298

Вообще говоря, понятие ленты можно трактовать как абстрактную модель памяти бесконечных автоматов (память бесконечна).

х = а\а2аъ...ап, которая располагается в п верхних ячейках, по одному символу в ячейке. Остальные ячейки остаются пустыми. В режиме записи по указанному адресу (номер ячейки) весь «хвост» цепочки сдвигается вниз, а в ячейку с указанным адресом записывается указанный символ.

В режиме чтения символ на ячейке с указанным адресом считывается, затем стирается, и «хвост» цепочки смещается на одну ячейку вверх.

При записи исходная ячейка удлиняется, при чтении - укорачивается. Это все для эластичной ленты.

Структура магазинного автомата представлена на рис.2.6. Он состоит из конечного управляющего автомата, снабженного тремя каналами для работы с магазинами - входным, выходным, внутренним.

Управляющий

автомат

--------1—-------

Входной Внутренний магазин магазин

Выходной

магазин

Рис. 2.6. Структура магазинного автомата

Входной магазин работает всегда в режиме чтения (задает входной алфавит), выходной - в режиме записи (выходной алфавит), а внутренний - в режиме и чтения, и записи (алфавит внутренних состояний).

Множество А состояний управляющего автомата разбито на два непересекающихся подмножества А\ и Aj. Если состояние управляющего автомата относится к подмножеству А\, то происходит считывание из входного и внутреннего магазинов, если же оно относится к подмножеству А2, то происходит считывание только из внутреннего магазина. В этот же момент автомат переходит в новое состояние и записывает во внутренний и выходной магазины некоторые слова.

Пусть X, Уи 2 - алфавиты входного, выходного и внутреннего магазинов,

магазина (z)).

Различают распознающие магазинные автоматы, или акцепторы (выходной алфавит пуст), порождающие магазинные автоматы (входной алфавит пуст), и магазинные преобразователи, или трансдьюсеры (общий случай).

Для определения способа функционирования магазинного автомата рассмотрим понятие конфигурации.

Конфигурацией называется четверка (p,a,w ,q), гдe p e F (x )\ а е А : w е F(Z); q eF (Y ), где F(х) - цепочки из множестваX и т.д.

Конфигурация называется заключательной, если она имеет вид (l,a*,e,q).

где а* е А*, е -пустое слово.

Для распознающих автоматов в определении конфигурации следует отбросить четвертый компонент (выходной алфавит пуст), а для порождающих

-первый (входной алфавит пуст).

Вмножестве А выделяют также начальное состояние а0 и множество

заключительных состояний А*, а в множестве Z—начальный символ z0. Распознающий магазинный автомат представляет (распознает) язык,

состоящий из всех слов Р таких, что конфигурация (p,a0,z0,e) переходит в

одну из заключительных конфигураций (еуа ,е,е). Порождающий магазинный автомат порождает язык, состоящий из всех слов q таких, что конфигурация

(e,fl0,Z0»£) переходит в заключительную конфигурацию вида (а*,в,q).

Магазинный автомат распознает (порождает) язык, относящийся к классу контекстно-свободных языков.

2.3. Сети Петри

Автомат является математической абстракцией системы (машины, устройства) переработки информации или процесса переработки.

Автоматы, построенные из определенных компонентов по определенным

Множество позиций, которые соединены с определенным переходом

Каждой вершине графа, соответствующей позиции сети Петри, может быть поставлено в соответствие неотрицательное число меток, которые на рисунке обозначаются точками внутри кружка.

Начальное распределение меток соответствует начальным условиям работы сети и называется начальной маркировкой. Таким образом, сеть Петри

Если все входные позиции перехода /,. содержат метки, то такой переход является активным. Активный переход может быть реализован.

Иногда об активных переходах говорят как о воспламененных, а реализацию перехода называют его сгоранием.

В результате реализации (сгорания) перехода удаляется одна метка на каждой входной позиции и помещается по одной метке в каждую выходную позицию.

Таким образом, метка позиции может быть использована для реализации только одного перехода.

Реализацию перехода можно представить как событие, осуществляющееся при выполнении условий, в результате чего старые условия исчезают и соединяются в новые, при этом общее число меток в сети может измениться.

Существенно, что не все активные переходы должны быть реализованы, но допустима реализация только активных переходов.

Для нашего примера (см. рис. 2.7) в сети Петри начальная маркировка, в соответствии с которой имеется метка в позиции ах, делает активным переход /,. После реализации этого перехода метка в я, удаляется и метки помещаются в позиции а2 и a3t что соответствует распараллеливанию процесса. Затем реализуются переходы t2 и t3 и появляются метки в аА и а5. Эти события могут происходить в разные моменты времени, т.к. относятся к различным параллельно протекающим процессам. Однако ни /4, ни t5 не могут быть реализованы, пока оба эти процесса, не закончатся. Затем реализуется какойлибо из переходов /4 или t5, и сеть Петри переходит в начальное состояние.

Следует отметить, что многими авторами рассматривались различные типы сети Петри, для которых вводятся разные ограничения на заполнение позиций метками, на условия реализации переходов, на число входящих и исходящих дуг позиции.

Сеть Петри является удобным и наглядным средством описания взаимодействующих процессов. Протекание процесса соответствует последовательности реализации переходов, что вызывает перемещение меток по сети, т. е. изменение состояния процесса.

Кроме того, сеть Петри может быть использована для описания алгоритма функционирования дискретного устройства (автомата), управляющего некоторым объектом управления (ОУ). При этом требуется определенная интерпретация элементов сети Петри. Разными авторами предлагаются различные интерпретации, выбор которых зависит как от способа реализации синтезируемого автомата (аппаратурная, программная, микропрограммная реализация), так и от свойств ОУ

При одной из возможных интерпретаций предполагается, что в результате реализации перехода происходит не только перемещение меток по сети, но и формируется сигнал (выходной сигнал), воздействующий на ОУ

Такие сигналы могут рассматриваться как команды, которые должны быть выполнены в управляемой системе. После выполнения команды ОУ выдает сигнал, который ставит метку в соответствующую позицию сети Петри. Эти позиции называются внешними в отличие от внутренних, которые получают метки в результате реализации переходов сети Петри. Внешние позиции могут получать метки не только от ОУ, но и от других устройств управления или от

человека-оператора. Пример фрагмента такой сети Петри приведен на рис. 2.8,

для построения устройства управления (автомата) реализуемый им алгоритм должен быть детерминированным.

Рис. 2.8. Сеть Петри (фрагмент)

2.4. Регулярные языки и конечные автоматы

Ранее мы знакомились с понятием регулярных (автоматных) грамматик (языков). Напомним, что регулярная (автоматная) грамматика (тип 3) имеет

словарей (нетерминального и терминального). Язык, порожденный такой грамматикой, называется регулярным (автоматным).

Рассмотрим регулярный язык подробнее.

При описании автомата задается входной алфавит. Множество слов во входном алфавите называется событием. Этот термин стал традиционным в теории автоматов, хотя и не обязателен: можно обойтись термином просто «множество слов». Другой термин для множества слов - язык (множество всевозможных цепочек в некотором словаре).

Событие (язык) называется распознаваемым данным конечным автоматом, если оно в этом автомате представимо, т.е. если на вход автомата поступает это событие, то автомат достигает одного из своих заключительных состояний. Среди множества слов в событии может содержаться и пустое слово (цепочка) - слово нулевой длины. Пустое слово будем обозначать е. Для любого слова а еа = ае = а; таким образом, в группе слов входного алфавита,

где умножением является приписывание (конкатенация) слов друг к другу, е играет роль единицы.

Пустое слово не следует путать с пустым событием (т.е. с пустым множеством).

Автомат представляет пустое событие, если ни одно из его заключительных состояний не достижимо из начального состояния. Так как событие—это множество, то все операции под множествами справедливы для событий.

Вводим еще три операции над событиями. Пусть даны события Ех и Е2 в алфавите А. Для этих событий справедливы операции:

множество всех слов вида сцс^, где а, е Ех, аг е Е 2 - слово сц приписывается справа к слову сц.

3. Итерация (обозначается Е\ или {i^}, или < Ех>)

Ех = e v £ , v £ 1£ 1v ...v(£ ,)/Iv ...= v El i-0

(Ex - e, El - Ex, E\ - EXEXи так далее).

Итерация —это операция, применяемая к множествам слов некоторого алфавита А, т.е. к событиям. Если Ех —некоторое событие в алфавите А, то

£ * ( { £ 1} , < £ 1 >) будет событием, содержащим пустое слово и все те слова, которые можно составить из слов события Ех, приписывая их друг другу в произвольном порядке. Например, если Ех=ab%io Е*х = e,ab,abab,ababab,...

Пусть алфавит А, над которым рассматриваются события, состоит из букв (символов) ах,а2,..., ат . Тогда событие, состоящее из одного однобуквенного слова я,(/ = 1,2 ,...,/я), будем называть элементарным и обозначать просто а{

(событие {а,}, где а, е А). К элементарным отнесем также событие е . Событие называется регулярным, если оно может быть построено на

элементарных событиях с помощью конечного числа применений операций объединения, умножения и итерации. Эти операции также назовем регулярными.

Таким образом, регулярное событие может быть описано формулой, содержащей символы образующих (е й буквы алфавита А) и знаки регулярных операций над ними. Такие формулы называются регулярными выражениями. Регулярные выражения эквивалентны, если они описывают одно и то же событие. Например, эквивалентные выражения EtEx,E 2,E3 - регулярные события, тогда:

Ех(Е2 v Е3) = ЕхЕ2 v ЕХЕЪ\ (Ех v Е2)ЕЪ= ЕхЕг v Е2Е3\

(Е{Е2Щ = Е,(Е2Ег)-(Е'У = Е ' Х = е v Е(Е)"

Операция объединения ассоциативна и коммутативна.

Отметим: множество, состоящее из одного слова а/} ...,а^,является

скобок преобразует его к виду a, v .. .va k, т.е. Е описывает конечное событие. Если же Е содержит итерацию, то оно бесконечно, за исключением случаев, когда итерация применяется только к е (е* = е, т.е. конечно).

Регулярное выражение вида А*Е, где Е — конечное событие, не содержащее пустого слова, описывает бесконечное событие, содержащее все

слова из А*, кончающиеся словами на Е . Например:

1) событие (a v Ъv с) (a v cb) содержит все слова в алфавите {а,Ь, с}9 кончающиеся на а или cb (бесконечно);

2) событие *(* v y vz)*(y v z) содержит все слова в алфавите {*,y ,z} t

начинающиеся х и кончающиеся у или z (бесконечно).

Событие Е{ = (a v b)*с(а v b)*с(а v b)* состоит из всех слов в алфавите {а,Ь,с}, содержащих с ровно два раза.

Событие £* состоит из всех слов, содержащих с четное число раз. Регулярные события и только они представимы в конечных автоматах. Конечный автомат можно рассматривать как устройство, распознающее

некоторое множество М входных слов. Поступление на вход автомата последней буквы такого слова вызывает (в тот же момент) особую внешнюю реакцию автомата, т.е. некоторое подмножество выходных символов.

Множество всех цепочек (слов), воспринимаемых автоматом А , образует язык L(A ), представимый данным автоматом. С другой стороны, множество слов во входном алфавите называют событием.

Таким образом, язык, представимый данным автоматом, есть событие. Регулярное событие обозначает регулярный язык (или язык регулярных

событий, или язык регулярных выражений).

Конечные автоматы представляют только регулярные языки. Итак,

конечные множества (алфавиты) входов, состояний и выходов автомата соответственно, а б :Q x A -> Q и \ :Q x A —>V — функции, определенные на

8 - функция переходов, X - функция выходов.

Если, кроме того, в автомате выделено одно состояние, называемое начальным (обычно считается, что это qx), то такой автомат называется инициальным и обозначается (S ,q )

Функции б и X конечны и могут задаваться либо формулами, либо таблицами (таблицы переходов, таблицы выходов, таблицы переходоввыходов).

Отображение (функция, оператор) есть закон соответствия, сопоставляющий каждому элементу множества А некоторый (единственный) элемент множества В

Обозначается (р А —» В - задано отображение А в В Декартовым (прямым) произведением А х В множеств А и В называется

множество всех пар вида (а,,6у), в которых первый компонент принадлежит

начальному состоянию о автомата А соответствует вершина, помеченная

а из вершины ip в вершину (р

Автомат функционирует следующим образом: на вход последовательно (слева направо) подаются символы цепочки х - а{ , аи ...а^ eF(U)

Движение по графу начинается с вершины а , что соответствует начальному состоянию автомата А, в котором он воспринимает символ ау Затем

осуществляется переход из вершины о по любому из ребер а( к некоторой вершине \р,, после чего автомат воспринимает очередной символ а, и т.д. Если на некотором шаге осуществляется переход в вершину \р, у которой отсутствует ребро с пометкой, соответствующей очередному символу на входе,

то автомат останавливается безрезультатно. В противном случае входная цепочка х е F(U) переведет автомат А из начального состояния а в некоторое состояние т е S

Путь в графе Г , соответствующий такому переходу, называется путем из вершины а в вершину т, несущим цепочку х

Цепочка х воспринимается автоматом, если для нее в графе Г существует по крайней мере один путь из начальной вершины о в заключительную вершину <р, несущий данную цепочку.

Множество всех цепочек, воспринимаемых автоматом А , образует язык Д/4), представимый данным автоматом.

Очевидно, цепочка х воспринимается автоматом А тогда и только тогда, когда она выводима в соответствующей автоматной грамматике (языке) —так

что Ц А ) = L(Ga).

Конечные автоматы представляют только регулярные языки (события).