Статистика и анализ геологических данных

тов. Вычислительная схема этого метода, необходимая для со­ ставления программы FFT, выходит за рамки данной книги, и поэтому мы не будем более на ней останавливаться. Однако как одномерная, так и двумерная программы FFT допускают очень широкую область использования и могут быть включены в программу, которую мы изложим ниже, если объем данных окажется подходящим. Хорошее изложение алгоритма FFT при­ водится в книге Кокрана и др. [6].

Как указывалось в гл. 5, в случае равномерного простран­ ственного размещения данных можно построить систему урав­ нений, которая позволяет вычислить коэффициенты ряда Фурье непосредственно, без каких-либо матричных преобразований. Эти уравнения можно распространить на двумерный случай, хотя при этом вместо двух коэффициентов для каждой гармо­ ники придется определять четыре. Тем не менее этот метод имеет значительное преимущество по сравнению с общим мето­ дом, так как позволяет вычислять большое число гармоник. Это значит, что мы можем произвольно выбирать множество длин основных волн и затем исследовать большое количество гармоник для отыскания пространственных периодичностей. Введение в двойной анализ Фурье для сетей при геологическом опробовании дано в книге Харбуха и Мерриэма [14]. Математи­ ческие основы двумерного анализа Фурье содержатся в книге Коута и др. [8].

Если данные собраны по регулярной сети, мы можем про­ извольно определить длину основной волны в направлении оси Хь а именно принять ее равной длине набора данных в этом направлении или взять Xi = N. Аналогично длину основной волны в направлении оси Х2 можно взять равной Х2 = Ь\. Далее легко вычислить коэффициенты любой гармоники с помощью урав­ нений

число гармоник в направлении Х2; N — число точек сети в на­ правлении Хь М — число точек сети в направлении Х2.

В этих формулах предполагается, что начало гармонического ряда соответствует началу координат системы переменных Xi и Х2. Гармоники могут быть вычислены вплоть до значений n = N/2 и ш=М/2, а гармоники с большими номерами могут быть лишь оценены по нескольким точкам на волну. Поэтому резуль­ таты для гармоник с большими номерами оказываются менее надежными, чем для гармоник с малыми номерами.

Вычислив коэффициенты Фурье, мы можем найти энергети­ ческий спектр по формуле, являющейся двумерным обобщением

Читатель, наверное, помнит, что Snm было выражением для дисперсии и характеризовало вклад n-й и m-й гармоник в об­ щую дисперсию величины Y. Если мы обозначим общую диспер­

сию через 5у, то процентный вклад каждой гармоники выра­ зится формулой

52

sy

Однако исходный энергетический спектр является только оценкой вкладов гармоник в дисперсию, и, подобно всем выбо­ рочным оценкам, они могут значительно отклоняться от энерге­ тического спектра истинной совокупности. Исходный спектр ста­ новится более устойчивым или лучше оценивает спектр совокуп­ ности при стремлении объема выборки к бесконечности, но мы не можем бесконечно брать пробы и на некотором этапе вынуж­ дены закончить анализ. Нашу оценку выборочного энергетиче­ ского спектра можно улучшить путем сглаживания, так как со­ седние гармоники оказываются близкими, и процедура усред­ нения приводит к тому, что они сходятся к общему значению. Сглаживание выполняется с помощью метода, рассмотренного в разделе о двумерном скользящем среднем. Веса в формуле

^ 2

для Snm, используемой для сглаживания, выбираются следую­ щим образом:

Рассмотрим пример использования двойных рядов Фурье, в котором представляют интерес как тренд Фурье, так и энер­ гетический спектр. Волноприбойные знаки, сохранившиеся на

наиболее существенные черты исходной карты в этой простой модели, использующей лишь две гармоники, сохранились.

Программа 6.4 DBLFOR основана на формулах (6.30), пред­ назначенных для вычисления двойного ряда Фурье в условиях регулярно расположенных данных, содержащих N строк и М столбцов. В этой программе использованы подпрограммы ввода и вывода из гл. 4. DBLFOR вычисляет и возвращает в па­ мять машины коэффициенты Фурье и необработанный энерге­ тический спектр массива вводимых данных. Она также исполь­ зует эти коэффициенты для вычисления ожидаемых и предска-

зуемых значений Yij для каждого значения Yjj в данном массиве.

Матрица предсказанных значений Yij оконтуривается по тому же алгоритму, который использован в программе TREND.

Сравните с исходными данными, изображенными На фиг 6 2б

101 C O N T IN U E

С Х = Т С Х ( J J )

S X = T S X ( J J )

Х Х = Х ( I I , J J )

A A = A A + X X * C Y * C X

B B = B B + X X * C Y * S X

C C = C C + X X * S Y * C X

D D = D D + X X * S Y * S X

102C O N T IN U E RRS R

A ( I , J ) = A A * R R

B( I , J ) = B B * R R

C( I , J ) = C C * R R

D( I , J ) = D D * R R

PC I , J ) = R R * R R * ( A A * A A + B B * B B + C C * C C + D D * D D ) 1 0 0 C O N T IN U E

A R G X T = F L O A T ( J - I ) * D X

Z = 0 . 0

DO 112 K=*1,NH

J H I = I H I ( K )

J H 2 = I H 2 ( K )

A R G Y s A R G Y T * F L O A T ( J H I - I )

A R G X = A R G X T * F L O A T ( J H 2 - I )

C Y = C O S ( A R G Y )

S Y = S I N ( A R G Y )

C X = C O S ( A R G X )

S X = S I N ( A R G X )

Z - Z + A C J H I , J H 2 ) * C Y * C X 1 + B ( J H I , J H 2 ) * C Y * S X

2-tCCJHI , J H 2 ) * S Y * C X

3- K H J H I , J H 2 ) * S Y * S X 112 C O N T IN U E

I 'C O N T O U R I N T E R V A L = ' , F I 0 . 4 )

END

Программа 6.4. DBLFOR

Скользящие средние и крайгинг

Несмотря на то что некоторые из рассмотренных методов применялись в геологии рудных месторождений, оценка запасов полезных ископаемых и контроль качества разработок представ­ ляют специальные задачи. Для их решения были разработаны математические и статистические методы оценки запасов, стоя­ щие несколько в стороне от основного направления развития ма­ тематической геологии. В США статистика, используемая в гео­ логии рудных месторождений, следовала общей линии развития традиционного статистического анализа, особенно дисперсион­ ного (несколько примеров и подробная библиография приво­ дятся в книге Коха и Линка [20]). Однако в Южной Африке и Франции теория оценки запасов и их предсказание развива­ лись по независимому пути, который мы рассмотрим позже.

В пластовом осадочном рудном теле характеристика качества руды может быть распределена нормально. Это значит, что

26 З а к а з № 455