или консервативности (в том числе и полной консервативности); использование таких схем позволяет повысить точность вычислений, так как для них выгоняются разностные законы сохранения; метод крупных частиц, в отличие от всех других численных

методов, допускающих только одностороннюю трактовку, может рассматриваться со всех известных точек зрения: как эйлерова схема, лагранжева схема, схема расчёта в локальнолагранжевых координатах, схема расщепления, сеточный метод, метод сквозного счёта и т.д.; метод крупных частиц может базироваться как на

дифференциальных уравнениях, так и на интегральных уравнениях; его разностная схема может быть получена (фазу (без использования дифференциальных или интегральных уравнений) путем прямой разностной аппроксимации физических законов сохранения;

вметоде практически по единому алгоритму удаётся проводить расчёт многофазного и полидисперсного течения;

вметоде крупных частиц легко учитываются физико-химические процессы (горение, излучение, химическое взаимодействие и др.);

врамках данной численной технологии для расчёта многомерных задач разработаны эффективные способы постановки граничных условий на сложной криволинейной образующей области интегрирования; сама процедура построения процесса вычисления и используемые

разностные схемы метода компактны, хорошо поддаются трансформированию (например, для адаптации к архитектуре ЭВМ) и могут быть ориентированы на применение в вычислительных системах любой мощности.