269
.pdfПринадлежность точки плоскости
12 |
|
|
С2 |
3 |
|
D2 |
||||
|
|
2 |
2 |
|
В2 |
|||||
А |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
31 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
А1 |
|
11 |
1 |
|
|
В1 |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
( АВС) |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
11,2 - ?
(1 АС)
2
2D2 - ?, если D
П1: (D1 A1) С1В1
П=321: 32 C2B2
А2 32 D2 А232
Точка будет лежать в плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Воспользуемся этим положением:
1)при чтении чертежа;
2)при построении точки, лежащей в данной плоскости
Принадлежность прямой и точки плоскости
|
N N |
|
|
|||||
|
|
|
|
А |
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
N |
|
|
|||
Aх А |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
М1 M |
||
|
|
|
( 1 , 2)
А П1 А
A1 1
M 1 MN N 2
MN 1 1 MN
Точка, лежащая в плоскости проекций, принадлежит данной плоскости, если одна из ее проекций лежит на соответствующем следе плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости
Принадлежность прямой и точки плоскости
|
|
А |
|
М2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
хА |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М1 |
|
|
N |
||||
П1 |
1 |
1 |
A1 1 А
N1M1 1 MN
К2 |
|
|
|
2А |
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
х |
||
А1 |
|
|||||||
К1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
В |
|
1 |
||
|
1 |
|
|
|||||
П2 |
|
|
||||||
К2 2 |
К |
|
|
А2В2 2 АВ
Если плоскость занимает проецирующее положение, то соответствующие проекции всех точек и прямых данной плоскости совпадают с ее следом.
Это собирательное свойство проецирующих плоскостей
Главные линии плоскости
Горизонталей плоскости бесчисленной множество, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
все они параллельны между собой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Горизонтальный след – это горизонталь нулевого уровня |
С2 |
|
|
|
|||||||||
|
П2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
А12 |
|
h |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
y |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
х |
h hh |
|
|
x2 |
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
o |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
11 |
h1 |
|
|
|
|
В1 |
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная
проекция горизонтали параллельна оси x. Положение горизонтали в плоскости определяют две точки (например, В и 1 )
|
Главные линии плоскости |
|
|||||||
Фронталей плоскости бесчисленное множество, |
|
|
|
||||||
все они параллельны между собой |
|
|
|
|
|||||
Фронтальный след – это фронталь нулевого уровня |
|
С2 |
|
||||||
|
П2 |
|
|
z |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
В2 |
||
|
|
2 |
|
|
|
А 12 |
|
h 2 |
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
||
x |
х |
fo |
|
|
|
x2 |
|
С1 |
|
|
|
|
f |
f |
21 |
|
f1 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
11 |
h1 |
|
В1 |
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная |
|||||||||
фронтальной плоскости проекций. |
|
|
|
|
|||||
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Положение |
|||||||||
фронтали в плоскости определяют две точки (например, В и 2 ) |
|
Главные линии плоскости
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
2 |
|
|
h2 |
|
|||
|
12 |
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
h1 |
|
х |
|
|
h1 |
x |
|
|
|
|
х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
h1 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( 1, 2) |
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
x П2
Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси . Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости или ему принадлежит. Координата z показывает высоту положения горизонтали данной плоскости над горизонтальной плоскостью проекций
Главные линии плоскости
В проецирующих плоскостях одна из линий уровня является проецирующей прямой
|
|
12 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
f2 |
|
2 |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
h |
y |
|
х |
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
х |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
21 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( 1, 2) |
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x П2
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси . Фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости или ему принадлежит. Координата y показывает расстояние от фронтали данной плоскости до фронтальной плоскости проекций
|
|
|
Следы плоскости |
|||
|
М2 |
|
|
|
|
Задача: Построить следы |
|
С |
f |
|
2 |
плоскости |
|
|
|
2 |
В2 |
|
|
|
|
А |
|
h22 |
N2 |
( АВС) |
|
|
|
|
|
x |
||
x |
2 М1 |
С1 |
В |
|
||
|
|
|
f 1 |
|
||
|
|
h1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем горизонтальный – N и фронтальный – М следы прямой СВ (СВ ). Горизонтальный след 1 плоскости проходит через точку N парал-лельно горизонтали. Фронтальный след 2 плоскости проходит через точку M параллельно фронтали. x – точка схода следов
Вопросы для самопроверки
1.Сколько точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяют положение плоскости?
а) три б) две
в) бесчисленное множество
2.Определить соответствие номеров рисунков
|
способам задания плоскости |
|
m2 |
||||||||
1 |
m2 |
|
n |
2 |
m |
3 |
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 n |
|
2 |
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m |
|
n |
|
m |
|
1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
А |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
а) параллельными прямыми – рис. ? |
|
1 |
б) следами плоскости – рис. ?
в) пересекающимися прямыми – рис. ? г) прямой и точкой вне ее – рис. ?
Вопросы для самопроверки
3.Какая проекция плоскости общего положения изображается в натуральную величину?
а) фронтальная б) везде искажается в) профильная
4.Если плоскость перпендикулярна плоскости
проекций, то она проецируется на эту плоскость в виде…
а) следа б) двух параллельных прямых
в) окружности
5.Если плоскость параллельна плоскости проекций, то ее проекция на эту плоскость есть …
а) натуральная величина плоской фигуры б) прямая
6.Какие плоскости обладают собирательным свойством?
а) общего положения б) проецирующие в) плоскости проекций